Paniere con risposte aperte - Analisi matematica (2023/2024)

COME SOPRA

08. Enuncia il teorema di Weierstrass su massimi e minimi.

COME SOPRA

09. Enuncia il teorema degli zeri (di Bolzano).

COME SOPRA

Lezione 24 – Derivate

03. Fornisci la definizione e il significato geometrico di derivata di una funzione in un punto. ∈ R

• Si definisce derivata di una funzione in un punto, il limite (se esiste ed è finito) del rapporto incrementale al tendere verso lo zero dell' incremento h con h

dove per rapporto incrementale si intende la variazione del valore della funzione quando un suo punto x varia nell’intervallo della funzione dal valore x0 al valore x0+h

• Il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto mette in relazione il grafico della funzione e la retta tangente al grafico stesso nel punto

considerato. In quel punto il significato geometrico assume quello di coefficiente angolare, come sotto evidenziato nel grafico.

04. Fornisci la definizione di derivabilità di una funzione in un punto. Che relazione sussiste fra derivabilità e continuità? ∈

Premesso che si definisce derivata di una funzione in un punto, il limite (se esiste ed è finito) del rapporto incrementale al tendere verso lo zero dell' incremento h con h

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R dove per rapporto incrementale si intende la variazione del valore della funzione quando un suo punto x varia nell’intervallo della funzione dal valore x0 al valore x0+h •

Una funzione è detta derivabile se in un suo punto coesistono e quindi coincidono il limite sinistro e quello destro del rapporto incrementale h calcolato in quel punto.

• La funzione perché sia derivabile deve essere altresì continua altrimenti il limite del rapporto incrementale nel punto di discontinuità non è finito oppure non esiste.

Lezione 27 – Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy

10. Enuncia il teorema di Rolle e forniscine l'interpretazione geometrica.

Il teorema di Rolle afferma che se una funzione y = f(x) è:

a) continua in un intervallo chiuso [a , b]

b) derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto (a , b)

c) con valori uguali f(a)=f(b) negli estremi dell'intervallo

∈

allora esiste almeno un punto c (a , b) in cui la derivata della fuznione si annulla, cioè f'(c)=0 (definito punto critico o stazionario).

Per quel che riguarda l’interpretazione geometrica del Teorema di Rolle, va evidenziato che, poiché la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al

grafico, secondo il Teorema di Rolle, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela all’asse delle ascisse x, come sotto evidenziato

11. Enuncia il teorema di Lagrange e forniscine l'interpretazione geometrica. il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) afferma, che data

∈

una funzione continua in un intervallo chiuso [a ,b] e derivabile in un intervallo aperto (a, b), esiste almeno un punto ε (a , b) tale che: f(b) – f(a) = (b – a) f’(ε).

Per quel che riguarda l’interpretazione geometrica del Teorema di Lagrange, supponiamo di avere una funzione f nell’intervallo [a, b] e la retta secante il grafico nei punti

∈

(a, f(a)) e (b , f(b)) che rappresentano gli estremi dell’intervallo, secondo il Teorema di Lagrange esiste almeno un punto c [a, b] in cui la retta secante e la retta tangente

al grafico non parallela all’asse delle ordinate saranno tra loro parallele, ovvero avranno lo stesso coefficiente angolare.

Lezione 28 – Teoremi de l'Hopital

03. Usando il teorema di De L'Hopital, dimostra che ex prevale su x2 e che x prevale su ln(x) quando x tende a +∞, cioè che il limite di ex/x2 tende a +∞, ecc.

Lezione 29 – Funzioni infinitesime e infinite

01. Spiega il significato di funzione infinita e di infiniti equivalenti. +∞ -∞

Data la funzione f(x) si dice che essa è infinita per x→ x0 quando risulta che il suo limite sia tendente a oppure

Ciò in quanto se la x cresce all'infinito la funzione tenderà anch'essa all'infinito. In tal caso si dice dunque che la funzione è INFINITA per x che tende all'infinito.

Se sono date due funzioni infinite f(x) e g(x) nel loro confronto può accadere che e quindi tra i vari casi, il limite sia finito sia diverso

da 0. Si dice allora in tal caso che f(x) e g(x) sono infinite dello stesso ordine. In particolare, se l=1 si dice che i due infiniti si dicono equivalenti.

02. Spiega il significato di funzione infinitesima e di infinitesimi equivalenti.

Data la funzione f(x) si dice che essa è un infinitesimo per x→ x0 quando risulta che il suo limite sia tendente a zero

Ciò in quanto se la x decresce verso lo zero la funzione tenderà anch'essa verso lo zero. In tal caso di dice allora che la funzione è INFINITESIMA per x che tende a zero.

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Se sono date due funzioni infinitesime f(x) e g(x) nel loro confronto può accadere che e quindi tra i vari casi, il limite sia finito e

diverso da 0. Si dice allora in tal caso che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine. In particolare, se l=1 i due infinitesimi si dicono equivalenti.

Lezione 30 – Formula di Taylor

VEDI QUADERNONE

05. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=ex.

06. Scrivi il polinomio di Taylor di quarto grado, centrato in 0, di f(x)=e^(xsin x).

07. Scrivi il polinomio di Taylor di terzo grado, centrato in 0, di f(x)=cos ln(1+x).

08. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=ln(1+x).

09. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=cos x.

10. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=sin x.

Lezione 32 – Funzioni monotone, estremi di funzioni

14. Enuncia il teorema che pone in relazione la monotonia di una funzione al segno della sua derivata prima.

Data la funzione f nell’intervallo (a, b) che sia derivabile in (a, b)

a) se la sua derivata prima f’(x) >0 allora la funzione f è crescente in (a, b)

b) se la sua derivata prima f’(x) <0 allora la funzione f è decrescente in (a, b) ∈ (x1, x2) tale che

Per cui per il teorema di Lagrange, presi due punti x1, x2 nell’intervallo (a, b) con x1 < x2, esiste un punto x0

15. Fornisci la definizione di punto di minimo relativo e di punto di minimo assoluto, dando un esempio, anche grafico, di una funzione dotata di un punto di

minimo relativo non assoluto. ∈

Data la funzione f nell’intervallo (a, b) si dice che il punto x0 (a, b) è:

a) il punto di minimo relativo per f se esiste un intorno x0 tale che l’ordinata di x0 sia <= delle ordinate di tutti gli altri punti di quell’intorno.

b) il punto di minimo assoluto per f nell’intervallo (a, b) se esiste un punto x0 tale che l’ordinata di x0 sia <= delle ordinate di tutti gli altri punti nell’intervallo (a, b)

Qui abbiamo in a il punto di minimo relativo e in x2 il punto di minimo assoluto

16. Fornisci la definizione di punto di massimo relativo e di punto di massimo assoluto, dando un esempio, anche grafico, di una funzione dotata di un punto di

massimo relativo non assoluto. ∈

Data la funzione f nell’intervallo (a, b) si dice che il punto x0 (a, b) è:

a) punto di massimo relativo per f se esiste un intorno x0 tale che l’ordinata di x0 sia >= delle ordinate di tutti gli altri punti di quell’intorno.

b) punto di massimo assoluto per f nell’intervallo (a, b) se esiste un punto x0 tale che l’ordinata di x0 sia >= delle ordinate di tutti gli altri punti nell’intervallo (a, b)

Qui abbiamo in x1 il punto di massimo relativo e in b il punto di massimo assoluto lOMoARcPSD|145 081 44

17. Cosa sono i punti stazionari? Come sono legati alla ricerca di massimi e minimi relativi?

Premesso che perché una funzione sia derivabile in essa devono esistere i limiti destro, i punti critici o di stazionarietà di una funzione f sono punti in cui la derivata prima

di una funzione f si annulla e quindi accade che la disuguaglianza tra i due limiti sia =0

In linea di massima quindi in quel punto coincidono anche i massimi e i minimi sia relativi che assoluti.

Ciò nonostante non è detto che la funzione derivabile in un punto con derivata nulla, abbia proprio in quel punto un massimo o un minimo.

Per esempio nella funzione il punto x0 = 0 è il punto di stazionarietà in quanto vi si annulla la derivata prima, ma NON è il punto di massimo o minimo relativo

in quanto la funzione risulta crescente sia a destra che a sinistra del punto x0.

Lezione 34 – Studio grafico di funzioni

03. Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x), definita e derivabile per x>-1, passante per l'origine, con limite per x che tende a -1 pari a

+∞, f(2)=1 massimo, f'>0 solo per 0<x<2, y=0 come asintoto orizzontale. Determina il numero di soluzioni dell'equazione f(x)=k al variare di k reale.

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04. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=x^3-3x, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi.

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05. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=|x|^3-3x^2, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare

lo studio della derivata seconda. lOMoARcPSD|145 081 44

06. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=ln(x^2-2x), riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della

derivata seconda. 2

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07. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=x^(e1-x), riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della

derivata seconda. lOMoARcPSD|145 081 44

08. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=(x^2-1)^(-1/2), riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della

derivata seconda. -1 1 lOMoARcPSD|145 081 44

09. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=(x^2-4x)^-1, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della

derivata seconda. lOMoARcPSD|145 081 44

10. Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x), sapendo che: è definita e derivabile per x≠1, il limite per x che tende a 1 è +∞, y=2 asintoto orizzontale

completo, f'>0 per x<1 e per x>4, f(4)=0. Stabilisci il segno di f(x).

11. Traccia il grafico della funzione dispari f(x), definita per ogni x diverso da 0, con limite per x che tende a 0 pari a 1, f'>0 solo per |x|<1, f''>0 solo per

|x|>2, f(1)=2 massimo. Stabilisci se x=-1 è un punto di massimo o minimo, precisando se è relativo o assoluto.

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12. Traccia il grafico della funzione f(x), definita e derivabile per x<0 unito a x>1, che tende a 0 in 0, con limite per x che tende a 1 da destra uguale a

+∞, y=x+3 asintoto obliquo completo, f