Calcolo stato tensionale cemento armato precompresso

SOLUZIONE

Calcolo Caratteristiche Meccaniche dei Materiali

Calcestruzzo := ⋅

Resistenza a compressione Rck 40 MPa

cubica a 28gg := ⋅ = ⋅

Resistenza Cilindrica a 28gg fck 0.83 Rck fck 33.2 MPa

:= + ⋅ = ⋅

fcm fck 8 MPa fcm 41.2 MPa

Resistenza cilindrica media 1 2

3 3

:= ⋅ ⋅ = ⋅

Resistenza a trazione media del cls fctm 0.3 MPa Rck fctm 3.509 MPa



 28

 

⋅ −

0.25 1

 

15

:= = ⋅

Resistenza a compressione del cls al tiro fckj fck e fckj 30.295 MPa

(Model Code 90)

Tensione massima di compressione := ⋅ = ⋅

ammissibile nel cls in condizioni σcci σcci

0.7 fckj 21.207 MPa

iniziali

Tensione massima di trazione fctm

:= = ⋅

ammissibile nel cls in condizioni σcti σcti 2.924 MPa

1.2

iniziali

Tensione massima di compressione := ⋅ = ⋅

ammissibile nel cls in condizioni σcce σcce

0.45 fck 14.94 MPa

di esercizio

Tensione massima di trazione fctm

:= = ⋅

ammissibile nel cls in condizioni σcte σcte 2.924 MPa

1.2

di esercizio 0.3

 

fcm

0.7 4

:= ⋅ = × ⋅



Modulo elastico cls Ec 22000MPa Ec 3.364 10 MPa

 

10

Acciaio := ⋅

Modulo elastico acciaio da Ep 205000 MPa

Precompressione

Tensioni caratteristicche di rottura e snervamento := ⋅ :=

fptk 1900 MPa fp1k 1700MPa

dell'armatura di precompressione (in trefoli)

Tensione massima ammissibile := ,

σpi min

( 0.75fptk 0.85fp1k )

nell'armatura al tiro 3

= × ⋅

σpi 1.425 10 MPa

Tensione massima ammissibile 3

:= = × ⋅

σpe σpe

0.8fp1k 1.36 10 MPa

nell'armatura in esercizio

Coefficiente di omegenizzazione al tiro

Ep

:= =

n 6.093

Ec

Calcolo caratteristice geometriche della sezione nelle varie fasi

si valutano le caratteristiche geometriche della sezione nelle due fasi previste nella fase di

costruzione e di esercizio della trave

Fase I (Condizioni a Vuoto: precompressione + peso proprio della trave)

In questa fase i cavi non sono solidali col calcestruzzo per cui occorre depurare la sezione di

calcestruzzo dell'area dei cavi di precompressione.

Area 3 2

:= ⋅ − = × ⋅

AidI b h Ap AidI 5.975 10 cm

Momento Statico

h 5 3

:= ⋅ ⋅ − ⋅ − = × ⋅

SidI b h Ap ( h dp ) SidI 4.465 10 cm

2

Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave

SidI

:= = ⋅

yGI yGI 74.72 cm

AidI

Momento d'inerzia

3 2

⋅  

b h h 2 7 4

:= + ⋅ ⋅ − − ⋅ − − = × ⋅

JidI b h yGI Ap ( h dp yGI

) JidI 1.114 10 cm

 

12 2

Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore

JidI 5 3

:= = × ⋅

WidsI WidsI 1.491 10 cm

yGI

JidI 5 3

:= = × ⋅

WidiI WidiI 1.479 10 cm

−

h yGI

Nel caso specifico l'area dei cavi d'acciaio risulta essere piccola per cui l'area ideale della

sezione si potrebbe approssimare con l'area della sezione immaginata di solo calcestruzzo

senza eccessivo errore. Infatti l'area e il momento d'inerzia approssimati risulterebbero

3

⋅

b h

3 2 7 4

:= ⋅ = × ⋅ := = × ⋅

AI b h AI 6 10 cm JI JI 1.125 10 cm

12

JI JI

5 3 5 3

:= = × ⋅ := = × ⋅

WsI WsI 1.506 10 cm WiI WiI 1.494 10 cm

−

yGI h yGI

Fase II (Condizioni di esercizio ( precompressione + peso proprio della trave+

sovraccarichi permanenti e accidentali)

In questa fase i cavi di precompressione sono sigillati nelle guaine con la malta e pertanto

i:

risultano solidali col calcestruzzo. Le grandezze geometriche ideali sono quindi le seguent

Area 3 2

:= ⋅ − + ⋅ = × ⋅

AidII b h Ap n Ap AidII 6.127 10 cm

Momento Statico

h 5 3

:= ⋅ ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ − = × ⋅

SidII b h Ap ( h dp ) n Ap ( h dp ) SidII 4.681 10 cm

2

Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave

SidII

:= = ⋅

yGII yGII 76.392 cm

AidII

Momento d'inerzia

3 2

⋅  

b h h 2 2

:= + ⋅ ⋅ − − ⋅ − − + ⋅ ⋅ − −



JidII b h yGII Ap ( h dp yGII

) n Ap ( h dp yGII

)

 

12 2

7 4

= × ⋅

JidI 1.114 10 cm

Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore

JidII WidsII

5 3

:= = × ⋅ := =

WidsII WidsII 1.546 10 cm yi 0.252 m

yGII AidII

JidII WidiII

5 3

:= = × ⋅ := =

WidiII WidiII 1.604 10 cm ys 0.262 m

− AidII

h yGII

Calcolo Sollecitazioni

Peso proprio trave

kN kN

:= ⋅ ⋅ = ⋅

pp b h 25 pp 15 m

3

m

Momento massimo in mezzeria al tiro

1 2 3

:= ⋅ ⋅ = × ⋅ ⋅

Mmax1 pp L Mmax1 1.688 10 kN m

8

Momenti massimi in mezzeria in esercizio

1 2 3

:= ⋅ + ⋅ = × ⋅ ⋅

(Permanenti)

Mmax2 ( pp pk ) L Mmax2 2.194 10 kN m

8

1 2 3

:= ⋅ = × ⋅ ⋅

(Variabili cond. rara)

Mmax3 ( qk

) L Mmax3 1.125 10 kN m

8

Calcolo Perdite e Cadute di Tensione

Perdite per attrito

In travi in c.a.p. a cavi post-tesi, nella fase di tesatura del cavo, nascono

inevitabilmente tensioni tangenziali sulla superficie del cavo dovute all’attrito tra

cavo e guaina. La variazione di tensione (trazione) nel cavo si può valutare con la

nota relazione :

( ) ( )

N

α α

σ σ

∆ = − = −

f f

0

1 e 1 e

c c

attr spi A

i

dove f = 0.3 1/rad nel caso si utilizzino guaine metalliche

c

α = angolo che la tangente al cavo nel punto iniziale forma con l’asse

orizzontale α descrive la

Per la valutazione di si può determinare l’equazione della parabola che

forma del cavo con origine nel punto B e poi valutare il valore della derivata prima

nel punto A:

2

:= + +

y ax bx c

con le seguenti condizioni al contorno

y(0)=0 dy/dx(0)=0 y(15)=0

porte ai seguenti coefficienti −

4 1

3

:= = ×

b=c=0 a 4.444 10

2 2

L m

2

:= ⋅ (Equazione del cavo)

y

( x

) 0.0045 x

Calcolando a questo punto la derivata di y(x) in testa alla trave si può valutare l'angolo che la

tangente al cavo forma con l'asse della trave

:=

x 15

 

d

:= = :=

 

D y

( x

) 0.135 tanα D

 

d x

Poichè l'arco tangente è circa pari alla tangente si assume che

:= ⋅

α 0.135 rad

A questo punto è possibile valutare la perdita di tensione nel cavo dovuta all'attrito

:=

fc 0.3 N0  

− ⋅ α

fc ( )

:= − = ⋅ (Perdita di tensione per

∆σatt ∆σatt

1 e 55.567 MPa

Ap attrito)

La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza

:= ⋅ = ⋅ (Perdita di sforzo nel cavo

∆Natt ∆σatt ∆Natt

Ap 138.918 kN per attrito)

Tiro nel cavo a perdite di attrito avvenute

Nel cavo dopo il tiro dello stesso lo sforzo normale in esso vale

3

:= − = × ⋅

∆Natt

Ni N0 Ni 3.361 10 kN

−

N0 Ni ⋅ =

con una perdita percentuale pari 100 3.969

N0

Caduta di tensione dovute alla viscosità del cls

Il D.M. 14.01.2009 al punto 11.2.10.7 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo

infinito (in esercizio) dovute alla viscosità è da calcolarsi come segue:

( ) ( )

σ ε σ

∆ = Φ ∞ = Φ ∞

t , E t , n

v 0 p c ,

el 0 c ,

el

( )

Φ ∞

t ,

dove è la funzione di viscosità a tempo infinito funzione del tempo di carico t 0

0 σ

La tensione è la tensione nel cls all'altezza del cavo dovuta ai sovraccarichi permanenti e

c,el

accidentali, quest'ultimi solo se di natura quasi permanente:

⋅

Ni ec Mmax2

Ni

:= + ⋅ − ⋅ = ⋅

σ σ

ec ec 5.815 MPa

cel cel

JidII

AidII JidII

Φ

La funzione può essere desunta dalla tabella 11.2.VII delle NTC08 valida per un dato valore

d'umidità relativa. Nel caso specifico l'umidità prescelta è pari al 75%

Il coefficiente h si calcola come rapporto tra il doppio dell'area della sezione e il perimetro

0

della sezione stessa

⋅ ⋅

2 ( 1500 400 )

:= =

h0 h0 315.789

⋅ +

2 ( 1500 400 )

Ipotizzando un tempo di carico iniziale to=15gg, interpolando tra i valori relativi ad ho=300 ed

ho=600 indicati nella tabella, il valore della funzione di viscosità vale:

:=

Φ 2.2

La caduta di tensione nel cavo dovuta al fenomeno della viscoità risulta di conseguenza

:= ⋅ ⋅ = ⋅

∆σv Φ σ ∆σv

n 77.959 MPa

cel

La variazione di tiro nel cavo vale infine

:= ⋅ = ⋅

∆Nv ∆σv ∆Nv

Ap 194.898 kN

∆Nv ⋅ =

con una perdita percentuale pari 100 5.569

N0

Caduta di tensione dovute al ritiro del cls

Il D.M. 14.01.2009 al punto 11.2.10.6 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo

infinito (in esercizio) dovute alla ritiro è da calcolarsi come segue:

ε

Nel caso specifico e k non coincidendo con nessuno dei valori tabellati devono essere

c0 h

ricavati per interpolazione lineare. Scegliendo un valore dell'Umidità più vicino a quello

εc0

prescelto (in questo caso il 75%) e ricordando che fck=33.2 Mpa, la deformazione

espressa il °/ si calcola come segue:

°°

− +

0.38 0.49

:= ⋅ − − = − °/ UR = 60%

ε ε

( 33.2 20

) 0.49 0.417 °°

c0 c0

−

40 20

− +

0.24 0.30

:= ⋅ − − = − °/ UR = 80%

ε ε

( 33.2 20

) 0.30 0.26 °°

c0 c0

−

40 20

− +

0.26 0.417

:= ⋅ − − = − valore interpolato tra UR=60% e UR=80%

εc0 ( 75 60

) 0.417 0.299

−

80 60 −

0.75 0.70

:= − − =

kh 0.75 ( h0 300 ) kh 0.746

−

500 300

:= ⋅ = − °/

εcd &ep