Formulario Analisi 1

Tabella con limiti notevoli

con x → 0

1. lim_x→0 (sin x)/x = 1

   sin x ~ 1 · x

2. lim_x→0 (1 - cos x)/x² = 1/2

   1 - cos x ~ 1/2 x²

3. lim_x→0 log_e(1+x)/x = 1

   log_e(1+x) ~ 1 · x

4. lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1

   e^x - 1 ~ 1 · x

5. lim_x→0 ((1+x)^α - 1)/x = α

   (1 + x)^α - 1 ~ α · x

6. lim_x→0 tan_g x / x = 1

   tan_g x ~ x

7. lim_x→0 arcosm x / x = 1

   arcosm x ~ x

8. lim_x→0 arcotg x / x = 1

   arcotg x ~ x

cosh x - 1 ~ 1/2 x²

TABELLA CON LIMITI NOTEVOLI

con x → 0

• lim_x→0 (sin x) / x = 1

  sin x ~ 1·x

  sin x = x + Θ(x)

• lim_x→0 (1 - cos x) / x² = 1/2

  1 - cos x ~ 1/2 x²

  cos x = 1 - 1/2 x² + Θ(x²)

• lim_x→0 log_e(1+x) / x = 1

  log_e(1+x) ~ 1·(x)

  log_e(1+x) = x + Θ(x)

• lim_x→0 (e^x - 1) / x = 1

  e^x - 1 ~ 1·x

  e^x = 1 + x + Θ(x)

• lim_x→0 ((1+x)² -1) / x = 2

  (1+x)² - 1 ~ 2·x

  (1+x)² = 1 + 2x + Θ(x)

• lim_x→0 tg_ox / x = 1

  tg_ox ~ x

  tg_ox = x + Θ(x)

• lim_x→0 arcsen x / x = 1

  arcsen x ~ x

  arcsen x = x + Θ(x)

• lim_x→0 arcotg x / x = 1

  arcotg x ~ x

  arcotg x = x + Θ(x)

• cosh x - 1 ~ 1/2 x²

Formule McLaurin\Taylor

f(x) = e^x -> e^x = 1 + x +^x2/_2! + ... + 1/_m!x^m + Θ(x^m)

f(x) = sin x -> sin x = 0 + x/_1! - x³/_3! + x⁵/_5! - x⁷/_7! +...+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/_(2n+1)! -> Θ(xⁿ⁺⁴)

f(x) = cos x -> cos x = 1 - x²/_2! + x⁴/_4! - ...+ (−1)ⁿx²ⁿ/_(2n)! -> Θ(xⁿ⁺²)

log_a(1+x) -> log_a(1+ x) = x -^x2/2 + x³/3 - x⁴/4 +...+ (−1)ⁿ⁺¹x^m/m + Θ(x^m)

f(x) = arc tg x -> arc tg x = x - x³/3 + x⁵/5 + ... + (−1)ⁿx^2m+1/_(2n+1) + Θ(x^2m+1)

f(x) = (1 + x)^d = (1 + x)^d = 1 + x* d/1! + d(d-1)x²/2! + d(d-1)(d-2)x³/3! +...+ d(d-1) ...(d-m+1)x^m/n!

sin h x = x /_1! + x³/_3! + x⁵/_5!+ ... + xⁿ/_(2m+1)! + Θ(x^2m+1)

cos hx = 1 + x²/_2! + x⁴/_4! + ...+ xⁿ/_(2m) + Θ(x^2m)

Sviluppi Notevoli\serie di potenze

• e^x = Σ_n=0^∞ xⁿ/n!; I=ℝ
• sin x = Σ_n=0^∞ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/_(2m+1)!; I=ℝ
• cos x = Σ_n=0^∞ (−1)ⁿ xⁿ/_(2m)!; I=ℝ
• sinh x = Σ_n=0^∞ x²ⁿ⁺¹/_(2m+1)!; I=ℝ
• cosh x = Σ_n=0^∞ x^m/_2m!; I=ℝ
• 1 /_1−x = Σ_n=0^∞ x^m; I=(−1,1)
• log_a(1+x) = Σ_n=1^∞ (−1)ⁿ⁺¹ x^m/n; I=(−1,1]
• arc tg x = Σ_n=0^∞ (−1)ⁿ x^2m+1/_2m+1; I=[−1,+1]
• (1+ x)^d = Σ_n=0^∞ ( _dⁿ) x^m, ( _dⁿ) = d(d−1).../n!; I=(−1,1)

Scomposizioni

• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
• (a² - b²) = (a - b)(a + b)
• a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²) = (a - b)(a + b)(a² + b²)
• (a - b)² = a² - 2ab + b²
• (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
• (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
• (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
• (a - b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴

Disequazioni irrazionali con m pari

• m√f(x) > g(x)
  • f(x) ≥ 0
    • g(x) ≥ 0
    • f(x) > [g(x)]^m

• m√f(x) < g(x)
  • f(x) ≥ 0
  • g(x) > 0
  • f(x) < [g(x)]^m

• m√f(x) ≥ g(x)
  • g(x) ≥ 0
  • f(x) ≥ [g(x)]^m ∪
    • g(x) < 0
    • f(x) ≥ 0

• m√f(x) ≤ g(x)
  • g(x) ≥ 0
  • f(x) ≤ [g(x)]^m

Studio di un grafico della funzione

1) Dominio

• denominatore ≠ 0
• radicandi a indice pari ≥ 0
• base di logaritmi > 0 e ≠ 1
• argomenti dei log > 0
• argomenti di arcsin/arccos ≤ 1(arctg non ha problemi)
• dominio scritto in intervalliD = ( , ) ⋃ ( ; )

2) Studio simmetrie

Se il dominio e' simmetrico rispetto a zero posso studiare eventuali simmetrie PARI/DISPARI

• f e' pari se f(x) = f(-x); grafico simmetrico rispetto all'asse y e lo e' quando ponendo f(x) esce in qualche modo a rivedere f(x)
• f e' dispari se f(x) = -f(-x); grafico rispetto all'origine e riesco ponendo f(-x) = -f(x) od avanzare alla forma -f(x)

3) Studio dei limiti

Faccio il limite per: x-->x₀ (x₀ anche ±∞)

• punti in cui cambia legge (anche per trovaru discontinuità)
• punti di frontiera per il dominio per cui non appartenga al D (estremi intervallo, ombre ±∞)

Classifico:

• Punti finiti x₀∈ℝ

lim f(x) =x->x₀ la distringuo da dx e da sx, sempre se lei somo parete

• lim f(x) =x->±∞

oscilla Keℝ ASINTOTO ORIZZONTALE

Se non in questo caso vado a cercare un ASINTOTO OBLIQUO ꓼ retta del tipo y = mx + q ꓼ se esiste devo trovare m, q

m = lim f(x)/x x->±∞ e limite dove esisteràe m ≠ 0

q = lim (f(x) - mx)x->±∞ ← questo limite deve esistere e essere finito

(4) SEGNO E ZERI DELLA FUNZIONE (non obbligatorio)

Significa capire se la f(x) è ≥ o ≤ di 0, le zone che si trovano sotto l'asse delle x

• per il segno f(x) ≥ 0 punti in cui il grafico è sopra l'asse x
• f(x) ≤ 0 punti per cui il grafico passa per l'asse x

(5) STUDIO DELLA DERIVATA PRIMA

- Si individuano i punti in cui è potenzial. non essere derivabile e il tipo di porte

• si calcola la derivata dove sicuramente esiste, quindi, tralasciando i punti dove non potrebbe essere derivabile.
• I punti dove potrebbe non essere derivabile sono: quelli in cui cambia legge; dove si annulla il valore assoluto; le radici oppure arroton. per eccesso/di.

• l'eventuale loro risalimento (punto angoloso, punto di tangenza, cuspide)

  Le metod. di calcolo derivabilità:

  1. Rapporto incrementale o limite
  2. 2), 3ª conseguenza di Lagrange (se 2 lim)
  - Si studia il segno della derivata per capire dove cresce e dove decresce per trovare anche MAX e MIN (test di monotonia) (si può anch fare il lim, per x-> +&, x->0D per capire con fin distribuzione)

  (6) DERIVATA SECONDA (non obbligatorio)

  • Calcolo f''(x) dove sicuramente esiste
  • studio il segno per il test di convessità
  f''(x) ≥ 0 Il segno di f'' Il rapporto di due rette le intersezioni e i segni del mio risultato, dove è O é convesso (U) e dove è ∩ é concavo (∩) è dove si fa, prend. ∪ poi ∩ e viceversa lo smaterialo, un punto di flesso.

  SERIE DI POTENZE

  ∑ aₙ · xⁿ

  • DALLA SERIE A f(x)
  1. screvo 1an1
  2. cotengo del rapporto |aₙ₊₁| / |aₙ| = n ⟶ ρ = 1/m
  3. estremi di conv. studio serie m: x = -1/m, x = 1/m
  4. riscrivo serie e CONVERGO e POTENZE alla m e le pongo +1 e mi ricordo che Sm funsce rosso: 1/x integrale deruare, quando trovo Sm, = termine modetto
  5. screvo f(x) = 1/i e mi controllo ponso f(e la serie di portenza)
  • fun che darra prona (DOMINO)
  • DALLA f(x) alla SERIE DI POTENZE
  1. bono remandum a sviluppi non, ocserno a quale facco refemonto
  2. facco possoggio a lugicrez, facco i sisremi x stabcho gli interualli
  3. passo alle serie condenati, facco portista dutti dalle stessa n (bascio sempre manrino l'pius-dto)
  4. scacclog m in comune e scamo un unco am

  Se voglo la presente emmessima (m=x=0)

  ∑ f^(m)(0) / h! ⟶ ∞ h!: f^(m)(0) dove sostituire n com l'enumoto di derutà

  !! se non ho ( ^m ma ( ^2m ) o ( ^2m+1 ) panso il numoro di derruata = a 2m o 2m+1 e puo' portuza "0" ma esse a se e' PRAL DISTARS

  DERIVATE

  • D(k) = 0
  • D(x) = 1
  • D(sinx) = cosx
  • D(cosx) = -sinx
  • D(e^x) = e^x
  • D(log_ex) = ¹⁄_x
  • D(xⁿ) = nx^n-1
  • D(√x) = ¹⁄_2√x
  • D(¹⁄_x) = -¹⁄_x²
  • D(tanx) = ¹⁄_cos²x
  • D(a^x) = a^xloga
  • D(x^x) = x^x(log_ex + 1)
  • D(arcsin x) = ¹⁄_√1-x²
  • D(arctg x) = ¹⁄_1+x²
  • D(arccos x) = -¹⁄_√1-x²
  • D(ln|x|) = ¹⁄_x
  • D(3√x) = ¹⁄_3x^2/3
  • D(sinhx) = coshx = ^{ex - e-x}⁄₂
  • D(coshx) = sinhx = ^{ex - e-x}⁄₂

  INTEGRALI

  • ∫k dx = x + c
  • ∫xⁿ dx = ^xn+1⁄_n+1 + c
  • ∫¹⁄_x dx = log|x| + c
  • ∫sinx dx = -cosx + c
  • ∫cosx dx = sinx + c
  • ∫¹⁄_1+x² dx = arctgx + c
  • ∫e^x dx = e^x + c
  • ∫¹⁄_cos²x dx = tgx + c
  • ∫sin kx dx = -^{cos kx}⁄_k + c
  • ∫cos kx dx = ^{sin kx}⁄_k + c
  • ∫sinh x dx = coshx + c
  • ∫cosh x dx = sinhx + c
  • ∫log_bx dx = x log_bx - x + c
  • ∫a^x dx = ¹⁄_logea a^x + c
  • ∫¹⁄_√1-x² dx = arcsinx + c
  • ∫¹⁄_√1-x² dx = arccosx + c
  • ∫a^x dx = ^ax⁄_logea + c
  • ∫¹⁄_cos²x dx = tgx + c
  • ∫¹⁄_sin²x dx = -cotg_ex + c
  • ∫tgx dx = -log|cosx| + c

  Decomposizione di Hermite

  P(x) = P(x) + A₁

  ∫ f(x^a)dx punto A teorema è di non separare l'integrale!

  Funzioni Trigonometriche

  [sin²x + cos²x = 1]

  Esponente dispari ^2m+1 ∫sin ^2m+1 x dx

  Esponente pari ∫(cos^x)ⁿ dx = ∫(cos^x)ⁿ dx

  cos²x = ^{1 + cos 2x}/₂

  sin²x = ^{1 - cos 2x}/₂

  ∫f(sinx, cosx) dx = uso formula parametrica ^2t/_1+t²

  Formula di bisezione ^4-2x/_4+cos2x + ^sinx/_1+cosx

  Integrali con funzioni razionali

  1. ∫ f(x^rx) dx; faccio mcm tra 1/_r1
  2. ∫ f(x¹√ax+b) dx; punto ax+b=t^N;
     • trovo dx
     • trovo la x
  3. ∫ f(x; ^(b) ^nx dx; faccio mcm tra [separo b] dx = ^{dx dx}
  4. ∫ f(x; √b-a^x ) dx = indosso a
  5. ∫ f(x; ^(ax^n-x)) dx = punto = cosht = √1+sh²t

  ∫∫f(x, √x - b₁)dx = ∫√b(√b(x - 1))dx = ∫b∫√b(√b(x))²-1 dx=

  devo fare diventare b=1

  pongo: ^√x/_b = cosh x → 1/cosh² x - 1 = sinh² x

  - - - - - Funzioni Iperboliche

  sinh x = ^{ex - e-x}/₂ cosh x = ^{ex + e-x}/₂

  cosh² x - sinh² x = 1

  se y = sinh x

  x = log(y + √y² + 1)

  se y = cosh x

  x = log(y + √y² - 1)

  - - - - -

  Funzioni Razionali

  (1) ∫^f(x)/_s(x) dx = ρ = quadrato

  s=1

  ∫¹/_ax+b dx = ax + b = t

  = log|ax + 1| + C

  (2) ∫¹/_ax²+bx+c dx = ρ = b

  s=2

  im base ai ρ ho 3 casi: Δ>0 | Δ = 0 | Δ < 0

  (2)^I ∫¹/_ax²+bx+c dx = (Δ > 0→ scompongo e 2 soluzioni)

  pongo ¹/_(x-x1)(x-x2) = A/(x-x₁) - B/(x-x₂)

  transle lettere → ∫^A/_(x-x1)dx + ∫^B/_(x-x2)dx =

  = a log |x-x₁|+ b log |x-x₂| + C

  (2)^II ∫¹/_ax²+bx+c dx = (Δ = 0)

  il denominatore lo scompongo come quadrato di 1 binomio → ∫¹/_(Bx+β)²dx -

  pongo ^ex f_g = t l

  ∫¹/_t² dx =

  (2)^III ∫¹/_ax²+bx+c dx = (Δ