Esercizi Analisi matematica 1

R.

0

−x, ∈ −1

(A + I)v = 0 ha soluzioni v = (x, z), x, z in particolare l’autospazio corrispondente a λ = ha

R,

dimensione due, dunque tutti gli autovalori sono regolari e la matrice A è diagonalizzabile. Una base in cui

0

L

la matrice rappresentativa di è diagonale è una base di autovettori, ad esempio

k      

1 1 0

−1

0 0

v = , v = , v = .

1 2 3

     

1 0 1

∈

Esercizio 4. (6 punti) Al variare di k discutere la risolubilità del sistema lineare

R,  x + 2y + 3z = k

 y + 2z + w = 0 2

− −

x z 2w = k .



Soluzione. La matrice associata al sistema è  

1 2 3 0

0 1 2 1

A = .

 

−1 −2

1 0

Il rango della matrice è maggiore o uguale a due, in quanto vi sono sottomatrici 2x2 a determinante non nullo,

ad esempio quella corrispondente alle prime due righe e alle prime due colonne. Orlando tale sottomatrice negli

unici due modi possibili si ottengono le matrici

   

1 2 3 1 2 0

0 1 2 0 1 1

, .

   

−1 −2

1 0 1 0

È immediato verificare che entrambe tali matrici hanno determinante nullo. Dunque per il teorema di Kronecker

rk A = 2. Il sistema richiesto ha allora soluzione, per il teorema di Rouché-Capelli, se e solo se rk (A|b) = 2, dove

b è il vettore che compare a secondo membro del sistema. Per calcolare se il rango della matrice orlata è necessario

calcolare il determinante della sola ulteriore sottomatrice che si ottiene orlando la matrice 2x2 precedentemente

individuata con l’ultima riga e con la colonna b. Si ha: 

 1 2 k 2 −

0 1 0 = k k.

det 

 2

1 0 k

Tale determinante si annulla se e solo se k = 0 oppure k = 1. In tali casi il rango della matrice orlata è due e il

6 6

corrispondente sistema è risolubile, se invece k = 0, k = 1 non lo è.

Ingegneria Chimica, dei Materiali e delle Nanotecnologie

1 febbraio 2019 - Analisi Matematica I e Geometria (PRIMA PARTE)

Cognome: Nome: Matricola:

Prescritto Teoria Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Totale

LE RISPOSTE VANNO MOTIVATE.

1 1 1

∈ →

1. Date le successioni a = sin + , b = con n mostrare che b = o(a ) per n +∞.

N,

n n n n

2 2

n n n

x

2. Mostrare che i grafici delle funzioni f (x) = e e g(x) = x + 2 si intersecano.

7 5 3

−

3. Stabilire se la funzione f (x) = x x + x è limitata.

x →

ammette o meno un asintoto obliquo per x +∞.

4. Stabilire se la funzione f (x) = log x

100

x t

R dt.

5. Calcolare lim x→+∞ 100

0 +1

t 2 2

∈

6. Determinare le soluzioni z dell’equazione z = z .

C

7. Stabilire se il piano di equazione cartesiana x + 2y + 3z = 0 e la retta di equazioni parametriche

∈

x = t, y = 2t, z = 3t, t si intersecano.

R, 



1 1 1

1 1 1 è invertibile.

8. Stabilire se la matrice A = 



1 1 1

1 0 è diagonalizzabile.

9. Stabilire se la matrice A = 1 1

10. Stabilire se i vettori v = (1, 0, 0), v = (1, 0, 1), v = (0, 0, 1) sono linearmente indipendenti.

1 2 3

Ingegneria Chimica, dei Materiali e delle Nanotecnologie

1 febbraio 2019

Analisi Matematica I e Geometria (SECONDA PARTE)

Cognome: Nome: Matricola:

Teoria. (3 punti) Enunciare e dimostrare la formula di Taylor con resto di Peano.

3

−9 |1 − |

Esercizio 1. (8 punti) Studiare la funzione f (x) = log x + (log x) e rappresentarne il grafico; è richiesto

anche lo studio della concavità.

SOLUZIONE. Il dominio della funzione è (0, +∞).

3

( −(log − ∈

x) 9 log x + 1 se x (0, e]

f (x) = 3 − − ∈

(log x) 9 log x 1 se x (e, +∞)

Limiti agli estremi del dominio:

lim f (x) = +∞, lim f (x) = +∞, .

x→+∞ +

x→0 →

La retta di equazione x = 0 è asintoto verticale (destro) per f , non esiste asintoto obliquo per x +∞.

∈ ∈

Per lo studio della derivata prima distinguiamo i casi x (0, e) e x (e, +∞). In (0, e) la funzione è

derivabile e vale: 1 9 3

0 2 2

−3(log − −

f (x) = x) = (log x) + 3

x x x

0

Tale espressione mostra che f < 0 in (0, e) ove f risulta decrescente.

In (e, +∞) la funzione è derivabile e vale: 1 9 3

0 2 2

− −

f (x) = 3(log x) = (log x) 3 .

x x x

√ √ √

0 0

3 3 3

Tale espressione mostra che f (x) > 0 sse x > e , f (e ) = 0. f risulta decrescente in (e, e ), cre-

√

√ √ √ 0

3 3 3 −6 3−1. Essendo lim f (x) =

scente in (e , +∞), il punto e è di minimo assoluto e f (e ) = +

x→e

0

−6/e −12/e,

e lim f (x) = la funzione non è derivabile nel punto angoloso x = e.

−

x→e 0

Osserviamo che lim f (x) = 0.

x→+∞ ∈

La derivata seconda per x (0, e) risulta: 3

00 2

−

f (x) = (log x) 2 log x + 3 .

2

x

00 ∈

f (x) > 0 per ogni x (0, e), quindi f è convessa in (0, e).

∈

La derivata seconda per x (e, +∞) risulta:

3

00 2

− − −

f (x) = (log x) 2 log x 3 .

2

x

00 00 00

3 3 3

∈ ∈

f (x) > 0 per ogni x (e, e ), f (x) < 0 per ogni x (e , +∞), f (e ) = 0, quindi f è convessa in

3 3 3 3 −1.

(e, e ), concava in (e , +∞), il punto x = e è di flesso, vale f (e ) =

L’andamento qualitativo della funzione è descritto dal seguente grafico.

y √ 3 3

e

e x

0

Esercizio 2. (6 punti) Calcolare gli integrali √

2 π/4 −

Z Z

x tan x 1

√ dx , dx .

2

3 cos x

−

x 2

1 0 √

3 −

x 2,

SOLUZIONE. Nel primo integrale determiniamo le primitive utilizzando la sostituzione t =

3

da cui x = 2 + t :

Z Z

x 3 3

4 2 5 2/3 5/3

√ − −

dx = 6t + 3t dt = 3t + t + C = 3(x 2) + (x 2) + C = F (x) + C,

3 5 5

−

x 2

quindi 2

Z x 3 12

√ − −3 −

dx = F (2) F (1) = + = .

3 5 5

−

x 2

1

Nel secondo integrale determiniamo le primitive utilizzando la sostituzione t = tan x:

√ √

− Z

Z tan x 1 2 2

3/2 3/2

− −

−

dx = dt = t t + C = (tan x) tan x + C = F (x) + C,

t 1

2

cos x 3 3

quindi √

π/4 −

Z tan x 1 2 1

− − −

dx = F (π/4) F (0) = 1 = .

2

cos x 3 3

0 ∈

Esercizio 3. (6 punti) Al variare del parametro a determinare il nucleo e l’immagine dell’applicazione lineare

R,

3 2

→

L : definita da L (x, y, z) = x + 2y + z, a(x + y) . Ci sono dei valori di a per i quali L è

R R a a

a

biunivoca?

SOLUZIONE. Associamo ad L la matrice rappresentativa

a

1 2 1

A = .

a a a 0

2 1

6

Il rango di A è 2 sse a = 0 (ad esempio la sottomatrice ha determinante non nullo). In tal

a a 0

2

caso l’immagine di L , ImL = , mentre il nucleo si ottiene risolvendo il sistema omogeneo:

R

a a x + 2y + z = 0 ,

ax + ay = 0

quindi x 1

 

   

 

 

−1 ∈

y

KerL = = t : t .

    R

   

 

 

z 1 !

1 , quindi

Se a = 0, l’immagine di L ha dimensione 1 ed è generata dal vettore

0 0

! )

!

( 1

x ∈

: t .

= t

ImL = R

0 0

y

Il nucleo si ottiene risolvendo: x + 2y + z = 0 ,

da cui x 1 0

 

 

   

 

 

1 1

− − ∈

y = t

KerL = + s : t, s .

 

    R

2 2

 

   

 

 

z 0 1

Un’applicazione lineare tra due spazi vettoriali di dimensioni diverse non può essere biunivoca.

∈

Esercizio 4. (4 punti) Si determinino i valori del parametro k per cui i tre piani di equazioni

R

−

x + y + z = k, x y = 0 , x + z = 1 ,

hanno come unica soluzione un punto in cui la terza coordinata è la somma delle prime due.

SOLUZIONE. Risolvendo il sistema x + y + z = k





 −

x y =0



 x + z =1

− − −

otteniamo come unica intersezione il punto P = (k 1, k 1, 2 k). Imponendo la condizione

− − −

2 k = k 1 + k 1 ricaviamo il valore del parametro richiesto: k = 4/3.

Ingegneria Chimica, dei Materiali e delle Nanotecnologie

14 giugno 2019 - Analisi Matematica I e Geometria (PRIMA PARTE)

Cognome: Nome: Matricola:

Prescritto Teoria Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Totale

LE RISPOSTE VANNO MOTIVATE.

1

1. Discutere l’esistenza del seguente limite: lim sin .

x

+

x→0

r 1 1 1

2 − −

2. Calcolare il limite lim n 1 + cos sin .

n n 2n

n→∞ 1

x

3. Mostrare che i grafici delle funzioni f (x) = e e g(x) = si intersecano.

x

1

Z p 2

−

4. Calcolare l’integrale 1 x dx.

0

| − ≤ |x − ∈

5. Provare che arctan x arctan y| y|, per ogni x, y R.

√ 3

2

6. Determinare le soluzioni dell’equazione z + iz + i = 0.

4 ∈

7. Stabilire se la retta di equazione parametrica x = t, y = t, z = t, t e la retta di equazione carte-

R,

x + y + z =0 , si intersecano.

siana −

y z =0  

1 1 1

1 2 2

8. Stabilire se la matrice A = è invertibile.

 

0 1 1





1 0 0

0 1 1

9. Stabilire se la matrice A = è diagonalizzabile.





0 1 1

10. Calcolare l’angolo tra i vettori v = (1, 0, 1), v = (1, 1, 0).

1 2

Ingegneria Chimica, dei Materiali e delle Nanotecnologie

14 giugno 2019

Analisi Matematica I e Geometria (SECONDA PARTE)

Cognome: Nome: Matricola:

Teoria. (3 punti) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo.

Esercizio 1. (9 punti) Studiare la funzione s x

f (x) = arctan −

x 1

e rappresentarne il grafico. Non è richiesta l’analisi della derivata seconda.

∪

SOLUZIONE. Il dominio della funzione è (−∞, 1) (1, +∞).

q

 x ∈ ∪

arctan se x (−∞, 0] (1, +∞)

x−1



f (x) = q x ∈

se x (0, 1)

arctan

 1−x

f (x) = 0 sse x = 0, altrove è positiva. Il punto x = 0 è di minimo assoluto per f .