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Polveremo di strutture reticolari 2D e 3D
MU=2 BIDIMENSIONALE
MU=3 TRIDIMENSIONALE
COME PRIMA COSA STUDIO IL CAMPO APPROSSIMATIVAMENTE ALL'INTERNO DI CIASCUN ELEMENTO, POI ASSEMBLO TUTTI QUESTI ELEMENTI FINO A FORMARE LA FIGURA BIDIMENSIONALE TRIDIMENSIONALE
- K MATRICI STRUTTURE, MATRICI DI RIGIDITÀ
- F VETTORE FORZE
- U SPOSTAMENTI NODI INCOGNITI
KU=F → POI, RICAVO GLI SFORZI PRESENTI SU OGNI ELEMENTO (IN)
Polveremo di strutture inflesse
STUDIO LOCALE → APPROSSIMAZIONE
- ASTE CHE APPOGGIANO SUL SUOLO ELASTICO (MOLLE), COME IL TERRENO
AUREREMO DUE TIPI DI EQUAZIONI
- LINEARI: DEFORMAZIONI INFINITESIME E DEFORMAZIONI POSSONO ESSERE TRASCURATE, METODO DEGLI SPOSTAMENTI
- NON LINEARI: NO DEFORMAZIONI, L'EQUILIBRIO SI FORMA SU STRUTTURE DEFORMATE
NORMALMENTE SI AVEVA
qet θT1
MA SE AGISCE ANCHE UNO SFORZO DI COMPRESSIONE, IL VALORE DI DEFORMAZIONE SARÀ PIÙ GRANDE! AUMENTERÀ IN MANIERA NON LINEARE E ANCHE MOLTO VELOCEMENTE.
a
FP = Fcr
PER EFFETTO DELLA PLASTICIZZAZIONE NON SI ARRIVA AL VALORE CRITICO
ESEMPIO:
- SE NON RAGGIUNGO Pcr: PILASTRI COMPRESSI, SOLUZIONE INDEFORMATA CON SFORZI NORMALI E BASTA
- SE RAGGIUNGO Pcr: SOLUZIONE DEFORMATA DEFORMATA SIMMETRICA!!!
MA SE TENIAMO CONTO DELLO SFORZO NORMALE SU OGNI ASTA (CIÒÈ EFFETTI DEL SECONDO ORDINE) GLI SPOSTAMENTI SONO PIÙ GRANDI DI QUELLI LINEARI QUANDO RAGGIUNGO ϕcr HO UNO SBANDAMENTO E LA DEFORMATA DIVENTA ANTISIMMETRICA
Ottengo
∫ab[∂F⁄∂u' - d⁄dx (∂F⁄∂u'') ]⋅⋅⋅dx + [ ²² - d⁄dx ²⁄] ⋅⋅⋅
∀ du ammissibile, che verifica le condizioni al contorno
⋅⋅⋅
δ
δu ≠ ³Eulero-Lagrange
Se1x=0 -> ³=0
⋅⋅⋅
Problema di Cauchy alle derivate parziali
Quindi ⋅⋅⋅=0 condizione di stazionarietà
Esempio: Qual'è la curva più breve che congiunge P1 e P2?
Funzionale che dipende dalla variazionePrima, cioè da y' (che sarebbe come dire u')Non dipende ne da x ne da y ma da y''
Trave Soggetta a Carico Variabile
p(x) = p0/l x
u(x) = a1x + a2x2
u''(x) = - p0/lEA x
R0x3/6EA
u(l) = 0
N(u) = EA/2 (a12l + 4a1a2 l2/2 + a22 l3/3) - p0/l ∫ (a1x + a2x2)dx x
= EA/2 (a12l + 4a1a2l2/2 + a22l3/3) - p0/l (a1l3/3 + a2l4/4)
- dn/da1 = 0
- dn/da2 = 0
a1 =
a2 =
Esempio 1:
P = cost
A(x) = (2a)2
EA(x) u''(x) - P = 0
u(0) = 0
u'(l) = 0
EA(x) u'' + EA(x)u' - P = 0
∈T KU - F = 0
sistema lineare da cui posso ricavare
U → il vettore degli spostamenti globali incognita
KU = F
in generale det K ≠ 0 e quindi se ne può
fare l'inversa
U = K-1F
se det K = 0 → la struttura non è stata
sufficientemente vincolata!
è quindi possibile un moto
rigido in assenza di forze
applicate; la struttura è labile
se i vincoli sono ben disposti io posso ricavare il campo
degli spostamenti U
quindi il campo di deformazione e il campo degli sforzi normali:
N(ii) = EA
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