Complementi di scienza delle costruzioni - teoria

Polveremo di strutture reticolari 2D e 3D

μ=2 Bidimensionaleμ=3 Tridimensionale

Dove prima cosa studio il campo approssimativo all'interno di ciascun elemento, poi assemblo tutti questi elementi fino a formare la figura bi-g tridimensionale.

• K matrice struttur, matrice di rigidità
• F vettore forze
• U spostamenti noduli incogniti

KU=F

Poi ricavo gli sforzi presenti su ogni elemento (N)

Polveremo di strutture inflesse

Studio locale → Approssimazione

• Aste che appoggiano sul suolo elastico (molle), come il terreno avremmo due tipi di equazioni
• Lineari: deformazioni infinitesime le deformazioni possono essere trascurate, metodo degli spostamenti
• Non lineari: ho deformazioni. L'equilibrio si forma su strutture deformate

Normalmente si aveva:

Ma se agisce anche uno sforzo di compressione, il valore di deformazione sarà più grande! Aumenterà in maniera non lineare e anche molto velocemente.

Parleremo di strutture reticolari 2D e 3D

n=2 Bidimensionalen=3 Tridimensionale

Come prima cosa studio il campo approssimamente all'interno di ciascun elemento, poi assemblo tutti questi elementi fino a formare la figura bi- e tri-dimensionale

• K Matrice struttura, matrice di rigidezza
• F Vettore forze
• U Spostamenti noduli incogniti

KU=F - Poi, ricavo gli sforzi presenti su ogni elemento (N)

Parleremo di strutture inflesse

Studio locale → approssimazione

• Aste che appoggiano sul suolo elastico (mollet), come il terreno avremo due tipi di equazioni
• Lineari: deformazioni infinitesime e deformazioni possono essere trascurate, metodo degli spostamenti
• Non lineari: no deformazioni, l'equilibrio si forma su strutture deformate

Normalmente si aveva

• q_et∅^et
• P= P_cr

Ma se agisce anche uno sforzo di compressione, il valore di deformazione sarà più grande! Aumenterà in maniera non lineare e anche molto velocemente

PER EFFETTO DELLA PLASTIFICAZIONE

NON SI ARRIVA AL VALORE CRITICO

ESEMPIO:

• SE NON RAGGIUNGO Pcr: PIASTRI COMPRESSI, SOLUZIONE INDEFORMATA CON SFORZI NORMALI È BASTA
• SE RAGGIUNGO Pcr: SOLUZIONE DEFORMATA DEFORMATA SIMMETRICA!!!

MA SE TENIAMO CONTO DELLO SFORZO NORMALE SU OGNI ASTA (CIOÈ EFFETTI DEL SECONDO ORDINE) GLI SPOSTAMENTI SONO PIÙ GRANDI DI QUELLI LINEARI. QUANDO RAGGIUNGO ϕCr HO UNO SBANDAMENTO E LA DEFORMATA DIVENTA ANTISIMMETRICA

Calcolo delle Variazioni

→ Applicazione che agisce su una funzione

Esempio:

^b∫_a F(x,μ,μ',μ'')dx

x ∈ ℰ

μ(a)=μ_a

μ(b)=μ_b

μ: μ ∈ C[a,b] → N(μ) ∈ ℝ

Ad ogni funzione associa un numero reale

N soddisfa le stesse condizioni al contorno

^b∫_a = ^μ − μ

Differenza fra due funzioni continue che soddisfano entrambe le condizioni al contorno richieste per la funzione μ

^N (a) = 0

^N (b) = 0

Avremo N = μ + δu

→ Derivazione:

(δu)’ = (^μ−μ)’

= ^μ’−μ’

= ^N’− μ’

= δu’

La derivata della derivazione è uguale alla derivazione δu’

→ Integrazione:

δ(^b∫_aμ dx) = ∫δμ dx - ∫μ dx

= ∫δμ dx + ∫δc dx - ∫δc x

= ∫δc x

→ Variazione di una somma:

δ(μ+c) = δμ + δ^N − μ − c = ^N + δc

La variazione della somma di due funzioni è uguale alla somma delle variazioni delle due funzioni

VARIAZIONE DI POTENZIALE

δ(u²) = Ũ² - μ²

= [μ + εu δu + (_δu²) =- 2u δu

= 0

dalla funzione iniziale μ

ΔΨ(μ) = Ψ(u + δu) - Ψ(μ)

∫ _a^b = ∫ _a^b F(x, μ + δu, μ + δu', μ" + δu") dx = F(x, μ, μ', μ") dx

Sviluppo in Serie:

F(x,y)

F(x ± Δx, y ± Δy) = F(x,y) + ∂F/∂x (x+ Δx - x) + ∂F/∂y (y ± Δy - y) +

+ ½ [∂²F/∂x² (Δx)² + ∂²F/∂y² (Δx)² (Δy)² + ∂²F/∂x ∂y Δx Δy] +...

Incremento: Variazione Prima Variazione Seconda

ΔF = ∂F/∂u_∂F/∂u' + ∂F/∂u' δu" +

1/2 [∂²F/∂x² (δu')² δu"]

QUINDI:

= ∫ _a^b(()) dx = 0

C.N. Affinché il Funzionale abbia un minimo

SE IL PRIMO TERMINE È UGUALE A