Paniere di Analisi matematica - Risposte multiple e aperte

Docente: Catania Davide

Lezione 021 x≤0.

-1

1. Sia f(x) la funzione definita da x ln(1+2x) per x>0 e da a(x+1) per Allora f è continua in 0 se e solo se il parametro reale a vale

1

2

1/2

0

2. Fornisci la definizione e un esempio di punto di discontinuità di salto.

3. Fornisci la definizione e un esempio di punto di discontinuità di seconda specie.

4. Classifica i possibili punti di discontinuità di una funzione, fornendo le opportune definizioni.

5. Fornisci la definizione e un esempio di punto di discontinuità eliminabile. © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 22/87

Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 022 2 1/2

1. La funzione f(x)=(x +x-1) -x ha

y=-2x-1/2 come asintoto obliquo e y=1/2 come asintoto orizzontale

y=2x-1/2 come asintoto obliquo e y=1/2 come asintoto orizzontale

y=-2x+1/2 come asintoto obliquo e y=0 come asintoto orizzontale

y=-2x-1/2 come asintoto obliquo e y=0 come asintoto orizzontale

2 2

2. La funzione f(x)=(2x +x)/(x -1) ha

x=2 come asintoto verticale

y=2x come asintoto obliquo

y=2 come asintoto orizzontale completo

due diversi asintoti orizzontali +∞):

x x

3. La funzione f(x)=xe / (e +1) ha asintoto destro (cioè a

y=x+1

obliquo y=x

orizzontale y=0

obliquo y=x-1

4. La funzione f(x)=ln(1+2/x) ha

x=0 e y=0 come unici asintoti

asintoti verticali e obliqui

x=-2 e y=0 come asintoti

due asintoti verticali e l'asintoto orizzontale y=e

5. La funzione f(x)=2arctan(x)-x ha

x=π/2

y=-x+π come asintoto obliquo e come asintoto verticale

y=-x-π come asintoto obliquo sinistro e nessun asintoto verticale

y=-x+π come asintoto obliquo completo (destro e sinistro)

x=π/2 come asintoto verticale e nessun asintoto obliquo © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 23/87

Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 023 2 -x

1. La funzione f(x)=x -e

si annulla in un qualsiasi intorno di 1

si annulla per almeno un valore compreso fra -1 e 0

si annulla in un qualsiasi intorno di 0

si annulla per almeno un valore compreso fra 0 e 1

2. La funzione f(x) è definita e continua nell'intervallo [0,1], con f(0)=2 e f(1)=5. Allora

f assume tutti e soli i valori compresi fra 0 e 1, oltre ai valori 2 e 5

f assume tutti i valori compresi fra 0 e 1, ma potrebbe assumerne altri

f assume tutti e soli i valori compresi fra 2 e 5

f assume tutti i valori compresi fra 2 e 5, ma potrebbe assumerne altri

3. La funzione f(x) è definita e continua nell'intervallo [0,4], con f(0)=1 e f(4)=5. Allora, sicuramente, l'immagine di f

è contenuto in [0,4]

contiene almeno [0,4]

contiene almeno [1,5]

è contenuto in [1,5]

4. Una funzione reale f è definita su un intervallo [a,b]. Una condizione sufficiente affinché esista un numero reale c nell'intervallo ]a,b[ tale che f(c)=0 è

f continua in [a,b] e f(a)=f(b)

f continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[

f continua in [a,b] con f(a)f(b)<0

f derivabile in ]a,b[ e f(a)+f(b)<0

5. Enuncia il teorema degli zeri (di Bolzano).

6. Enuncia il teorema dei valori intermedi.

7. Enuncia il teorema di Weierstrass su massimi e minimi.

8. Enuncia il teorema di Bolzano degli zeri e il teorema dei valori intermedi.

9. Fornisci la definizione di massimo assoluto di una funzione reale. Enuncia il teorema di Weierstrass su massimo e minimo assoluti.

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 024

1. Se f è una funzione derivabile nell'intervallo [a,b], allora f'(a) rappresenta

il coefficiente angolare della retta secante il grafico di f nei punti di ascissa x=a e x=b

il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x=a

un coefficiente della retta secante il grafico di f nei punti di ascissa x=a e x=b

la retta tangente nel punto x=a

2. Data una funzione reale f definita per ogni numero reale, l'unica affermazione corretta, fra le seguenti, è

se f è continua, allora è anche derivabile

se f è derivabile, allora è anche continua

f è continua se e solo se è derivabile

possono esistere due insiemi A e B con f derivabile non continua in A e f continua non derivabile in B

3. Fornisci la definizione e il significato geometrico di derivata di una funzione in un punto.

4. Fornisci la definizione di derivabilità di una funzione in un punto. Che relazione sussiste fra derivabilità e continuità?

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 025 x 2

1. La retta tangente al grafico di y = (e +1) / (x +1) ha, nel punto x = 0, pendenza (cioè coefficiente angolare)

0

1

0

e

2

2. Sia f una funzione derivabile con continuità e invertibile, con f(0)=1, f'(0)=2. Detta g la funzione inversa di f, allora

g'(1)=1/2

g'(0)=1/2

g'(0)=1

g'(1) potrebbe non esistere © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 26/87

Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 026 π

sin x

1. La retta tangente al grafico di y=e nel suo punto di ascissa ha equazione

x+π

y = x+π+1

y =

y = -x-π+1

y = -x+π+1

2x

2. Se f(x)=x , allora f'(e) vale

2e

e 2e-1

e 2e

4e 2e

2e

3. Se f(x)=arctan[(x-1)/(x+1)] , allora f'(1) vale

1

0

2

1/2 2

4. Se f(x)=ln x /(1+ln x), allora f'(e) vale

-1

3e /4

-1

e /4

-1

e -1

2e 2x 3x

5. Se f(x)=e (e +1), allora f'(0) vale

7

5e

3

5

6. Se f(x)=cos ln x, allora f'(e) vale

cos(1)

-sin(1)

sin(1)

-sin(1)/e f'(π)

1/2

7. Se f(x)=(1+2sin x) , allora vale

-1/2

1/2

-1

1 © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 27/87

Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

x

8. La derivata di x nel punto x=e vale

e-1

e e

2e

2e

e e

e 2

9. Se f(x)=(x+2)ln[1+2x+x +cos(x)], allora f'(0) vale

2ln(2)

2

1+ln(2)

2+ln(2)

10. Se f(x)=arctan(2x), allora f'(1) vale

1/4

1/2

2/5

1/5 3

11. La retta tangente al grafico di y=ln x nel suo punto di ascissa e ha equazione

-1

y = 3e x-3

-1

y = 3e x-2

y = 3x-2

y = 3x-3e © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 28/87

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INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 027 2

1. La funzione f(x)=(x +1)/x

non ha punti stazionari

ha 1 come unico punto stazionario

ha 1 e -1 come punti stazionari

ha -1 e 0 come punti stazionari

2. Sia f una funzione che soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [a,b]. Allora possiamo sicuramente affermare che

esiste un unico punto del grafico di f con retta tangente parallela alla secante passante per i punti del grafico di ascissa a e b

esiste un unico punto del grafico di f con retta tangente all'asse x delle ascisse

esiste almeno un punto del grafico di f con retta tangente parallela alla secante passante per i punti del grafico di ascissa a e b

esiste almeno un punto del grafico di f con retta tangente all'asse x delle ascisse

2 -2x

3. La funzione f(x)=x e

ha 0 e 1 come punti stazionari

ha -1 e 1 come punti stazionari

non ha punti stazionari

ha 0 come unico punto stazionario x≥1,

2 2

4. La funzione f(x), che vale x +ax+1 per x<1 e -x +x+b per soddisfa il teorema di Lagrange nell'intervallo [0,2] per

a=-3, b=-1

nessun valore di a, b

a=-1, b=1

a=0, b=2 x≥0,

2

5. La funzione f(x), che vale x +ax+b per x<0 e cx+3 per soddisfa il teorema di Rolle nell'intervallo [-1,1] per

a=c=1/2, b=3

a=b=3, c=1

a=1, b=3, c=4

a=0, b=3, c=5 2

6. La funzione f(x)=|x -9|, nell'intervallo [-1,2],

soddisfa il teorema di Rolle con un punto c>0

soddisfa il teorema di Lagrange con un punto c<0

soddisfa il teorema di Lagrange con un punto c>0

soddisfa il teorema di Rolle con un punto c<0

7. La funzione f(x)=|x-2|, sull'intervallo [-1,5],

soddisfa il teorema di Rolle, ma non il teorema di Lagrange

soddisfa il teorema di Fermat, ma non il teorema di Rolle

soddisfa il teorema di Lagrange e il teorema di Fermat

non soddisfa il teorema di Lagrange © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 29/87

Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

2

8. Consideriamo l'applicabilità del teorema di Rolle alla funzione f(x)=|x -3x|, sull'intervallo [0,3], e indichiamo con c gli eventuali punti la cui esistenza è

garantita dal teorema. Allora

vale il teorema di Rolle con un punto c<1 e per un punto c>1

vale il teorema di Rolle con un punto c<1

vale il teorema di Rolle con un punto c>1

non vale il teorema di Rolle

9. Se f è una funzione che soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [a,b], quale delle seguenti affermazioni può non valere?

f derivabile in [a,b] e f(a)=f(b)

f derivabile in ]a,b[

f continua in ]a,b[ e f(a)=f(b)

f continua in [a,b]

10. Enuncia il teorema di Lagrange e forniscine l'interpretazione geometrica.

11. Enuncia il teorema di Rolle e forniscine l'interpretazione geometrica. © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 30/87

Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 028

1. Il limite per x che tende a 0 di (sin x) ln x

vale -1/e

vale -∞

vale 0

non esiste sin(πx)/ln

2. Il limite per x che tende a 1 di x

vale -π

π/e

vale

vale 0

non esiste +∞, +∞,

x 2 x 2

3. Usando il teorema di De L'Hopital, dimostra che e prevale su x e che x prevale su ln(x) quando x tende a cioè che il limite di e /x tende a ecc.

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

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Docente: Catania Davide

Lezione 029