Tutorato Analisi II testo

Tutorato del 27 marzo 2014

1. Si estraggono due carte da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilità di estrarre due re se
   • la prima carta viene rimessa nel mazzo prima della seconda estrazione; _0,0059
   • la prima carta non viene rimessa nel mazzo prima della seconda estrazione. _0,0045
2. Un gruppo di escursionisti organizza una gita in montagna. Il 25% dei partecipanti è fuori allenamento. Si ipotizza che la probabilità di raggiungere la meta sia pari al 60% per gli escursionisti non allenati e al 95% per quelli allenati.
   • Calcolare la probabilità che un escursionista scelto a caso nel gruppo raggiunga la meta.
   • Sapendo che un escursionista ha raggiunto la meta, calcolare la probabilità che appartenga al gruppo degli escursionisti allenati.
3. Domani dovete andare a prendere un amico all'aeroporto. La vostra esperienza vi dice che l'aereo arriva in ritardo il 70% delle volte quando piove, ma solo il 20% delle volte quando non piove. Le previsioni del tempo per domani danno pioggia al 10%. Qual'è la probabilità che l'aereo arrivi in ritardo?
4. Una coppia ha 2 figli. Assumendo che la probabilità di avere un figlio maschio sia uguale a quella di avere una figlia femmina, calcolare la probabilità che siano entrambe femmine, sapendo che il primogenito è una femmina.
5. Per ciascuna delle seguenti funzioni determinare l'insieme naturale di esistenza (campo di esistenza) e calcolare le derivate parziali indicate.
   • f(x,y) = e^x-3y

   _∂f/_{∂x   ∂f}/_{∂y   ∂²f}/_{∂x²   ∂²f}/_{∂x∂y   ∂²f}/_∂y²

   • f(x,y) = sin(x² + y²)

   _∂f/_{∂x   ∂f}/_∂y

   • f(x,y) = √x + y²

   _∂f/_{∂x   ∂f}/_∂y

   • f(x,y) = x/1 + y³

   _∂f/_{∂x   ∂f}/_{∂y   ∂²f}/_∂x∂y

   • f(x,y,z) = [x - z] ln(y⁴)

   _∂f/_{∂x   ∂f}/_{∂y   ∂f}/_{∂z   ∂²f}/_∂y²

6. Determinare l'equazione del piano tangente al grafico della funzione z = √x + y² nel punto (3, 1, 2).
7. Calcolare la derivata direzionale della funzione f(x,y,z) = [x - z] ln(y⁴) nel punto (5, −1, 2) e nella direzione del versore  v = ₁/^√2i − ₁/^√2k.

Tutorato del 3 aprile 2014

1. Un promotore finanziario ha appuntamento con 9 clienti. Si stima che la probabilità con cui il promotore conclude un contratto con un cliente sia del 73%. Calcolare la probabilità che il promotore concluda.
   1. 7 contratti (e quindi con 2 clienti non si conclude il contratto);
   2. al massimo 2 contratti.
2. Si lancia un dado ripetutamente. Calcolare la probabilità che
   1. il “5” esca per la prima volta al sesto o al settimo lancio;
   2. un numero pari esca per la prima volta al quinto lancio.
3. Un esame consiste in 10 domande a risposta multipla con 4 possibili risposte per ogni domanda. Calcolare la probabilità che un esaminando azzecchi almeno 4 risposte semplicemente rispondendo a caso.
4. Sia f(x, y) = x³ + 4xy² + y definita in tutto il piano. Determinare la direzione di massima crescita della funzione f partendo dal punto (1, 2).
5. Calcolare i punti critici e determinare se sono punti di estremi relativo per le seguenti funzioni:
   1. f(x, y) = (1 - 2x)e^x-y²
   2. f(x, y, z) = log_e(1 + x²) + y³ + z² - y²z
   3. f(x, y, z) = x² - x²y² + 4y² + z²
   4. f(x, y) = (x + y)(x² + y² - 2)
   5. f(x, y, z) = x² - xy² + 2y² - 3x²

Tutorato del 22 maggio 2014

1. Sia R il quadrato di vertici (1, 1), (-1, 1), (1, 3), (-1, 3). Calcolare l’area della superficie r(u,v) = uv i + uv j + ( u² + v² )k, (u,v) ∈ ℝ.

2. Sia D = { (x,y) ∈ ℝ² : x² + y² ≤ 9, y ≥ 0, x + y ≥ 0 }. Calcolare l’integrale ∬_Σ z sulla superficie di equazione cartesiana z = xy, (x,y) ∈ D.

3. Sia f : ℝ³ → ℝ la funzione definita da f(x,y,z) = ( x² + y² )/√( 1 + e^2z ). Calcolare ∬_Σ f sulla superficie cartesiana di equazione z = -¹/₂ ln( x² + y² ), definita per (x,y) ∈ D = { (x,y) ∈ ℝ² : ¹/_e² ≤ x² + y² ≤ 1 }.

4. Sia F(x,y,z) = xi + j - z²k. Calcolare il flusso del campo vettoriale F uscente dalla superficie sferica di centro l’origine e raggio 3, utilizzando l’integrale di flusso.

5. Si supponga che il peso (in tonnellate) di un autoveicolo si distribuisca come una variabile aleatoria di media 3 e deviazione standard 0.3. Supponiamo che la portata della campata di un ponte sia 400 tonnellate, prima di riportare danni strutturali. Se il numero massimo di veicoli che ci possono transitare contemporaneamente è uguale a 130, calcolare la probabilità che si possa danneggiare.

6. Il numero di incidenti sull’autostrada AX che avvengono in un anno si può modellizzare con una v.a. di Poisson di media 54. Calcolare la probabilità che, in un anno in quel tratto autostradale ci siano meno di 50 incidenti.

7. Per una specie equina, la percentuale di cavalli di colore nero è pari al 23%. Calcolare la probabilità che in un campione casuale di 200 cavalli ce ne siano almeno 40 neri.