Analisi matematica 1

Noto che il il limite in y è per y 0 dato che y = x sin(x) e x sin(x) 0.

x→0

−

x

e 1 −→

Infine, posto v(x) = , si ha v(x) 1 (limite notevole). Alla fine scriviamo

x x→0 a

x γ(x).

u (x) =

a β(x)x sin(x) + v(x)x

2

A questo punto a denominatore si può tranquillamente mettere in evidenza x, e lo studente

che ha un po’ di ”occhio” effettua naturalmente questo passaggio. Però, per spiegare il

sin(x)

metodo generale, ”elimino sin(x)” come spiegato in precedenza, ossia posto, w(x) = ,

x

−→

e noi sappiamo dal limite notevole che w(x) 1, scrivo sin(x) = xw(x). alla fine si ha

x→0

a

x

u (x) = γ(x)

a 2

β(x)w(x)x + v(x)x

a

x

( )

= γ(x)

x xβ(x)w(x) + v(x)

a−1

x

= γ(x).

xβ(x)w(x) + v(x) →

Dato che le funzioni β, w, v e γ tendono tutte a 1, per x 0, come visto prima, posto

1 −→

a−1

h(x) = γ(x), si ha u (x) = x h(x), e h(x) 1. Dato che da un

a

xβ(x)w(x) + v(x) x→0

{

limite notevole si ha 0 se α > 0

α

lim x = ,

1 se α = 0

+

x→0 +∞ se α < 0

deduciamo { 0 se a > 1 .

lim u (x) = 1 se a = 1

a

+

x→0 +∞ se a < 1 +

Vediamo alcune osservazioni sui metodi usati. Ad esempio il cambio di variabile da 0 a

+∞ o viceversa, strumento tentato da molti studenti, nel caso presente è del tutto inutile in

quanto non da alcun vantaggio. Per esempio per il b) la soluzione data è del tutto naturale,

e quindi non si vede motivo di cercare soluzioni con trucchi tipo cambi di variabili (che,

anche fossero fatti in modo corretto) non darebbero alcun vantaggio. Ovviamente se uno

usa correttamente i cambi di variabile non sbaglierà l’esercizio e si bloccherà , ma spesso

lo studente sbaglia qualcosa. +

Come si fa il cambio di variabile per esempio per portare il limite da 0 a limite a +∞?

−→

L’idea è molto semplice. Ad esempio se abbiamo il limite detto sopra, si ha u (x) l se

a +

( ) ( ) x→0

1 −→ 1

e solo se u l. Ovviamente per scrivere u dobbiamo scrivere semplicemente

a a y

y y→+∞

1 al posto di x in tutti i casi, nel caso specifico

y ( )

( ) ( ) π

a 2

1 1

( ) 3 +1

y y

1 ))

( (

u = .

a y 1 −

1

1 sin + e

sin 1

y

y y

3

Si vede subito che per trattare questo limite l’unico modo ragionevole è ritornare al limite

precedente.

Quando invece è utile il cambio di variabile del tipo precedente? Possiamo dire che non c’è

una regola generale ed è la pratica a suggerire i casi in cui usarlo. Io suggerirei di usarlo

generalmente non in espressioni lunghe ma in singoli ”pezzetti” ad esempio un prodotto

che è una forma indeterminata e non si riesce a sciogliere in altro modo. Ad esempio

(

( ) )

2

1 1 ln (y)

−

2 ln

lim x ln (x) = lim = lim =0

2

y y y

y→+∞ y→+∞

+

x→0

(ove quest’ultimo è un limite notevole, a parte il segno -). → → +

L’altra raccomandazione sui limiti di funzioni è che sui limiti per x 0 (o x 0 )

rinunciare alla tentazione di trattarlo come limite a +∞ (errore frequente) come già detto

→

3

in precedenza, ossia se abbiamo ad esempio x + x questo tende a 0 per x 0 con l’ordine

3

di x (e NON di x come sarebbe se il limite fosse a +∞), e quindi si mette in evidenza x.

∈

Soluzione di c). Bisogna vedere che quando x 0, 1 l’espressione x sin(x) sta in una zona

dove il seno è non negativo. ossia nell’intervallo [0, π] unito a tutti i suoi traslati di un

multiplo intero di 2π, ossia del tipo [2kπ, 2kπ + π] con k intero. Vedremo che per ogni

∈ ∈

x [0, 1] si ha x sin(x) [0, π]. Notiamo che se noi dovessimo verificare direttamente

questo fatto risolvendo la ”doppia” disequazione

≤ ≤

0 x sin(x) π (1)

questo sarebbe praticamente impossibile dato che la disequazione a destra in (1) non si

vede come risolvere, ma il punto è che noi non siamo tenuti a risolvere (1) ossia a trovare

∈

TUTTI GLI x che verificano (1), ma solo a verificare che (1) è soddisfatta per x [0, 1],

∈ ≤ ≤

cosa molto più semplice. Dato che per ogni x [0, 1] si ha 0 sin(x) 1, si deduce

≤ ≤ ≤ ≤

0 x 1, 0 sin(x) 1 (2)

≤ ≤ ·

e ”moltiplicando le disuguaglianze” in (2) segue 0 x sin(x) 1 1 = 1, come volevasi.

≥

Notiamo più precisamente che x sin(x) 0 segue subito da (2) dato che il prodotto di

≥ ≥ ≤

numeri 0 è sempre 0. Sulla seconda disuguaglianza occorre notare che da x 1

≤ ≤ ·

e sin(x) 1 segue x sin(x) 1 1 = 1 perché tutti i numeri che moltiplichiamo, ossia

≥

x, sin(x) e 1 sono 0. Ricordo che non possiamo usare lo stesso principio sempre. Ad

−3 −2, −5 −4, · ·

esempio < < ma (−3) (−5) > (−2) (−4).

( )

≤ ≥ x 0

d) Sia x > 0. Se x 1, da c) segue che sin x sin(x) 0, mentre e > e = 1, quindi

−

x

e 1 > 0. In conclusione ( ) −

x

sin x sin(x) + e 1 > 0.

x 1

Se invece x > 1 si ha e > e = e > 2, quindi

( ) − − − ≥

x

sin x sin(x) + e 1 > 2 1 + sin(x) = 1 sin(x) 0.

4

.

e) La funzione u è continua in ]0, +∞[, e in particolare ci serve d) per osservare che

a

la funzione è definita in ]0, +∞[ avendo denominatore non nullo. Dal fatto che abbiamo

supposto lim u (x) = +∞, mentre abbiamo verificato in b) che lim u (x) = 0, segue

a a

x→+∞

+

x→0

∈]0,

che esiste x +∞[ tale che u (x ) > 7, in particolare scegliamo x abbastanza vicino

1 a 1 1

∈]0,

a 0, mentre troviamo x +∞[ abbastanza grande tale che u (x ) < 7. Per il teorema

2 a 2

∈]0,

dei valori intermedi esiste x +∞[ tale che u (x) = 7.

a

√

∑

+∞ n

n 3

3

Esercizio 2) a) Dire se la serie converge.

n 4

5 + n

n=1

∑

+∞ 2n 2 a

(7 + n ) + 4

∈

b) Dire per quali a R la serie converge.

n

80 + n

n=1

Soluzione NOTA BENE: non scriverò tutti i passaggi; lo studente nei compiti dovrebbe

scrivere qualche passaggio in più.

√ √ ( )

√

n n

n 3 n 3 a

3

3 3 n n −→

3

a) Sia a = e sia b = = n . Si verifica facilmente che 1,

n n

n 4 n

5 + n 5 5 b n→+∞

n

∑ ∑

+∞ +∞

quindi le serie a e b hanno lo stesso carattere per il criterio del confronto asin-

n n

n=1 n=1 ∑

+∞

totico. Studiamo ora la serie b col criterio del rapporto. Si ha

n

n=1 ( )

√ n+1

35

3 n + 1

b

n+1 )

(

√

= n

35

b n

3

n √ )

( 1

3 n 1 + 3

n

√

= 5

n

3

( )

1 3 3

13 −→

= 1+ < 1

n 5 5

n→+∞

∑ ∑

+∞ +∞

e perciò la serie b converge e quindi anche la serie a converge.

n n

n=1 n=1

2n 2 a 2n 2 a

(7 + n ) 4

(7 + n ) + 4 , b = , c = . Dato che a = b + c

b) Siano a =

n n n n n n

n n n

80 + n 80 + n 80 + n

∑ ∑ ∑

+∞ +∞ +∞

e la serie c converge allora la serie a ha lo stesso carattere di b (ricordo che

n n n

n=1 n=1 n=1

sommare una serie convergente non cambia il carattere di una serie). Il fatto che la serie

∑ ∑

+∞ +∞ 4 converge

c converge si verifica facilmente. Ad esempio si vede che la serie

n n

80

n=1 n=1

( )

4 1 n

in quanto = 4 e quindi è la costante 4 moltiplicata per una serie geometrica

n

80 80 5