Risposte domande aperte paniere Analisi matematica

ESEMPIO:

o

() = ||

1 se

▪ > 0

-1 se

▪ < 0

e

→ lim = lim 1 = 1 lim = lim −1 = −1

|| ||

→ + → + → − → +

0 0 0 0

• Fornisci la definizione ed un esempio di punto di discontinuità di seconda specie

La funzione può non ammettere limite per , da destra o da sinistra, oppure

o → 0

almeno uno dei due limiti è infinito.

Sia un punto di accumulazione per e supponiamo che sia definita

∈ ℝ ()

0

in un intorno circolare, eventualmente bucato, di . Diciamo che la funzione ha in

0

un punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti, sinistro o

0

destro è infinito oppure non esiste.

Sia un punto di accumulazione per e supponiamo che sia

∈ () ()

0

definita in un intorno circolare di . Diciamo che la funzione ha in un punto di

0 0

discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, è

infinito oppure non esiste. 3

2

ESEMPIO: Consideriamo la funzione , questa funzione ha dominio:

o () = + 2−1

I punti da escludere si individuano ponendo

(−∞,

() = −1) ∪ (−1,1) ∪ (1, +∞).

il denominatore diverso da zero. La funzione considerata presenta nei punti = −1,

1

due punti di discontinuità di seconda specie.

= 1,

2 3 3

2 2

Infatti: e Analogamente:

lim + = +∞ lim + = −∞.

2−1 2−1

→(−1)− →(−1)+

3 3

2 2

e

lim + = −∞ lim + = +∞

2−1 2−1

→(1)− →(1)+

• Classifica i possibili punti di discontinuità di una funzione, fornendo le opportune definizioni

Se una ammette limite destro e limite sinistro finiti e distinti si parla di discontinuità

o

di 1° specie o salto.

Se la non ammette limite per da destra o da sinistra o uno dei due limiti è

o → 0

infinito si parla di discontinuità di 2° specie.

Se la ammette un limite per diverso dal valore della in quel punto si parla

o →

0

di discontinuità di 3° specie o eliminabile.

• Fornisci la definizione ed un esempio di punto di discontinuità di eliminabile

Un punto si dice punto di discontinuità eliminabile per la funzione quando:

o ()

0

Esiste ed è finito il limite di per , ossia

▪ () → lim () = ;

0 → −

0

non è definita in , oppure se lo è, risulta

▪ ( ) ≠ .

0 0

2

1−

ESEMPIO: . Il dominio è

o () = ℝ − {1}.

−1 2

1− (1−)(1+)

Il limite sarà calcolato per Scelto

→ 1: lim = lim = lim −(1 + ) = −2.

−1 −(1−)

→1 →1 →1

un intorno completo di sempre più ristretto, la funzione assume valori sempre

= 1

0

più vicini a e quindi possiamo dire che è quasi continua, perché rimane

−2 ()

escluso il solo punto Il punto 1 viene anche detto punto di discontinuità

= 1.

0

eliminabile, perché la funzione può essere modificata nel punto 1 in modo da

renderla continua, rimanendo invariata nel suo dominio naturale.

• Enuncia il teorema degli zeri (di Bolzano)

Sia data una funzione continua in un intervallo Se e sono

o [,

() ]. () ()

diversi da zero e di segno discorde, allora esiste un tale che

[, )

∈ ] ( = 0.

0 0

OPPURE: Consideriamo una funzione e sia un

o [,

: () ⊆ ℝ → ℝ ] ⊆ ()

intervallo chiuso e limitato contenuto nel dominio della funzione. Supponiamo inoltre

che sia una funzione continua su che essa assuma agli estremi

[,

]e

dell’intervallo valori di segno opposto, cioè che Allora ammette

() ()

× < 0.

almeno uno zero interno ad cioè esiste almeno un punto tale che

[, ], ∈ (, )

0

( ) = 0.

0

• Enuncia il teorema dei valori intermedi

Data una funzione continua comunque preso un punto compreso tra

o [,

: ] → ℝ,

e estremi inclusi, esiste almeno un tale che

[,

() (), ∈ ] ( ) =

0 0

OPPURE: se una funzione continua in un intervallo assume due valori distinti

o nell’intervallo, allora assumerà tutti i valori tra essi compresi. Sia un intervallo

⊂ ℝ

e sia una funzione continua in Se assume due valori distinti in

() . () < ,

1 2

allora assume tutti i valori compresi tra e .

()

1 2

ed inoltre

∀⁡ : ≤ ≤ ∃⁡ ∈ ⁡⁡( ) =

0 1 0 2 0 0 0

• Enuncia il teorema di Weirstrass su massimi e minimi

Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ammette un punto di

o [, ],

massimo assoluto e un punto di minimo assoluto in [, ].

OPPURE: Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato un

o [,

() ]ha

valore minimo e massimo tali che

= ( ) = ( ) ( ) ≤ () ≤ ( )

1 2 1 2

i punti e dell’intervallo sono detti rispettivamente punti

→ [,

∀⁡ ∈ ∀x ∈[, ] ]

1 2

di minimo e di massimo.

• Enuncia il teorema di Bolzano degli zeri e dei valori intermedi

Vedi sopra

o

• Fornisci la definizione di massimo assoluto di una funzione reale. Enuncia il teorema di

Weirstrass su massimi e minimi

Data la funzione si dice che un punto è un punto di massimo

o : → ℝ, ̅ ∈

(minimo) assoluto per la funzione se

) )

(̅ ≥ (), ((̅ ≤ ()), ∀⁡ ∈

OPPURE: Sia una funzione reale con diremo che il punto

o () : → , =

0

è un punto di massimo se Il massimo assoluto è il

( , ( )) ∀⁡ ∈ , () ≤ ( ).

0 0 0

valore massimo più grande che la funzione assume sul proprio dominio e questo

punto non è detto che esista.

Vedi sopra per Teorema

o

• Fornisci la definizione e il significato geometrico di derivata di una funzione in un punto

La derivata della funzione nel punto è il coefficiente angolare della retta

o ∈ (, )

0

tangente al grafico di nel punto

= 0

∆ ( + ℎ) − ( )

0 0

=

ℎ ℎ

• Fornisci la definizione di derivabilità della funzione in un punto. Che relazione sussiste tra

relatività e continuità?

Siano e Supponiamo che esista il

o : (, ) → ℝ ∈ (, ).

0

∆ ( + ℎ) − ( ) () − ( )

0 0 0

lim = lim = lim

ℎ ℎ −

ℎ→0 ℎ→0 →0 0

e che sia finito. Tale limite si dice allora la derivata della funzione in e si indica

0

con oppure con oppure con

′( ) ⁡( ) ( ).

0 0 0

Una funzione derivabile in è continua in .

o : (, ) → ℝ ∈ (, )

0 0

• Enunciare il teorema di Lagrange e forniscine un’interpretazione geometrica

Data una funzione continua in e derivabile in esiste un punto interno

o [, ] (, ), ∈

tale che (

(, ) () − () = − )′()

Dal punto di vista geometrico, avendo una funzione di variabile reale e valori reali

o

definita nell’intervallo , supponendo che essa sia continua e che in ogni punto

[, ]

del suo grafico sia definita la retta tangente, quest’ultima non parallela all’asse delle

ordinate, è possibile tracciare la retta secante passante per i punti e

(, ())

. A queste condizioni, secondo Lagrange, esiste almeno in punto

(, ()) ], [

∈

tale che la tangente di nel punto abbia la stessa pendenza della retta

(,

())

passante per e

(, (,

⁡punti ()) ())

• Enuncia il teorema di Rolle e forniscine un’interpretazione geometrica

Data una funzione continua in un intervallo chiuso e derivabile in tale

o [, ] (, ), ′

che esiste cui si annulla la derivata prima di cioè ()

() = (), ∈ (, )in , =

0.

Geometricamente, se il grafico di una funzione continua su un intervallo

o ⁡definita

con valori in è dotato di tangente non verticale in ciascuno dei punti

[, ] ℝ

con e se la funzione⁡ assume lo stesso valore agli estremi

(, ()), ∈ (, ),

dell’intervallo allora esiste almeno un punto c interno ad tale che la retta

[, [,

], ]

tangente al grafico di f nel punto sia parallela all’asse delle ascisse

(, ())

• 2

Usando il teorema di De L’Hopital dimostra che prevale su e che prevale su

ln

quando tende a cioè che il limite di tende a ecc.

+∞, +∞,

2

+∞ +∞

o lim = = lim = = lim = +∞

2

−∞ 2 +∞ 2

→+∞ →+∞ →+∞

+∞ 1

lim = = lim = lim = +∞

ln +∞ 1

→+∞ →+∞ →+∞

• Spiega il significato di funzione infinitesima e infinitesimi equivalenti

Si dice che una funzione è un infinitesimo per se

o → 0

lim () = 0

→

0 0+ 0−

analogamente si dice che è un infinitesimo per oppure oppure

→ → →