Paniere Completo di Complementi di matematica (2025) - Risposte multiple e aperte

INGEGNERIA INFORMATICA E DELL'AUTOMAZIONE (D.M. 270/04)

Docente: Amendola Gennaro

17. Parlare del determinante.

Il determinante è definito solo per le matrici quadrate.

Sia A = (a ) ∈ K una matrice quadrata. L’elemento di K ∑ sgn(σ)a a ... a è detto determinante della matrice A è

n,n

ij σ∈Pn 1σ(1) 2σ(2) nσ(n)

indicato con det(A)

18. Parlare dell’interpretazione geometrica del determinante delle matrici con entrate reali.

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano (O; a,b) per il piano V e usiamo l’identificazione dei vettori geometrici con i vettori

2G

colonna formati dalle loro coordinate. Consideriamo i due vettori X = (a b ) e X = (a b ) e il parallelogramma che ha i due

t t

1 1 1 2 2 2

vettori scelti come una coppia di lati adiacenti

L’area A del parallelogramma è data dall’area del rettangolo grande (ODBG) meno le aree dei quattro triangoli (OA C, 0A F, A EB,

1 2 1

A HB) e dei due rettandoli piccoli (A CDE, A HGF):

2 1 2

A = (a + a ) • (b + b ) – a b /2 – a b /2 – a b /2 – a b /2 –a b – a b = a b – a b

1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1

Che è proprio il determinate della matrice a1 a2

b1 b2 © 2016 - 2023 Università Telematica eCampus - Data Stampa 27/01/2023 15:53:25 - 29/122

Set Domande: COMPLEMENTI DI MATEMATICA

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Docente: Amendola Gennaro

Lezione 016

01. Quanto vale il determinante della matrice 4×4

2 1 0 -1

1 0 2 0

0 -3 -1 1

-1 -1 2 3

? 26.

42.

22.

38.

02. Quanto vale il determinante della matrice 4×4

2 -1 0 1

1 0 2 0

0 -3 -1 1

-1 -1 2 3

? 38.

26.

42.

22.

03. Quanto vale l'area del triangolo con vertici (-1 3), (2 1) e (2 0) nel piano?

t t t

3

-3

3/2.

-3/2.

04. Quanto vale il determinante della matrice 4×4

2 -1 0 1

-1 0 2 0

0 -3 1 1

1 -1 2 3

? 26.

22.

42.

38. © 2016 - 2023 Università Telematica eCampus - Data Stampa 27/01/2023 15:53:25 - 30/122

Set Domande: COMPLEMENTI DI MATEMATICA

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Docente: Amendola Gennaro

05. Quanto vale il determinante della matrice 4×4

2 1 0 -1

-1 0 2 0

0 -3 1 1

1 -1 2 3

? 26.

22.

42.

38.

06. Quanto vale l'area del triangolo con vertici (2 1), (-1 3) e (2 0) nel piano?

t t t

3

3/2.

-3/2.

-3

07. Quanto vale l'area del triangolo con vertici (2 1), (-1 3) e (1 0) nel piano?

t t t

5/2.

-5/2.

5

-5

08. Quanto vale l'area del triangolo con vertici (-1 3), (2 1) e (1 0) nel piano?

t t t

-5/2.

-5

5/2.

5

09. Descrivere lo sviluppo di Laplace per il calcolo del determinante.

Sia A = (a ) ∈ K una matrice quadrata con n ≥ 2

n,n

ij

Il determinante di A è uguale alla somma dei prodotti delle entrate di una riga qualsiasi per i rispettivi complementi

 algebrici: det(A) =∑a • cof (k, j) dove k è un indice di riga fissato

A

kj

Il determinante di a è uguale alla somma delle entrate di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici:

 det(A) =∑a • cof (i, h) dove h è un indice di riga fissato

A

ih

La prima formula del Teorema di Laplace è detta sviluppo di Laplace lungo la k-esima riga, La seconda formula del Teorema di

Laplace è detta sviluppo di Laplace lungo la h-esima colonna.

10. Descrivere come utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss per il calcolo del determinante.

Per calcolare il determinante di una matrice possiamo usare il metodo di eliminazione di Gauss, trasformando la matrice A in una

matrice a scalini B ∈ K attraverso operazioni elementari sulle righe di tipo I° e di tipo III°. Quelle di tipo III° non cambiano il

n,n

determinante mentre quelle di tipo I° cambiano il segno del determinante.

Se abbiamo fatto k operazioni elementari sulle righe di tipo I° abbiamo det(A) = (-1) det(B)

K

Visto che B è un matrice a scalini B è triangolare quindi il suo determinante può essere calcolato facilmente poiché essi è i l

prodotto degli elementi sulla diagonale principale. © 2016 - 2023 Università Telematica eCampus - Data Stampa 27/01/2023 15:53:25 - 31/122

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11. Descrivere alcune proprietà del determinante.

Sia A ∈ K una matrice quadrata sia ha det( A) = det(A)

n,n t

Sia ∈ {1, ,A , , A , , ∈ K valgono

…, …, B,

2, A C

i A

…, n} un tali

indice uguaglianze:

fissato siano A 1 2 i-1 i+2 n n,1

det (A A … A B+C A A … A ) = det (A A … A B A A … A ) + det (A A … A C A A … A )

1 2 i-1 i+1 i+2 n 1 2 i-1 i+1 i+2 n 1 2 i-1 i+1 i+2 n

e

det (A A … A λ • B A A … A ) = λ • det(A A … A B A A … A )

1 2 i-1 i+1 i+2 n 1 2 i-1 i+1 i+2 n

dove le matrici sono scritte usando le loro n colonne © 2016 - 2023 Università Telematica eCampus - Data Stampa 27/01/2023 15:53:25 - 32/122

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Lezione 017

01. Quanto vale il rango della matrice 2×3

1 2 -1

2 4 -2

? 0.

3.

2.

1.

02. Quanto vale il rango della matrice 3×4

2 -1 0 2

-1 1 1 3

0 -3 -2 -4

? 1.

0.

3.

2.

03. Quanto vale il rango della matrice 3×4

-2 -1 0 2

-1 1 1 3

0 -3 -2 -4

? 3.

0.

2.

1.

04. Quanto vale il rango della matrice 3×4

2 -1 0 2

1 1 1 3

0 -3 2 -4

? 2.

3.

0.

1. © 2016 - 2023 Università Telematica eCampus - Data Stampa 27/01/2023 15:53:25 - 33/122

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05. Quanto vale il rango della matrice 3×4

2 -1 0 2

1 1 1 3

0 -3 -2 -4

? 0.

3.

2.

1.

06. Quanto vale il rango della matrice 2×3

1 3 -2

2 6 -4

? 2.

3.

1.

0.

07. Quanto vale il rango della matrice 2×3

1 3 -3

2 6 -4

? 3.

2.

0.

1.

08. Quanto vale il rango della matrice 2×3

1 2 -1

2 4 -4

? 1.

2.

0.

3.

09. Descrivere la relazione tra il determinante di una matrice e la dipendenza/indipendenza lineare delle colonne e delle righe della matrice.

Sia A una matrice quadrata tali fatti sono equivalenti:

Le colonne di A sono linearmente indipendenti

 Le righe di A sono linearmente indipendenti

 Det(A) 0

 ≠ © 2016 - 2023 Università Telematica eCampus - Data Stampa 27/01/2023 15:53:25 - 34/122

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proposizione

in

10. Parlare del rango di una matrice, particolare enunciando un risultato (teorema, o corollario).

Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di una matrice A di dimensione n x m è detto rango di A è indicato con

rank(A).

Proposizione: Il rango di una matrice A di dimensione n x m è uguale alla dimensione del sottospazio vettoriale di K generato

n

dalle colonne di A © 2016 - 2023 Università Telematica eCampus - Data Stampa 27/01/2023 15:53:25 - 35/122

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Lezione 018

01. Descrivere come utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan per il calcolo dell’inversa di una matrice.

Sia A una matrice quadrata di ordine n, si considera la matrice ( A , I ) ∈ K che ha A come sottomatrice corrispondente alle

n,2n

n

prime n colonne e I come sottomatrice corrispondente alle ultime n colonne. Si applica il metodo di eliminazione di Gauss-

n

Jordan, il risultato dell’algoritmo è una matrice a scalini (B , C) se si ha B = I allora A è invertibile e si ha A = C, altrimenti non è

-1

n

invertibile

02. Descrivere la formula esplicita dell’inversa di una matrice.

Una matrice A ∈ K è invertibile se e sole se det(A) è diverso da 0 La matrice inversa ha det(A ) = (1/ det(A))

n,n -1

Se n = 1 la matrice inversa di A = (a ) è A = (1/a )

-1

 11 11

Se n ≥ 2 la matrice inversa di A è la trasposta della matrice dei complementi algebrici di A moltiplicata per

 (1/det(A))

A = (1/det(A)) • (cof(A)) = (1/det(A)) • (cof (1,1) cof (2,1) … cof (n,1))

-1 t A A A

(cof (1,2) cof (2,2) … cof (n,2))

A A A

(cof (1,n) cof (2,n) … cof (n,n))

A A A

Ossia (A-1) = [cof (j , i) / det(A)]

j

i A © 2016 - 2023 Università Telematica eCampus - Data Stampa 27/01/2023 15:53:25 - 36/122

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Lezione 019

01. Parlare delle applicazioni lineari, in particolare dando la definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).

f

Dati due spazi vettoriali V e W sullo stesso campo K un’applicazione : W -> W è detta lineare o K-lineare se valgono tai

proprietà: f f f

AL1 per ogni v ,v ∈ V si ha: (v + v ) = (v ) + (v )

 1 2 1 2 1 2

f f

AL2 per ogni v ∈ V e λ ∈ K si ha (λ • v) = λ • (v)



L’insieme delle applicazioni lineari da V a W è indicato con Lin(V,W)

f

Un’applicazione : V -> V da uno spazio vettoriale in sé è detta endomorfismo o operatore lineare di V

Proposizione: La composizione di applicazioni lineari è un’applicazione lineare

02. Parlare delle applicazioni lineari associate alle matrici.

f f

Sia A ∈ K data. L’applicazione : K -> K definita da (X) := A • X è detta applicazione lineare associata alla matrice A

n,m m n

A A

f f f

AL1 per ogni X,Y ∈ K abbiamo : (X + Y) = A • (X + Y) = A • X + A • Y = (X) + (Y)

m

 A A A

f f

AL2 per ogni X ∈ K e λ ∈ K abbiamo: (λ • X) = A • (λ • X) = λ • (X)

m

 A A

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