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Esame 14/07/14

Esercizio 1 Sono dati in R⁴ i seguenti sottospazi vettoriali:

U = {x₁ = x₂ = x₃ = x₄},

V = Lin(

1 -1 -1 1

),

W = {x₁ + kx₄ = 0

x₂ + (h - 1)x₃ = 0

  1. Calcolare la dimensione ed una base di U e verificare che V ⊂ U⊥;
  2. scrivere equazioni cartesiane di V e verificare che U ⊂ V⊥;
  3. determinare per quali valori di h, k ∈ R si ha W ⊂ (U + V)⊥ specificando quando si ha l'uguaglianza nell'inclusione.
  4. Posto h = 2 e k = 1 verificare che R⁴ = U ⊕ V ⊕ W e scomporre il vettore (1 2 4 3)T nelle componenti nei vari sottospazi.

1)

U {

 x₁, x₂

 x₃, x₄ }

{ x₁ - x₂ = 0

 x₂ - x₃ = 0

 x₃ - x₄ = 0 }

1-100 01-10 001-1

codim = 3

dim = 1

∞4 sol.

x₄ = ξ

x₂ = ξ

x₃ = ξ

x₄ = ξ

B

1 1 1 1

Rg

1 1 1 1

= 1

trovo eq. cartes.

V

1 -1 -1 1

U

{

 x₁, x₂

 x₂, x₃

 x₃, x₄ }

U⊥{

 x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0

1 - 1 - 1 + 1 = 0 }

V ⊂ U⊥

V⊥{

 x₁ - x₂ - x₃ + x₄ = 0

1 - 1 - 1 + 1

 2)

U ⊂ V⊥

{

 x₁, x₂

 x₃, x₄

 x₂

 x₂

}

{

 x₁, x₂

 - x₃

 - x₃

 x₄ }

V⊥

{

 x₁ + x₂

 x₁ + x₃

 x₁

 - x₄ = 0

1 - 1 - 1 + 1

 - x₃ = 0 }

3)

(U ∩ Y)⊥

{ x₁t₁ + x₂t₂ + x₃t₃ + x₄u = 0 { x₁ - x₂ - x₃ + x₄ = 0 { -kx₄ - hx₃ + 2x₃ + x₄ = 0 { -kx₄ - hx₃ + x₃ + x₄ = 0 { kx₄ - hx₃ - x₃ + x₄ = 0

{ kx₄ - hx₃ - x₃ + x₄ = 0 { x₄ = - kx₄ + x₄ + 2x₃ { x₄ = 2x₃ → k = -2 → k = 1

per h = 2

k = 1

W ⊆ (U ∩ Y)⊥

4)

W { x₁ + y₄ = 0 x₂ + x₃ = 0

dim = 2

dim = kₗ = pₙ

U { x₁ - x₂ = 0 x₂ + x₃ = 0 x₃ - x₄ = 0

dim = 1

V { x₁ + x₂ = 0 x₁ + x₃ = 0 x₁ - x₄ = 0

dim = 1

v = ( 1 2 4 3 )

BU

a₁ ( 1 1 1 1 ) + a₂ ( 1 -1 -1 1 ) + a₃ ( 1 0 -1 0 ) = ( 1 2 4 3 )

{ a₁ + a₂ + a₃ = 1 { a₁ - a₂ + a₄ = 2 { a₁ - a₂ - a₄ = 4 { a₁ + a₂ - a₃ = 3

a₁ = 2, a₂ = -1, a₃ = -1

5/2

( 1 1 1 1 ) + ( -1 1 -1 1 ) + ( 1 0 -1 0 ) = ( 1 2 4 3 )

Esercizio 3

Sono dati nel piano Euclideo R^2 i punti A(2, 3) e B(4, 1) e la retta r di equazione 3x + y + 7 = 0.

  1. Scrivere l'equazione della retta s contenente A e B e calcolare le coordinate del punto P comune ad r e s.
  2. Determinare le coordinate dei punti A' e B' simmetrici di A e B rispetto alla bisettrice del secondo e quarto quadrante, verificare che il quadrilatero ABA'B' è un rettangolo e calcolare l'area.
  3. Scrivere l'equazione della circonferenza passante per A e B e tangente la retta r.
  4. Determinare su r un punto R tale che il triangolo ABR sia rettangolo in A.

P (-6, 11)

  • A' (-3, -2)
  • B' (-1, -4)

dBA = sqrt((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)

Area ABC = A'B'. B'B = sqrt(8). sqrt(50) = 2 sqrt(2). 5 sqrt(2) = 10 . 2 = 20

2)

W           {  x1 - x2 + x3 - 2x4 = 0

                   {3x1 - 5x2 + 6x3 + x4 = 0

Rg = 2     dim = 2     x3 = 5     x4 = t

{ - 3x1 + x2 = -5 - 2t

{              {  -9.5 - 6t + 13x2, x2 = -5 - 2t

{              {    x1 = -3.5 - 2t + 5x2

14x2 =                7{4t + 7{6t

{     {     x2 =       {   4/7  }  +  5{7

             x1 = -35 - 2{   {20             {10

                {     {     5{7

             {                           {    4  

                x1 =         -{1/7             {7        t

 

BW  {  

         {  -1/7

         {  4/7

         {    0

         {  -4/7

         {    2/7

 

   

3)

w = {       }T

 

         3

w             -x1 + 4x2 + 7x3 = 0

    {3 + 4 p + 9 = 0

{-12t + p + 7 = 0

 

        -3t + 0 + 7p = 0     

        {9 =  -1

        {p = 5/2

 

 {w∩ con

        {  - x   4x2 + 7x4 = 0

{W ∩ con

 

Dettagli
Publisher
Raincy44
A.A. 2015-2016
79 pagine
10 download
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/03 Geometria
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Raincy44 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria analitica e algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma La Sapienza o del prof Sabatini Luca.