Geometria e Algebra - Appunti ed esami svolti Geometria e Algebra

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Author: ilmister-x

Revisionato il 10/09/2026

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Appunti, esercizi ed esami svolti del corso Geometria e Algebra della professoressa Pambianco, relativo al corso di laurea in ingegneria informatica ed elettronica (triennale) …

Esame Geometria e algebra

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pambianco Fernanda

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2022-2023

100 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Spazi vettoriali

Sia V un insieme e K un corpo, V è detto spazio vettoriale su K se sono definite:

Un'operazione interna di V (+)
Un'operazione esterna di V rispetto a K (.) tale che

(V,+) è un gruppo abeliano
P₁ α·(v + w) = α·v + α·w ∀α ∈ K, ∀v,w ∈ V
P₂ (α + β)·v = α·v + β·v ∀α,β ∈ K, ∀v ∈ V
P₃ α·(β·v) = (αβ)·v
P₄ 1·v = v

Sottospazi

Sia V uno spazio vettoriale in un campo K, e consideriamo un sottoinsieme W⊆ V.

Diciamo che W è sottospazio di V se verificano queste proprietà:

I₁ ∀v,w ∈ W ⇒ v + w ∈ W
I₂ ∀v ∈ W, ∀α ∈ K ⇒ α·v ∈ W

Combinazione lineare

V è uno spazio vettoriale su K e siano v₁,v₂,...,v_m ∈ V. Un vettore V si dica combinazione lineare di v₁,v₂,...,v_m se ∃ α₁,α₂,...,α_m ∈ K tali:

V = α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_mv_m (con α_i numeri qualsiasi 1,α₂,...,v_m

Consideriamo l'insieme di tutti i vettori V che sono combinazioni lineari di v₁,v₂,...,v_m:

{α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_mv_m| α₁, α₂,..., α_m ∈ K}. <v₁,v₂,...,v_m> sottospazio generato da v₁,v₂,...,v_m o sistema di generatori.

Vettori linearmente dipendenti

Sia V spazio vettoriale su K e v₁,v₂,...,v_m ∈ V. v₁,v₂,...,v_m sono linearmente dipendenti se ∃ d₁,d₂,...,d_m ∈ K non tutti nulli. Tali che d₁v₁ + d₂v₂ + ... + d_nv_n = 0̅

Vettori linearmente indipendenti

v₁,v₂,...,v_m sono linearmente indipendenti se non sono dipendenti, cioè se d₁v₁ + d₂v₂ + ... + d_nv_n = 0̅ ⇒ d₁ = d₂ = ... = d_m = 0

Spazi vettoriali

Sia V un insieme e K un corpo, V è detto spazio vettoriale su K se sono definite:

Un’operazione interna di V (+)
Un'operazione esterna di V rispetto a K (.) tali che

(V, +) è un gruppo abeliano
P₁ α·(v + w) = α·v + α·w ∀ α ∈ K, ∀ v,w ∈ V
P₂ (α + β)·v = α·v + β·v ∀ α, β ∈ K, ∀ v ∈ V
P₃ α·(β·v) = (αβ)·v
P₄ 1·v = v

Sottospazi

Sia V uno spazio vettoriale in un campo K, e consideriamo un sottoinsieme W⊆

Diciamo che W è sottospazio di V se vi verificano queste proprietà:

I₁) ∀ v,w ∈ W, v + w ∈ W ⇒ v + w ∈ W
I₂) ∀ v ∈ W, ∀ α ∈ K ⇒ αv ∈ W

Combinazione lineare

V è uno spazio vettoriale su K e sono v₁, v₂, …, v_m ∈ V. Un vettore V si dice combinazione lineare di v₁, v₂, …, v_m se ∃ α₁, α₂, …, α_m ∈ K tali:

V = α₁v₁ + α₂v₂ + … + α_mv_m. Con gli simbolo seguente <v₁, v₂, …, v_m> consideriamo l'insieme di tutti i vettori di V che sono combinazione lineare di v₁, v₂, v_m

{α₁v₁ + α₂v₂ + … + α_mv_m | α₁, α₂, …, α_m ∈ K}. <v₁, v₂, …, v_m> sottospazio generato da v₁, v₂, …, v_m σ sistema di generatori.

Vettori linearmente dipendenti

Sia V spazio vettoriale su K, v₁, v₂, …, v_m ∈ V. v₁, v₂, …, v_m sono linearmente dipendenti se ∃ d₁, d₂, …, d_m ∈ K non tutti nulli tali che d₁v₁ + d₂v₂ + … + d_nv_n = ₀

Vettori linearmente indipendenti

v₁, v₂, …, v_m sono linearmente indipendenti se non sono dipendenti, cioè se d₁v₁ + d₂v₂ + … + d_nv_n = ₀ ⇒ d₁ = d₂

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