Paniere con risposte chiuse - Analisi matematica (2023/2024)

Ax, Be

3x

A, Be

3x 3x

Ae , Be

07. L'integrale generale dell'equazione differenziale y"+2y'-3y=0 è una combinazione lineare delle funzioni

x -3x

e , e

-x 3x

e , 2e

x x

e cos 3x, e sin 3x

cos 3x, sin 3x Downloaded by Carlo Marziani (carlomarziani62@gmail.com)

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

08. Un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, a coefficienti costanti, ha 1 come unica radice della corrispondente equazione caratteristica.

Allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è (a, b costanti reali)

t

at+be

t t

ae +bte

t

ae

t t

ae +be

09. Un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, a coefficienti costanti, ha 0 e 1 come radici della corrispondente equazione caratteristica.

Allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è (a, b costanti reali)

t

at+be

t t

ae +bte

a+bt t

a+be

10. Un integrale generale dell'equazione y''-y=0 può essere espresso come

x x

ae cos x+be sin x

a cos x+b sin x

x x

ae +bxe

-x x

ae -be Downloaded by Carlo Marziani (carlomarziani62@gmail.com)

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 060 t t t 2 t

01. La soluzione del problema di Cauchy y"-2y'+y=e , y(0)=1, y'(0)=2 è y(t)=ae +bte +(1/2)t e , con

a=0, b=1

a=1, b=-1

a=b=1

a=0, b=-1 t

02. Applicando il metodo di somiglianza, la forma ottimale per la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione differenziale y"-2y'+y=e è, con A≠0,

t

(At+B)e

t

Ate

t

Ae

2 t

At e

03. L'equazione differenziale completa ay"+by'+cy=cos(t) ha 0 e 1 come radici dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata; allora la forma

generale, più semplice, di una soluzione particolare dell'equazione differenziale completa è

At cos(t)+Bt sin(t)

At cos(t)

Acos(t)+Bsin(t)

Acos(t) 2 x

04. Per il problema di Cauchy y"+ty'+y=0, y(0)=1, y'(0)=0, la funzione f(t)=exp(-t /2), dove exp(x)=e ,

non è soluzione

è l'unica soluzione

è una soluzione, ma ce ne sono infinite altre

è una soluzione, ma ce n'è esattamente un'altra -2t

05. Applicando il metodo di somiglianza, la forma ottimale per la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione differenziale y"+y'-2y=10e è

-2t

(at+b)e

-2t

ae +b

-2t

ate

-2t

ae t

06. L'equazione differenziale y"+y'-2y=te ha la soluzione particolare, per un opportuna A≠0,

t

(At-9)e

t

(At-3)e

2 t

(At -t/3)e

2 t

(At -t/9)e 2

07. Una soluzione particolare dell'equazione differenziale y"+2y-3t =0 è, per opportune costanti con A≠0,

2

(3/2)t +At+B

(3/2)t-A

3 2

At +Bt +Ct-3/2

2

At -3/2 Downloaded by Carlo Marziani (carlomarziani62@gmail.com)

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

x

08. La forma più semplice della soluzione particolare dell'equazione y''-y=e è

x

Axe

x

Ae x

(A+Bx)e

x

A+Be 2

09. L'equazione differenziale completa ay"+by'+cy=3t ha 0 e -1 come radici dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata; allora esisterà

certamente una soluzione particolare dell'equazione differenziale completa di forma generale (ottimale)

2 3

At+Bt +Ct

2

Ct 2 3

A+Bt+Ct +Dt

2

A+Bt+Ct x

10. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale y"+y'-2y=2e .

11. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale y"-2y'+y=x.

12. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale y"+y=6.

13. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale y"+y'=10.

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Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 063 2 t

01. L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y)=2xyexp(x ), dove exp(t)=e , lungo la curva data da r(t)=(3cos t, 3sin t), con 0<t<3π/2, vale (per risolvere

2

l'integrale, può essere utile la sostituzione u=9cos t):

9

3(e -1)/2

9

3(1-e )

9

3(e -1)

9

1-e 2 2

02. L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y,z)=x +y -z lungo l'arco di elica circolare dato da r(t)=(3cos t,3sin t, 4t), 0<t<π, vale

5(8-9π)

5(9-2π)

5π(9-2π)

5π(8-9π) 2 2

03. L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y,z)=x +y -z lungo l'arco di elica circolare dato da r(t)=(2cos t,2sin t, 0), 0<t<π, vale

4π

8π

6π

2π

04. La lunghezza della curva r(t)=(cos t+tsin t, sin t-tcos t), con t in [-π,π], è

2π 2

2π

0 2

π 2t t

05. La lunghezza della curva r(t)=(e ,2e ,t), con t in [0,1], è

2

e 2

2e +1

2

e +1

2

2e Downloaded by Carlo Marziani (carlomarziani62@gmail.com)

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INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 066 y

01. Indicate con a e b, rispettivamente, le derivate parziali rispetto a x e a y di x calcolate nel punto (1,2), risulta

a=b=1

a=2, b=1

a=0, b=2

a=2, b=0

02. Indicate con a e b, rispettivamente, le derivate parziali rispetto a x e a y di ln[(x+2y)/(x-3y)] calcolate nel punto (1,0), risulta

a=b=-3/2

a=0, b=5

a=5, b=0

a=-3/2, b=-3 2

03. Il gradiente di f(x,y) = (x+y) / x nel punto (1,0) è

(1,-1)

(½,-1)

(-1,1)

(½,1) 2 (x-1)(y+1)

04. La derivata parziale rispetto a x di f(x,y)=x cos(y)+e nel punto (1,0) vale

4

2

3

1 -1

05. Il gradiente di f(x,y,z) = 6ln(xyz ) nel punto (3,2,2) è

(2,3,-3)

4

2

(3,3,-2)

06. La derivata parziale rispetto a x di ln(2x+y) calcolata nel punto (1,1) vale

1/2

1

2/3

1/3 2 (x-1)(y+1)

07. Il piano tangente al grafico di f(x,y)=x cos(y)+e nel suo punto con (x,y)=(1,0) ha equazione

z=3x-1

z=3x-3

z=3x+2

z=3x+3

08. Definisci le derivate direzionali e la differenziabilità di un campo scalare.

09. Definisci le derivate parziali e il gradiente di un campo scalare.

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Docente: Catania Davide

Lezione 067

01. Il piano tangente alla superficie di equazione z=ln[(x+2y)/(x-3y)] nel punto (1,0) ha equazione

z=5x

z=5y

z=5x-1

z=5y+1

02. Un campo scalare f ha (2,-1) come gradiente calcolato nel punto P. Allora la derivata di f, calcolata in P, nella direzione di v=(3,4) vale

8

8/5

2/5

2 2

03. La derivata di f(x,y)=x +sin(y) nella direzione di (3,-4), calcolata nel punto (1,0), vale

2/5

3/5

2

3 2

04. Il piano tangente al campo scalare f(x,y)=x +sin(y) nel punto (1,0) ha equazione

2x+y-z-1=0

x+y-2z+1=0

2x+y-z=0

x+2y-z=0 2

05. Il piano tangente al grafico di z=x+xy nel punto (0,0,0) ha equazione

z=0

z=x

z=x+y

z=x-y

06. Enuncia le proprietà delle funzioni differenziabili.

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Docente: Catania Davide

Lezione 068

01. Enuncia il Teorema di Schwarz e definisci la matrice hessiana associata a un campo scalare, spiegando perché si tratta di una matrice simmetrica.

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INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 070

01. Il campo scalare f(x,y)=2xy/(x+y)

non ha punti stazionari

ha un punto di minimo e un punto di massimo

ha un punto di minimo e un punto di sella

ha un punto di sella 2 3

02. Il campo scalare f(x,y)=xy-x -y ha

un punto di sella e un punto di minimo

un punto di sella e un punto di massimo

un punto di minimo e un punto di massimo

due punti di massimo 2 2 3

03. Il campo scalare f(x,y)=3x +y -x y+1 ha

un punto di minimo e un punto di massimo

un punto di minimo e due punti di sella

un punto di massimo e un punto di sella

un punto di massimo, uno di minimo e uno di sella

04. Il campo scalare f(x,y) ha A come punto di minimo e B come punto di sella. Allora il campo scalare g(x,y)=arctan[-f(x,y)] ha

A come punto di massimo, nulla si può dire su B

B come punto di sella, nulla si può dire su A bho, ho sparato a caso

A come punto di minimo e B come punto di sella

A come punto di massimo e B come punto di sella

2 3

05. Per il campo scalare f(x,y)=ln(1+x )+y -3y

(0,1) è punto di minimo, (0,-1) è di sella

(0,1) è punto di minimo, (2,-1) è di massimo

(2,1) è punto di minimo, (0,-1) è di massimo

(2,1) è punto di minimo, (2,-1) è di massimo

2 2 t

06. Per il campo scalare f(x,y)=arctan(1+x )+exp(y ), dove exp(t)=e , il punto P=(0,0) è

un punto di massimo locale

un punto di minimo assoluto

un punto di minimo locale, non assoluto

un punto di sella 3 3 2

07. Il campo scalare f(x,y)=2x -2y +(x-y) -2x+2y ha esattamente

un punto di minimo e uno di sella

due punti di sella

due punti di sella, un punto di minimo e un punto di massimo

due punti di minimo, un punto di sella e un punto di massimo

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