Risoluzione strutture iperstatiche con metodo spostamenti e metodo di Cross

Con riferimento al solaio in c.a. rappresentato in figura, realizzato con calcestruzzo di classe C25/30 e acciaio B450C:

1. individuare la combinazione di carico allo SLU che massimizza il momento positivo nella campata AB.

Si considerino i seguenti carichi agenti sul singolo travetto:

1. un carico permanente strutturale (G₁) dovuto alla presenza delle pignatte, della soletta e delle nervature pari a 1,5 kN/m
2. un carico permanente non strutturale (G₂) dovuto alla presenza del massetto, della malta, del pavimento, dell'intonaco o di un eventuale tramezzatura pari a 2,0 kN/m
3. un carico variabile (Q_k) pari a 1,5 kN/m
4. con riferimento alla combinazione di carico individuata al punto 1) calcolare e rappresentare i diagrammi di momento e taglio.

Quesito - 4 punti -

Si riporti la definizione di rigidezza alla rotazione di un'asta e si svolgano i passaggi per calcolare la rigidezza alla rotazione della seguente asta caricata in modo simmetrico:

q_max = 1,5 × G₁ + 1,3(G₂ + Q_k)

q_min = 1 × (5 + 0,8 × G₂ + 0 × Q_k)

q_max = 1,5 × 5 + 1,3 × (2,1 + 1,5) = 6,8 kN/m

q_min = 1,5 + 0,8 × 2 = 3,1 kN/m

FASE I:

M_B - 13,6 - 7,8 = 5,8 kN · m

FASE II:

V_Ed = M_Ed / L₂

R = E >

P_Ed = G₁ × 8/15 = 0,53

P_Ed = 6/8

È POSSIBILE UTILIZZARE LA CALCOLATRICE SCIENTIFICA.

Esercizio - 6 punti -

Per la struttura riportata in figura:

1. Individuare la combinazione di carico che massimizza il momento positivo nella campata AB (sez. E). I carichi agenti sulle travi sono: un carico permanente strutturale pari a 18 kN/m, un carico permanente non strutturale pari a 12 kN/m e un carico Q accidentale pari a 9 kN/m.
2. Calcolare le sollecitazioni agenti sulla struttura per la combinazione di carico individuata al punto 1 (considerando l’effettiva rigidità alla rotazione di travi e pilastro), e rappresentare i diagrammi di momento e taglio.

Geometria trave: B=30 cm; H=50 cm.Geometria pilastro: B=H=30 cm.Calcestruzzo C25/30Acciaio B450

G₁ = 15 kN/m

G₂ = 10 kN/m

Q_k = 4 kN/m

H = 4 m

L₁ = 6 m

L₂ = 6 m

Quasi permanente

q_max = 1.3 (G₁) + 1.5 (G₂) + 1.5 (Q_k) =

= 1.3 (45) + 1.5 (10) + 1.5 (7) = 45 kN/m

FASE 1:

H_T = q l² / 8 = 360 kN·m

H_t = q l² / 8 120 kN·m

∑M₀ = q l² / 8 = 200 kN·m

FASE II: Rimozione del supporto e cambio del segno

A

m_d

L

q_A = 0

q_BD = H / H_BD = M_t / H

M_t = q EJ / H

q_BC = L / L D

q_BD = L M / L L

[R = EJ]

ESAME PARZIALE 1

È POSSIBILE UTILIZZARE LA CALCOLATRICE SCIENTIFICA.

Esercizio - 6 punti

Per la struttura riportata in figura H=3.5 m, L1=5 m e L2=2 m:

1. Eseguire il calcolo delle sollecitazioni di momento e taglio (considerando l’effettiva rigidità degli elementi strutturali).
2. Calcolare lo sforzo normale agente sul pilastro.
3. Disegnare i diagrammi di momento e taglio.

Carichi agenti sulla trave: permanenti G₁=15 kN/m; permanenti G₂=6 kN/m; accidentali Q_k=3 kN/m.

Geometria pilastro: b=h=45 cm; copriferro c=4 cm.

Materiali: calcestruzzo C25/30; acciaio B450C

Esame 27/01/2021

9 m_car

9 m_um

L.N.

Calcolare le combinazioni di carico con eventi minimi

G₁ = 26 kN/m

20 + (1.5 ⋅ 0.6 ⋅ 1.2 ⋅ 5) = 26 kN/m

q_i,car = 1.3 ⋅ 1.2 ⋅ 1.3 ⋅ 5 ⋅ 1.5 = 571.8 kN/m

q_i,m = 1.2 ⋅ 0.8 ⋅ 1.5 ⋅ 0.7 = 30 kN/m

FASE 1: col piu valore in B

Sommo B e otteniamo M_B e M_BC

l = 60 cm

ℓ = 90 cm

G₁ = 20 kN/m

G₂ = 5 kN/m

Q_k = 7 kN/m

• M_AB = 51.8 ⋅ 6² / 8 = -103.6 kN⋅m
• M_BC = 51.8 ⋅ 3² / 8 = -408.4 kN⋅m
• U_CB = 105.1 kN⋅m
• U_CD = 30 ⋅ 1.5² / 2 = 33.7 kN⋅m

M_B = M_AI - U_CB - 103.6 - 108.4 - 4 = -4.8 kN⋅m

M_C = M_CD + M_CD = 108.4 - 33.7 = 74.7 kN⋅m

FASE II

Svincolo B e determino V_AB e V_BC

l = 7.5 kN/m

j_jcr = M_cr / 3EJ

R = SJ

V_BC = M / pa₂

^{P_a1 = M_AI / L}

Licinielli Fabio

MBA = 120 kN·m

MBC = 180 + 20 = 160 kN·m

MC = 60 kN·m

ME = 60 kN·m

(-) (+)

160

60 kN·m

120 kN·m

20 kN·m

A B C D E

9

1

160

40

A B

120

160

60R

180 kN

V + V₁

180

120 kN

10

N_CE + B_E = 180 + 120 = 300 kN

N_CE = 160 kN

120 kN

L = N

q_max = G₁ / 1.5 + γ_B (G₂ + Q_k) = 21.75 - 1.5 + 1.3 (5 + 7.5) = 69.5 kN/m

q_lim = - G₁ + 0.8 * G₂ + 0.6 * Q_k = 21.75 + 0.8 * 8 = 28.55 kN/m

G₁ = 0.5 * 0.3 * 25 + 18 = 21.75

FASE I:

• M_Ed = q_max l² / 12 = 83.5 kN.m
• M_CEd = q_max l² / 12 = 83.5 kN/m
• M_Rd = q_{min, l²} / 2 = 288.1 / 2 = - 141 kN.m
• M_cRd = 83.5 - 14.5 = 69.1 kN.m

FASE II: Simbolo B e determiniamo V_k e W_BA

• W_GA = M / P_GA = V_Ed / h + SR / h
• W_BC = μ - CR / L

P_GA = G / VA - (2H / L+ΔH) / HL = (ε / (L + H)

4/5 = 0,6

P_GC = 3 / 3.15 = 0.6

diagramma momento fase II:

A

27,16

B

16

C

40,14

M^t = M⁺ + M^-

M_BC = M_BA + M_CB = 93,9 + 40,26 = 134,16 kN.m

-16,13 + 27,16 = -134,49 kN.m

M_A = M_C = 0

A

B

diagramma momento totale

C

133,14

146,8

A

8

B

136,14

M_BC

156,14

A

133,16

146,14

C

T

-163,5

M_AB = ql²/2

M_A = -ql²/8

U_c = ql/2

U_AB = q²l²/2

1 + 1

Momenti Totali

M = M₁ + M₂ + M₃ = q • a² / 2 = q/2

M₂ = M₂' = -0.225 • q • kN/m

M₃ = M₃' = -0.45 • q • kN/m

M_o - M_c = 1/2 M₁ = 1/2 (-0.225 • q) = -0.225 • q • kN/m

M_c = M_a • 1/2 = 1/2 (-0.225 • q) = -0.1125 • q • kN • m

Taglio

(Diagram with forces and moments)

05/01/20

Metodo rotazione

Fase II

(momento di incastro)

M_AB = 0

q (l₂² - l₁²)

----- = q (l₁² - l₂²) = -100 kN.m

8 8

Fase III

Ebullo di momento e cerchio di rompimento:

A B C

Verifico la rotazione unitaria - p=1

I HL² I = IL²

pas ------- pb -------- (I_R=EF) 36 I

M 36 I = 36 I

--- = 1

p 36 I

P_ab = 1 3EI = 3EI

---

P_os 36 36 = 4E

4IE 4IE = 0.6

7 7

(N.B. piatto più com pluto=segno)