Risoluzione telai strutturali

Esercitazione 1

Convenzioni:

• Grandezze Cinematiche
  • y_i spostamenti orizzontali
  • x_i spostamenti verticali
  • ϑ_i rotazioni

• Sollecitazioni
  • P_i
  • Q_i
  • M_i

• Sistemi Riferimento Tavole
  • y = f(x) freccia dell'asse della tavola
  • y' = y'(x) rotazione di una sezione
  • y'' = y''(x) curvatura [1/L]

• Vincoli
  • Cerniera Ha = 0 Ma = 0 Permette scorrimento e rotazione
  • Appoggio o Cerchiera Permette la rotazione Ma = 0
  • Bipendolo o Pattino Permette scorrimento in direzione ortogonale alla tavola
    • Ma
    • Ha
    • No rotazione e scorrimento H.
  • Incastro No scorrimento e no rotazione

Metodo delle Forze

La struttura iperstatica viene resa isostatica sopprimendo vincoli di sistema o configurazioni equilibrate e si determina l'unica congruente con i vincoli soppressi.

Si scrivono equazioni di congruenza le iperstatiche sono momenti e forze.

Metodo degli Spostamenti

Si rende la struttura ancora più iperstatica, ai nodi, cercando di diminuire gli spostamenti o rotazioni.

Le configurazioni sono tutte congruenti con la struttura data e si cerca un'unica soluzione equilibrata con la configurazione del vincolo originario.

Si scrivono equazioni di equilibrio, le iperstatiche sono rotazioni e spostamenti.

Individuare sottostrutture: incastro, appoggio, ecc...

TRAVI INFINITAMENTE RIGIDE ASSIALMENTE EA→∞

In questa ipotesi si ammette di trascurare le deformabilità assiale cioè no allungamenti e accorciamenti. È possibile la flessione delle travi quindi si ammette le cerniere e rotazioni ai nodi.

EQUAZIONE LINEA ELASTICA → eq. del 2º ordine dato noto il momento

h altezza sezione

Integriamo per avere y'(x) rotazione o y(x) spostamento

EQUAZIONE DI 4º GRADO

equilibrio traslazionale

equilibrio rotazionale attorno al baricentro G

il carico distribuito non compare perché non ha braccio rispetto il baricentro.

il taglio è la derivata del momento.

il taglio si annulla dove c’è un punto critico (max o min) del momento

Dall eq. di 2ºgrado

Esercitazione 2

5) Incastro incastro potenziale utilizzia

Sotto strutture:

_1/IE

_1/IE

_4M

₄₂₂

Metodo delle forzeEquazioni di congruenza:

• Δ₁ = Δ₁₀ + X₁ Δ₁₁ + X₂ Δ₁₂
• Δ₂ = Δ₂₀ + X₁ Δ₁₂ + X₂ Δ₂₂

Se è un lavoro: Δ₁ = φ . 1Δ₂ = φ . Θ = 0

Rotazioni → convenzione φ >0 se oraria

Si considerano sviluppo a destra del vincolo

Sistema 1 X₁ ≠ 0, X₂ = 0

• φ_M = φ_M = ^e⁄_3EJ → perché oraria
• Δ₁₂ = φ_DX - φ_SX = Θ - ( - ^e⁄_6EJ ) - ^e⁄_6EJ

Sistema 2 X₁ = 0 X₂ ≠ 0

• Δ₂₁ = ^e⁄_6EJ → perché oraria
• Δ₂₂ = φ_DX - φ_SX = Θ - ( - ^e⁄_3EJ ) - ^e⁄_3EJ

Dalle equazioni di congruenza:

• φ = X₁^e⁄_EJ + X₂ ^e⁄_6EJ
• Θ = X₁ ^e⁄₂ + X₂ ^e⁄_3EJ

G φ = 2X₁ + X₂ = 2( - 2X₂ + X₂ = -4Y₂+X₂ = 3X₂

X₂ = -2^2EJ⁄_φ X₁ = -2 . ^2EJ⁄_EJφ = 4EJ φ^φ⁄_e

T=0 in ₅/ ₈ql² - 9x = 0 x = ₅/ ₈l

M=0 in x = l e x = 4 / e FLESSO.

3) Deformata

¹/_e

H(_ξ) = ₅/ ₈ql . _ξ/ _θ - ₂/ ₆₄ ql² - ₉/ ₁₂₈ ql²

8) incastro appoggio notazione

Struttura iperstatica

Metodo delle forze normalizzo le strutture

Scorrice

_l/_e

_l/_3EJ

_l/_6EJ

Equazione di congruenza:

LVe = φ₁

LVⁱ = Χ_λ . φ_m Χⁱ φ_m = φ

Χ_λ = φ / φ_m

φ_m = e _3EJ

Χ_λ = φ / e _3EJ

Diagrammi calcolati per sovrapposizione

M_A = M_o(A) + Χ_λM_(A) = _3EJ φ / l

M_B = Χ_λM_(B) = 0

T_A = Χ_λT_A(A) = _3EJ φ / l

H(x) = _3EJ φ _e

1. Analisi dell'asta

Η(x) = _3EJ φ costante

Η(0) = _3EJ φ

Η(x) = _3EJφ _(e) ⁰Η(l) = _3EJ φ _(e) linea

Η(l) = 0

Max dove T → ∂T = 0

Flussi Η(x) → x=0 non è un flusso

3) Deformata

X_A = _l/_3EJ φ_m = φ _e

4. <| >

x= _l/₃

X_B = _3EJ φ _l

4

Sforzi Assiali

- quelli delle aste in prima ipotesi, in trazione (risultati)

N_ac = ¹⁄₁₆ ql = 0

N_ac = -¹⁄₁₆ ql compression

N_an = ⁷⁄₁₆ ql = 0

N_an = - ⁷⁄₁₆ ql compression

Deformate Qualitative

Flessi M = 0: Asta AB in x = ¹⁄₃

Asta BC in x = 9.11e e x = 9.71e

• struttura data senza carichi
• flessi
• angoli
• incognita iperstatica
• fibre tese

Equilibrio Globale

struttura data, con carichi ai vincoli ripetto CdS

Retratrice punto A

^qle2⁄₄₈ + ⁹qle⁄₂ - ⁹gle² - ¹¹qle² + ⁵⁄₄₈gle² = 0

Telaio 1

A: cernieraB: cerniera internaC: cerniera internaD: continuitàE: incastro

EA → ∞P = ^9qℓ/₂

1. Bloccare cinematicismi nodi interniNon toccare le cerniere
2. Blocco spostamenti verticale nodo DBlocco rotazione nodo D

Φ = X₁ sist. 1M = X₂ sist. 2

2) EQ. DI EQUILIBRIO

mno + mnM Φ + mn2M_o = 0F_Z0 + F_Z1 Φ + F_Z2 M = 0

3) SISTEMA O carichi presenti

Φ = 0 M = 0 incastro

F_A0 = ^qℓ/₂ > 0 perché come convenzione

M_A0 = -^qℓ2/₁₂ discorde alla convenzione