Esami svolti Fondamenti di algebra lineare e geometria

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Ing. dell’energia - Ing. meccanica (canale 3)

Docenti: C. Bertolin, A.Larese, P. Magrone

II appello 2021/22 Cognome e Nome:

Data: 17/06/2022 Matricola:

Tema: A

ESERCIZIO 1.

• Si considerino la funzione tale che

R R

3 3

→

f :

f (1, 1, 0) = (2, 0, 1) V W

A

−1,

f (1, 0, 1) = (2, 3)

−1) −1).

f (1, 1, = (2, 1, A WU

W

V

(a) Verificare che definisce un unico endomorfismo di . (2 pti)

R 3

f

(b) Calcolare la matrice associata ad rispetto alla base canonica. (2 pti)

f

(c) Determinare la dimensione e una base di ed Inoltre stabilire se

ker(f ) im(f ). ker(f )⊕ (2 pti)

R 3

im(f ) = .

(d) Dire, motivando la risposta, se è diagonalizzabile. (2 pti)

f

SOLUZIONI 1.

• (a) Esiste un unico endomorfismo che verifica le condizioni richieste poiché i vettori

formano una base di .

R 3

−3)

(1, 2, 0), (2, 0, 1), (0, 1,

(b) La matrice associata a rispetto alla base canonica di è

R 3

f ⎛ ⎞

2 0 0

⎝ ⎠

−1

0 0

A = 1 0 2

(c) Risulta ed una base di è mentre

{(2, −1,

dim(im(f )) = 2 im(f ) 0, 1), (0, 2)},

ed una base di è Poiché i tre vettori

{(0,

dim(ker(f )) = 1 ker(f ) 1, 0)}. (2, 0, 1),

sono linearmente indipendenti, abbiamo che R 3

−1, ⊕

(0, 2), (0, 1, 0) ker(f ) im(f ) = .

(d) Gli autovalori di sono 0 di molteplicità 1 e 2 di molteplicità 2. Poiché l’autospazio

f

relativo all’autovalore 2 è abbiamo che e dunque

−2)

V =< (0, 1, >, dim V < 2

2 2

l’endomorfismo non è diagonalizzabile.

f 1

ESERCIZIO 2.

• Si considerino i seguenti vettori di :

R 4

−1, −2, −1), −2,

v = (2, 0, 1), v = (1, 1, v = (3, 0, 0), v = (0, 1, 0, 1)

1 2 3 4

(a) Sia il sottospazio generato da . Determinare un sistema di equazioni lineari

U v , v

1 2

che abbia come insieme di soluzioni.

U

(b) Sia il sottospazio generato da e . Determinare una base di .

∩

V v v V U

3 4

(c) Determinare una base di .

V + U

(d) Determinare una base del complemento ortogonale di .

∩

V U

SOLUZIONI 2.

• (a) U : x + x = 0, 2x + 4x + 3x = 0

2 4 1 2 3

(b) ∩

V U =< v >

3

(c) V + U =< v , v , v >

1 2 4

(d) ⊥

∩

(V U ) =< (2, 0, 3, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) >

ESERCIZIO 3.

• Nello spazio euclideo tridimensionale, si consideri il piano passante

π

per i punti e

−1,

A = (1, 1, 0), B = (1, 0) C = (0, 0, 1).

(a) Determinare una forma cartesiana ed una forma parametrica per il piano π.

(b) Determinare una forma cartesiana ed una forma parametrica della retta passante

r

per il punto ed ortogonale al piano

A π.

(c) Determinare posizione reciproca e distanza della retta dalla retta passante per i

r s

punti e

B c. √

(d) Determinare tutti i punti del piano a distanza dalla retta

π 6 s.

SOLUZIONI 3.

• (a) forma parametrica: −1), −1, −1)

π = (0, 0, 1)+ < (1, 1, (1, >

forma cartesiana: π : x + z = 1

(b) forma parametrica: r = (1, 1, 0)+ < (1, 0, 1) >

equazioni per e

−

r: x z = 1 y = 1

(c) Le rette e sono non parallele poichè è ortogonale a e è parallela a Dunque

r s r π s π.

sono incidenti oppure sghembe. Inoltre si ha e

−1, −1)

s = (0, 0, 1)+ < (1, >

−1) · −1, −1)

(1, 1, (1,

||(1, −1) − −1, −1)||

dist(r, s) = dist(A, s) = 1, (1,

−1, −1) · −1, −1)

(1, (1, √

1 1 2

||(1, −1) − −1, −1)|| ||(2, −2)|| ̸

1, (1, = 4, = 6 = 0

3 3 3

dunque le rette sono sghembe. 2

√

(d) i punti di distanti da formano le due rette

r 6 s e

′ −1, −1)

s = (1, 2, 0)+ < (1, >

′′ −2, −1, −1)

s = (−1, 2)+ < (1, >

TEORIA

• (a) Se è simmetrica, allora tutte le radici del polinomio caratteristico di

∈

A M (R)

n,n

sono reali. (3 pti)

A

(b) Enunciare e dimostrare il teorema di Rouché-Capelli. (3 pti)

REGOLE D’ESAME:

Compilare ogni foglio in ogni sua parte

• (nome, cognome, matricola, corso di

laurea, tema del compito, etc.). Non verranno corretti fogli senza questi dati.

Consegnare questo foglio e solo i fogli protocollo di BELLA COPIA.

• NON consegnare fogli di brutta copia.

• Verrà valutato solo quanto scritto a penna.

• ritirarsi

• È possibile dalla prova in qualsiasi momento: scrivere, ben visibile, la lettera

”R” sul foglio del testo d’esame e sui fogli di bella copia.

Risaltare in maniera evidente il numero dell’esercizio che si sta svolgendo.

•

• NON è consentito uscire dall’aula prima di aver consegnato definitivamente il proprio

elaborato.

• NON è consentito l’uso di libri, appunti, telefoni, smartwatch e calcolatrici di ogni

tipo.

• NON è consentito comunicare con altri candidati durante la prova.

3 f R

f di

verifiche che endomorf

sia

a un unico

1 f 1

1 1

1

f di

le base

una

se conosco immagini 1in

tutta

definire l'app

posso 1in

matrice è unica

è l'app

L una

b f la

la della

calcola matrice associata base

rispetto canonica

associata

È matrice

f

al m

1

1

f M CD tn