Analisi matematica 1 - Prova d'esame completa risolta e commentata + formulario

ANALISI 1 -

Prova d'esame completa risolta e commentata - Metodo risolutivo passo-passo

Esercizio 1 2

2

− cos(√2) − 2

lim 4

→0

Utilizziamo gli sviluppi di Taylor poiché il limite tende a 0

Ricordiamo 2

2

= 1 + x + + o ( )

2

2 4

4

cos = 1 - + + o ( )

2 24

Di conseguenza: 2 4

4 4

(√2) (√2)

2

2 4 2 4

cos(√2)

= 1 + + + o( ) e = 1 - + = 1 - + + o ( )

2 2 24 6

4

Nota: Ci fermiamo al 4° ordine perché il denominatore è sviluppare meno non

basterebbe e sviluppare di più sarebbe inutile

Ora sostituiamo all’interno del limite

4 4

2 2 2

1 + + −1 + − − 2

lim ( ) svolgiamo le semplificazioni

2 6

4

→0 4 1 1

lim lim

= =

3

4

3 3

→0 →0

Esercizio 2 1 + 1

∫ 2

+ 2 + 5

0

Controlliamo se al denominatore il delta sia positivo negativo o nullo

2

∆ = − 4 ∆ < 0

= 4 – 20 =

Posso applicare il metodo del completamento del quadrato attraverso la seguente

formula 2 2

4 −

2 2

(

+ + = ( + ) + + 1) + 4

=

2 4

2

( + 1) + 4 2( + 1)

Pongo u = perciò du = dx

Ricalcolo i due nuovi estremi

x = 0 u = 5

x = 1 u = 8

8 8

+ 1 1 1 1 1 1 8

(ln

( ) 8 − ln 5) ln

= = =

∫ ∫

5 5

(

2 + 1) 2 2 2 5

ln − ln = ln

(per le proprietà dei logaritmi )

Metodo alternativo per la risoluzione di questo esercizio

1 + 1

∫ 2

0 +2 + 5

Notiamo che, se moltiplicato per 2, il numeratore è esattamente la derivata del

denominatore, perciò ′

1

1 2 + 2 () = ln ()

in questo caso

∫ ∫

2

0

2 +2 + 5 ()

1 1 8

(ln 8 − ln 5) = ln

2 2 5

Esercizio 3 ∞ 2

+ sin

∑

+ 1

= 1

Dato che sin (n) è una funzione periodica che oscilla continuamente tra –1 e 1

2 2

+ sin ~

possiamo trascurarla e approssimare il numeratore a

> 0

Studiamo nel caso in cui di conseguenza per n che tende a infinito il

denominatore può essere approssimato