Complementi di Scienza delle costruzioni - Prove d'esame svolte

COMPLEMENTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Esercizi

UNIMOREUniversità degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Filippo Ribes

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dal Professor Enrico Radi e delle sue dispense.

Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram:

• ig: NoteWave_RF
• ig: fil_ribes

ovvero abbiamo equilibrato il momento rispetto al nodo A

(le forze V_B (in C), P (in D) sono state moltiplicateper la loro distanza rispetto ad A, V_A ha braccio nulla,quindi si annulla). Isolando V_B in quest’ultima eq. otteniamo:

V_B (1 + √2) = (√2 + 1 + 0√2)P → V_B = P (1 + √2) / (1 + √2)

in cui dal equilibrio possiamo ricavare V_A.

V_A = 2P - V_B → V_A = P (1 - √2) / (1 + √2)

Abbiamo così scritto le 3 eq di equilibrio globale da cuiabbiamo trovato delle incognite V_A e V_B. Inoltre,abbiamo visto che H_A = H_B = H manca da trovare∅ ƒ HScriviamo l’eq. di equilibrio ausiliaria del nodo C:

KΦ (1 + √2) - V_A [e ( -√2/2 + Ø √2/2 )] + H [e ( -√2/2 - Ø √2/2 )] = 0

e quella del nodo D:KΦ (1 + √2) + V_B [e ( -√2/2 - Ø √2/2 )] - H [e ( -√2/2 + Ø √2/2 )] = 0

Le uniche incognite di entrambi le eq. sono H e Ø → le risolvi una delle due per H e Ø, cioè cheotteniamo la sostituisco poi nell’altra delle eq.si trova Ø e che va per sostituito nella formuladi H di prima.

ES: Esame n.^o 2 prova del 20/03/2018

Dobbiama determinare l’andamento delmomento flellente lungo la trav.momento elastico in figura:riguarda K = 10EI / e² utilizzando2 EF di travi EB considerandoda la simmetria della struttura.

Si studia metà struttura e:

Momento, taglio e sforzo normale totali possono essere calcolati come segue:

M = M₀ + M₁U₁ + M₂U₂ + M₃U₃T = T₀ + T₁U₁ + T₂U₂ + T₃U₃N = N₀ + N₁U₁ + N₂U₂ + N₃U₃

dove M₀, M₁, M₂, M₃ sono i momenti massimi relativi ai grafici; analogo per i T, gli N.

Per i grafici di taglio bisogna considerare che le linee tratteggiate più esterne (in questo caso) segnano il limite verso le linee di schermo mentre il cerchio ed il tratteggio indicano il verso del grafico costruttivo del momento negativo.

Es. esame N° 3 prova del 11/04/2017

Si chiede di determinare il carico critico e la defor-

mata critica della trave elastica AB in figura

usando la fig. della linea elastica

del 2^° ordine d’asta BC -

- incastramento rigido a K viene

posto pari a K = zEI/l³

Si tratta di un problema di stabilità.

La fig. formata in figura è stabile

in ogni config. deformata diversa da quella di equilibrio della struttura

ad eccezione di quella di partenza.

Pertanto il criterio statico gli spostamenti e le

rotationi sono piccoli ne possiamo quindi trascurare i termini

di ordine superiore al 1^° (per cui anche se è stata ruotata,

la lunghezza rimane sempre la stessa). L’ eq. della linea

elastica per l’asta AB

V''(x) = A cos (cx) + B sin (cx) + tx + D

Su cui vanno poste le condi al contorno :

• V(0) = 0
• V’(0) = 0
• V’(l) = 0
• M(l) = - kl²f(l: e₁)

Il momento M(l) lo possiamo anche scrivere come :

–EI V’’(l) – kl²f(l: e₁) = kl² V’’(l)

E ricordando che abbiamo posto K = z zEI/l³, l’ eq. sopra, diventa:

V’’(l) + 2 V’’(l)

e

Le costanti di integrazione val.gono allora :

• A+D = 0
• AB+L ‘ C = B = 0
• C = 0

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dove

Risolviano il problema con il _MEF...

determinante v₂.

... occorre la matrice di rigidissima ...

... vettore ... dei caricchi modali equivalenti f ...

... Timoshenko (vedi pag 152 punto ...

K = ^EI / ^{(1 + _ϕ)2} | 12 -6L -12 -6L || (a + ϕ) L² 6L (x - ϕ) L² ... || ... ... 12 6L || ... ... ... ... || ... (a + ϕ) L²|

dove ... ² _Λ / _x² ; ^Λ = _{EA / GA^*} pag 128 pag 123.

... e' stato us...

Esendo...

vettori dei caricchi modali equivalenti ... ... in accore...

il vettore _{delle funzioni di forma per un EF di Timoshenko N (ξ)} allora (vedi pag 130 del Terie).

N (ξ) = ¹ / ^{1 + Φ}

(+ ϕ - ϕξ 3ξ_i + 2ξ³- (1 + ϕ/2) ξ + (x + ϕ/2) ξ + 3 [ξ - ϵ]ϕξ + 3ξ z 2ξ³C ξ ² + (1 - ϕ/2) ξ² ξ³)

il vettore ... dei caricchi modali equivalenti ... per un EF di Timoshenko ... allora (vedi pag 131 della Terie).

f = ∫₀¹ q(ξ) N(ξ) _c dξ - q_c ∫₀¹ ξ N (ξ) dξ -

| 3/20 + 0 / ... || -ϵ / 30 - ϵ ... || 1 + ϕ 7/20 + ϕ / 3 || ϵ / 20 + ϵ ϕ / ... |

= q₀ L

Scriviamo poi letteralmente il vettore delle tacioni mod eoniemodlit.

R = (V₁ M₁, O = Θ )^T

pagina pari non ci sare necron. allosrnam. chriso.

{(P - KE) Θ - KE ψ = 0

PS + (KE - P) ψ = 0

che scritte in forma matriciale

{[P - KE, -KE]_2x2 [Θ] = [0]

[-P, KE - P] [ψ] [0]

Tale sistema ammette sol normale in corrispondenza di Θ = ψ = 0.

Imponendo il annullamento del det si ottiene:

det = 0 ⟹ (P - KE) - PKE = 0 ⟹ P² - 3PKE + (KE)² = 0 ⟹ P = (3 ± √5)/2 KE =

= [0,38 _KE_lower] ⟶ P_cr

[2,62 _KE_upper]

Insinando questo risultato di

P_cr nell'eq. matriciale sopra e

risolvendo una delle due es.

ad esempio la [se determinemia] di ψ_cr

{ (P_cr - KE) Θ_cr - KE ψ_cr = 0 ⟹ ψ_cr = (P_cr/KE - 1) Θ_cr = -0,38 Θ_cr

ES. esame n° 3 prova del 10/04/2018

EI ⟷P

EI ⟷K_upper

e e e

[frame stretching | force]• [arc]

Dobbiamo determinare il valore di P_cr che risponda in.. del.

{ EI v(x) ′′(c) = -EI v '′(c)e^-1 + ke [v x(e) + v x '′(c) e ] }

u⁽²⁾ = 5ξ₃ P / e

u⁽²⁾ = 5ξ₃ P (1 - / e)

N⁽¹⁾ = EA N⁽¹⁾ ()^T = ε (3)(1 - ξ₁) (1 / 3) (-1 1) ( / 1) 53_,0 P / e

= 11,2 (1 - ξ₁ / 3) pa

N⁽¹⁾ = EA N⁽¹⁾()^T = 2 ε (1 - ξ₁) (1 / 3) (-1 1) (1 / ε) 53_,0 P / e

= -7,5 (1 - ξ₂ / 2) pa

Es. esame n^o 1: prova del 21/07/2016

Dobbiamo risolvere la struttura a lato con il metodo degli spostamenti (sia K = 3EI / 2e³)

Si tracci inoltre il diagramma di momento e taglio.

U= (U₁, U₂)^T

asta n^o 1

K_⁽¹⁾ = EI / 8e³ [12e³

12

12e²

12e

12e³]

K⁽¹⁴⁾ = (⁽¹⁾)^T K_⁽¹⁾ (⁽¹⁾)

[q e | qe ... 0 -q e]0 ... qe / 3