Paniere completo e svolto di Analisi matematica

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M.270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 018

1. Se a -a è convergente, allora n+1 na non può divergere

   a può non convergere

   a non può oscillare

2. Sapendo che a è una successione convergente non infinitesima, NON possiamo concludere che n2(a) è convergente

   -1(n+a) è convergente non infinitesima

   -a è infinitesima

   n+1 sin(a) è convergente

3. Posto A=(n+1)! e B=(n+2)!, allora il limite per n che tende a +∞ di (B-A)/(nB) vale +∞

   0

   2+∞

   0

4. Posto A=(n+1)! e B=(n+2)!, allora il limite per n che tende a +∞ di (B-A)/(nA) vale 2

   0

   1

   -1

5. La successione di termine generale a = n cos(1+n) è infinitesima

   è divergente

   è oscillante limitata

   è oscillante illimitata

6. Se (b) è una sottosuccessione della successione di termine generale a = 1/n, allora bn può oscillare o convergere

   in generale può

convergere o divergere

diverge ✓Converge

07. La successione di termine generale a = n / (n-1) è

ncrescente illimitata

decrescente illimitata✓

decrescente limitata

crescente limitata

08. Spiega che relazione sussiste fra successioni monotone, regolari, convergenti e limitate, enunciando il relativo teorema.

teorema dell'unicita del limite

Il afferma che ogni successione regolare ammette un unico limite. Ne consegue che:

• Una successione numerica reale è detta monotona crescente se essa tende verso l'estremo superiore dell'insieme numerico dato dal valore dei suoi termini
• Una successione numerica reale è detta monotona decrescente se essa tende verso l'estremo inferiore dell'insieme numerico dato dal valore dei suoi termini

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Per il teorema del confronto date tre funzioni f, f 1, f 2 definite nello stesso dominio tale che f 1(x) <= f (x) <= f 2(x) Selim f 1(x) = lim f

2(x) = l allora anche lim f (x) = l

Di conseguenza trova validita un terzo teorema che afferma che se una successione monotona e regolare e convergente allora e limitata.

Infatti una successione monotona e:

1. regolare in quanto essa ha un limite
2. regolare e convergente e quindi al contempo limitata se il suo limite risulta definito da un numero reale finito le quindi al contempo illimitata se il suo limite e tendente all'infinito
3. regolare e divergente

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lOMoARcPSD|7805740Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M.270/04) Docente: Catania Davide

Lezione 019 2 201.

Il limite per x che tende a 0 di [ln(1+3x)]/(x -x) vale

✓03+∞ o -∞

-3 - 2 40

2. Il limite per x che tende a 0 di [ln(1+3x)]/x vale

✓+∞

-∞

+3

-3 80

3. Il limite per x che tende a +∞ di ln(4x) / ln(2x) vale

ln 2 012

1. 1+∞ e⁰² 4 204. Il limite per x che tende a 0 di ^ln(1+3x)/(x -x²) vale 03
2. -3 id+∞ 2xa +∞ di ^ln(e05-2x) vale av21
3. 0+∞ Dx 2x06. Il limite per x che tende a 0 di (e²-e^3x)/ln(1+3x) vale 1/3
4. -1/30-2/307. Il limite per x che tende a 2 di ^ln(x-1)/(x-2) vale 2
5. 1+∞0 Downloaded by Davide Bontacchio (bontacchiodavide00@gmail.com)© 2016 - 2018 Università Telematica eCampus - Data Stampa 10/08/2018 15:43:26 - 19/87lOMoARcPSD|7805740Set Domande: ANALISI MATEMATICAINGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M.270/04) Docente: Catania Davide1/(x-3)
6. 08. Il limite per x che tende a 3 di (x/3) vale e -3
7. e 1/33ee -1 209. Il limite per x che tende a 0 di ^ln(x+e2)-2/x vale 2e -2e
8. e -22e 3x10. Il limite per x che tende a +∞ di (1+2/x) vale 81+∞ 01
9. 6e 3e 2x 2x11. Il limite per x che tende a +∞ di (x-1) / (x+1) vale e
10. 0e -4e -24e 2e id1/x12. Il limite per x che tende a +∞ di x vale +∞ av0

oscillante 803. Spiega cos'è una successione di Cauchy e che relazione sussiste con le successioni convergenti.

Una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente ε > 0 tra gli elementi della successione, da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad ε.

Ogni successione convergente è una successione di Cauchy in quanto la condizione di Cauchy è una condizione necessaria affinché la successione sia convergente.

e0idavDDownloaded by Davide Bontacchio (bontacchiodavide00@gmail.com)© 2016 - 2018 Università Telematica eCampus - Data Stampa 10/08/2018 15:43:26 - 21/87lOMoARcPSD|7805740Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M.270/04) Docente: Catania DavideLezione 021 -1 ln(1+2x) per x>0 e da a(x+1) per x≤0. Allora f è continua in 0 se e solo se il parametro reale a vale01. Sia

f(x) è la funzione definita da x² - 1/2x + 12. Fornisci la definizione e un esempio di punto di discontinuità eliminabile.

Una funzione continua corrisponde a quella funzione il cui grafico è rappresentato in modo continuo e senza interruzioni, senza fare salti. Quindi:

1. Una funzione si dice continua in un punto quando in quel punto la funzione coincide con il suo limite.
2. Una funzione si dice continua in un intervallo quando la funzione è continua in ogni punto dell'intervallo.

Ne consegue che una funzione è discontinua quando presenta un punto di discontinuità.

Un particolare tipo di punto di discontinuità è quello che si realizza in un punto c della funzione quando la funzione stessa può ammettere in quel punto un limite finito che però è diverso dal valore della funzione. Di seguito abbiamo una funzione continua per x diverso da 5, mentre per x=5 il limite è finito con un valore pari a 10, quindi diverso dal valore della funzione.

Una funzione discontinua di prima specie o di salto è:

f(x) = { 1, se x < 0; 0, se x ≥ 0 }

Una funzione discontinua di seconda specie o di eliminazione è:

f(x) = 1/x

Una funzione discontinua di terza specie o di oscillazione è:

f(x) = sin(1/x)

Una funzione con una discontinuità evitabile è:

f(x) = { x, se x ≠ 0; 1, se x = 0 }

Una funzione con una discontinuità essenziale è:

f(x) = sin(1/x)

La funzione continua corrisponde a quella funzione il cui grafico è rappresentato in modo continuo e senza interruzioni, senza fare salti, per cui:

1. Una funzione si dice continua in un punto quando in quel punto la funzione coincide con il suo limite.
2. Una funzione si dice continua in un intervallo quando la funzione è continua in ogni punto dell'intervallo.

Ne consegue che una funzione discontinua è tale in quanto presenta un punto di discontinuità. Vi sono tre tipi di discontinuità, ovvero:

1. Discontinuità di prima specie o di salto, che si realizza se la funzione ammette limite destro e limite sinistro finiti ma tra loro distinti.
2. Discontinuità di seconda specie, che si realizza quando la funzione può non ammettere limite da destra o da sinistra, o almeno uno dei due limiti è infinito.
3. Discontinuità di terza specie o eliminabile, che si realizza in un punto c della funzione quando la funzione stessa può ammettere in quel punto un limite finito che però è diverso dal valore della funzione.

In matematica, un punto di discontinuità di seconda specie è un punto in cui una funzione non è continua e può non ammettere limite da destra o da sinistra, oppure almeno uno dei due limiti è infinito.

Ad esempio, consideriamo la funzione f(x) definita come:

f(x) =

• x^2, se x < 2
• 3, se x = 2
• 2x + 1, se x > 2

In questo caso, la funzione presenta una discontinuità di seconda specie nel punto x = 2, poiché il limite da sinistra di f(x) quando x tende a 2 è infinito, mentre il limite da destra di f(x) quando x tende a 2 è 5.

22/87lOMoARcPSD|7805740Set Domande: ANALISI MATEMATICA

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M.270/04)

Docente: Catania Davide

Lezione 022