Progetto Complementi Scienza delle costruzioni

DATI DEL PROBLEMA

DATI MATERIALE IMPIEGATO

E = 210000 MPa

4

J= 1728 (sezione quadrata di lato 12 mm)

L= 1000 mm

Per risolvere il problema si necessitano di 3 equazioni: v1 che descrive la linea elastica della prima

asta, v2 che descrive il moto rigido dell’asta a metà e v3 che descrive la linea elastica della terza

=

asta. Si impone che dove P è il carico assiale applicato alla trave ed E è il Modulo di Young

√

e J è il Momento d’Inerzia.

v1[z1_]:=C1 Cos[α z1] + C2 Sin[α z1] + C3 z1 + C4 ;

v2[z2_]:=D1 z2 + D2;

v3[z3_]:=C5 Cos[α z3] + C6 Sin[α z3] + C7 z3 + C8 ;

{ }

, , , , , , , , ,

Per trovare le 10 costanti di integrazione impongo 10 condizioni

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2

al contorno :

in

v1[0] = 0 quanto vi è una cerniera

non

[0]

v1'' = 0 vi è nessun momento applicato ed è una cerniera



v3[] = 0 il vincolo è un carrello



[]

v3'' = 0 è un carrello



v2[] v3[0]

− = 0 continuità di spostamento



v1[] v2[0]

− = 0 continuità di spostamento

′ ′ 

[] [0]

v1 − v2 = 0 continuità di rotazione 2

′ ′ 

[] [0]

v2 − v3 = 0 continuità di rotazione

2 

[] v1[]

−EJv1'' − EJ = 0 continuità di momento

2 

−EJv3''[0] − EJ v3[0] = 0 continuità di momento

Una volta risolte le precedenti condizioni si hanno le seguenti equazioni:

C1 + C4 = 0

2

−C1 =0 Cos[ ] Sin[]

C8 + C7 + C5 + C6 = 0

2 (C5 Cos[ ] Sin[ ])

− + C6 = 0

−C5 − C8 + D2 + D1 = 0

Cos[] Sin[]

C4 − D2 + C3 + C1 + C2 = 0

Cos[] Sin[]

C3 − D1 + C2 − C1 = 0

−C7 + D1 − C6 = 0

2

(C4 )

−EJ + C3 = 0

2

−C8 EJ = 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

2

− 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 Cos[] Sin[] 1 0 0

0 0 0 0 Cos[] Sin[] 0 0 0 0

0 0 0 0 −1 0 0 −1 1

Det[( )]]

Cos[] Sin[] 1 0 0 0 0 0 −1

− Sin[] Cos[] 1 0 0 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 0 − −1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

2

0 0 0 0 0 0 0 − 0 0

Trovo le radici imponendo che il determinante della matrice dei coefficienti sia zero e assumendo

:

che z =

Cos[] ( Cos[] + 2Sin [] )=0 3

Figura 1 Grafico funzione di z per trovare la prima radice della

funzione periodica

= 1.5707963267948966 si ha che la funzione si annulla ovvero trovo che uguagliando

2 2 2 2 2

= = = (1.5707963267948966)

si trova il primo carico critico pari a e

2

≅ 895.37

sostituendo i dati del materiale impiegato si trova

Confronto con un programma FEM

Nel FEM si è trovato la seguente deformata in corrispondenza del primo carico critico

Figura 2 Deformata della trave con il primo carico critico in STRAUS7

4 1

β =

Carico critico della struttura ipotizzando 2

1

=

CASO IN CUI 2

v1[0] = 0

[0]

v1'' = 0

3

[

v3 ] = 0

2 3

[

v3'' ] = 0

2

v2[] v3[0]

− = 0

1 v2[0]

[

v1 ] − = 0

2

1

′ ′ [0]

[

v1 ] − v2 = 0

2

′ ′

[] [0]

v2 − v3 = 0

1 1

2

[ [

−EJ v1'' ] − EJ v1 ] = 0

2 2

2

−EJ v3''[0] − EJ v3[0] = 0

Seguendo un procedimento identico al primo si trovano le 10 costanti di integrazione:

C1 + C4 = 0

2

−C1 = 0

3 3 3

C8 + C7 + C5Cos [ ] + C6Sin [ ] = 0

2 2 2

3 3

2

− (C5Cos [ ] + C6Sin [ ]) = 0

2 2

−C5 − C8 + D2 + D1 = 0

1 1 1

C4 − D2 + C3 + C1Cos [ ] + C2Sin [ ] = 0

2 2 2

1 1

C3 − D1 + C2Cos [ ] − C1Sin [ ] = 0

2 2

−C7 + D1 − C6 = 0

1 2

EJ (−C4 − C3) = 0

2

2

−C8EJ = 0 5

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

2

− 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 3 3

0 0 0 0 Cos[ ] Sin[ ] 1 0 0

2 2 2

3 3

0 0 0 0 Cos[ ] Sin[ ] 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 −1 0 0 −1 1 )]

Det [( 1 1 1

Cos[ ] Sin[ ] 1 0 0 0 0 0 −1

2 2 2

1 1

−Sin[ ] Cos[ ] 1 0 0 0 0 0 −1 0

2 2

0 0 0 0 0 − −1 0 1 0

1

0 0 1 0 0 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0 0 − 0 0

Trovo le radici imponendo che il determinante della matrice dei coefficienti sia zero e assumendo

:

che z = 3 1 1 3 3

Cos[ ]Sin[ ] + Cos[ ]( Cos[ ] + Sin[ ]) = 0

2 2 2 2 2

Figura 3 Grafico funzione di z per trovare la prima radice della funzione

periodica

= 1.3396318569939627 si ha che la funzione si annulla ovvero trovo che uguagliando

2 2 2 2 2

= = = (1.3396318569939627 )

si trova il primo carico critico pari a e

2

≅ 651.198

sostituendo con i dati del materiale scelto si trova

6

Confronto con un programma FEM

Nel FEM si è trovato la seguente deformata corrispondente al primo carico critico.

Figura 4 Deformata con il primo carico critico in STRAUS7

7