Risoluzione telaio con il metodo degli spostamenti

DATI

Sezione trasversale delle aste: 300x500 [mm];

modulo elastico: E=30000 [MPa]

= 25 [KN/m]; 22 [°C];

carichi: q= 30 [KN/m]; q ∆Τ=

1

coefficiente dilatazione termica: a= 10^-5 [°C^-1];

fondazione rigida: k= 0.07 [KN/mm^3]; d= 1.1 [m].

Il sistema è costituito da 3 nodi che possiedono 3 g.d.l , quindi il numero di incognite da determinare sarà:

3 gdl x 3 nodi = 12 gdl

Per iniziare, si numerano i nodi da studiare, si definisce il sistema di riferimento globale del sistema e i vari

sistemi di riferimento locali di ogni asta, scegliendo per ognuna di essa gli estremi i e k e un numero

identificativo.

ASTA i k Xi Yi Xk Yk L

1 1 2 0 8 3 3 5,830951895

2 2 3 3 3 7 3 4

3 4 3 7 0 7 3 3

4 3 5 7 3 7 8 5

F 1 / 0 8 / / 2,5

(Unità di misura: KN e m)

ASTA 1 (1-2) ; asta canonica



Matrice di rigidezza riferita al sistema di riferimento locale:

ρ ρ

−

0 0 0 0

,12 ,21

ρ ρ ρ ρ

′ ′

+ +

12 21

ρ ρ

−

0 0

,12 ,12

ρ ρ ρ ρ

′ ′

+ +

� 1 =

12 12

−

ρ ρ

′

0 0

12

ρ ρ

− 0 0 0 0

,12 ,21

ρ ρ ρ ρ

′ ′

+ +

12 21

− −

ρ ρ

−

0 0

,12 ,12

ρ ρ ρ ρ

′ ′

+ +

21 21

− ρ

ρ

′

0 0

21

771.743,63 0 0 -771.743,63 0 0

0 5674,585538 16544,11765 0 -5674,585538 16544,11765

= 0 16544,11765 64311,96943 0 -16544,11765 32155,98471

-771.743,63 0 0 771.743,63 0 0

0 -5674,585538 -16544,11765 0 5674,585538 -16544,11765

0 16544,11765 32155,98471 0 -16544,11765 64311,96943

Nel caso di asta a sezione costante (I=cost) e nel caso di asta canonica, le rigidezze valgono:

;

• ρ ρ

= =

,12 ,21

4 ;

• ρ ρ

= =

12 21

2 ;

• ρ

’ = ρ ρ ρ

+ +2 ′ 12 ;

=

• ρ 12 21

= 3

2

,12

′ ′

ρ ρ 6

+ρ +ρ

• = =

12 21 2

l l 3

Matrici di rotazione:

x − x y − y 0

k i k i 0,514495755 -0,857493 0

l l

λ1 = y − y x − x =

0

k i k i 0,857492926 0,514495755 0

− l l

0 0 1 0 0 1

0,514495755 -0,857493 0 0 0 0

0,857492926 0,514495755 0 0 0 0

0

λ1

Λ = = 0 0 1 0 0 0

1 0 λ1 0 0 0 0,514495755 -0,857493 0

0 0 0 0,857492926 0,514495755 0

0 0 0 0 0 1

Avendo calcolato le matrici di rotazione, è possibile proiettare la matrice di rigidezza locale, nel sistema di

riferimento globale, ai fini della scrittura dell’equazione di equilibrio del sistema:

K K

111 112

� 1

K = Λ * *Λ = =

1 T1 1 K K

121 122

208457,6 -337971,6386 14186,46384 -208457,569 337971,6386 14186,46384

-337972 568960,65 8511,878307 337971,639 -568960,65 8511,878307 =

14186,46 8511,878307 64311,96943 -14186,4638 -8511,878307 32155,98471

-208458 337971,6386 -14186,46384 208457,569 -337971,6386 -14186,46384

337971,6 -568960,65 -8511,878307 -337971,639 568960,65 -8511,878307

14186,46 8511,878307 32155,98471 -14186,4638 -8511,878307 64311,96943

Vettore di incastro perfetto:

essendo l’asta caricata, occorre calcolare il vettore di incastro

perfetto utilizzando il metodo della trisecante, secondo il quale:

6 6

0 0

μ ; μ

= − = −

ik ki

2 2

La configurazione da studiare è quella con la condizione di vincolo

appoggio-appoggio e con la reale condizione di carico. Consideriamo

la curvatura termica come effetto di un momento fittizio M (x),

*

sapendo che: ∗

2 () 2

ϕ = M (x) =

t *

= − = φ −

⇒

ℎ ℎ

Quindi: 2

2 2

0 -R ( ) = μ = μ =

*

= − − ∗

⇒ 12 21

2 3 ℎ ℎ

6

Per la simmetria dell’asta i momenti di incastro sono uguali.

Il vettore d’incastro perfetto nel sistema locale, scritto secondo la convenzione del metodo matriciale, sarà:

0 0

n

12 0 0

v 12

̅ 2

1 01

= = = =

82,5

μ

0 +

12 ℎ 0

n 0

21 0

v 0

21 -82,5

µ 2

21 −

ℎ 4

In questo caso, essendo il vettore di incastro perfetto costituito dai soli momenti, esso coincide con il

vettore d’incastro perfetto riferito al sistema globale. Infatti i due sistemi di riferimento, per come sono

stati definiti, hanno gli assi delle rotazioni paralleli.

ASTA 2 (2-3) ; asta speciale



Essendo l’asta composta, la matrice di rigidezza differisce da quella dell’asta canonica in seguito alla

presenza della cerniera interna. In particolare, cambiano solo le rigidezze flessionali,i momenti di trasporto

e di conseguenza anche la rigidezza al taglio.

(ρ ρ ρ

, , ’ )

23 32

Per il calcolo di tali rigidezze si può procedere nel seguente modo:

vengono bloccati tutti i gdl dei nodi 2 e 3, tranne la rotazione del nodo 2. In corrispondenza di esso, si

γ Essendo al rigidezza l’inverso della

applica un momento unitario, il quale produce una rotazione 2.

1 .

deformabilità, si ottiene la rigidezza flessionale come: ρ =

23

2

γ

La rotazione può essere calcolata con l’analogia del Mohr, studiando una trave ausiliaria, ottenuta

2

caricando la trave con l’opposto del diagramma delle curvature.

Secondo l’analogia del Mohr, si ottiene la rotazione incognita, da un equilibrio dei momenti con polo in j:

3 3 2 2

1 1 2 2 + 1 3 3 3

=

V = = = ; =

*2 γ ρ ρ

� �

+ ⇒ = ’ =

2

2 3 3 3 3 3 3

23

2 3 2 3

3 + + +

2

rappresenta il coefficiente di trasporto che permette di calcolare il momento di trasporto.

=

τ ik

Ripetendo i ragionamenti per il nodo 3, allo stesso modo si calcolano:

2 2

1 3 3 3

= ; = ; (ρ =ρ = )

ρ ρ ρ

= ’ = ’ ’ ’

23 32

3 3 3 3 3 3

23

+ + +

3 5

Matrice di rigidezza riferita al sistema di riferimento locale:

ρ ρ

−

0 0 0 0

,23 ,32

ρ ρ ρ ρ

′ ′

+ +

23 32

ρ ρ

−

0 0

,23 ,23

ρ ρ ρ ρ

′ ′

� + +

2 =

23 23

−

ρ ρ

′

0 0

23

ρ ρ

− 0 0 0 0

,23 ,32

ρ ρ ρ ρ

′ ′

+ +

23 32

− −

ρ ρ

−

0 0

,23 ,23

ρ ρ ρ ρ

′ ′

+ +

32 32

− ρ

ρ

′

0 0

32

1.125.000,00 0 0 - 1.125.000,00 0 0

0 10044,64286 30133,92857 0 -10044,64286 10044,64286

= 0 30133,92857 90401,78571 0 -30133,92857 30133,92857

- 1.125.000,00 0 0 1.125.000,00 0 0

0 -10044,64286 -30133,92857 0 10044,64286 -10044,64286

0 10044,64286 30133,92857 0 -10044,64286 10044,64286

Matrici di rotazione:

x − x y − y 0

k i k i 1 0 0

λ =

2 l l

y − y x − x 0

k i k i 0 1 0

− l l

0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0

λ2 0 1 0 0 0 0

Λ = =

2 0 0 1 0 0 0

0 λ2 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Vettore di incastro perfetto: Schema 2

Schema 1

Utilizziamo il metodo della forza, dividendo l’asta in più parti e imponendo la congruenza: δ = δ . I due

j2 j3

spostamenti si ottengono studiando singolarmente i due schemi utilizzando l’analogia del Mohr e il

principio di sovrapposizione degli effetti; 6

Schema 1



Schema (‘)

Secondo l’analogia del Mohr, l’abbassamento δ’ equivale al momento M *, che si ottiene:

j2 j

2 4

(−)

( − ) =

M * = = δ’

∫

j j2

0 2 8

Schema (‘’) equivale al momento M *, che si ottiene:

Secondo l’analogia del Mohr, l’abbassamento δ’’ j2 j

3

2

*= = =

M δ’’

j j2

2 3 3

3

4

+

: δ =

Per il principio di sovrapposizione degli effetti j2 8 3

Schema 2



Ripetendo lo stesso procedimento, e inserendo la lunghezza b, si ottiene per il principio di sovrapposizione

3

4

=

degli effetti: δ −

j3 8 3

Per concludere, imponiamo la congruenza, ottenendo così l’incognita iperstatica Vj:

3 3

4 4 4 4

3 ( − )

δ = δ + =

= − ⇒ Vj = −

j2 j3 3 3

8

8 3 8 3 +

Il segno negativo sta a indicare che il verso è opposto al quello ipotizzato inizialmente;

A questo punto è