Paniere completo 2025 Quiz + aperte + fuori Paniere Analisi matematica

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M.

Docente:

270/04) Catania Davide

4 3 2 2

15. Il campo

+y - -3y

s

c

a

l

re

f(x,y)=x 4x ha

almeno 2 punti di minimo e al più 2 di sella

✓

almeno 2 punti di minimo e 2 di sella

almeno un punto di massimo e al più 2 di sella

almeno 2 punti di massimo e 2 di minimo

2 4 2

16. Il campo scalare

- x+y +y

f(x,y)=x 2 ha

(1,0) punto di massimo

(1,0) punto di minimo e (1,-1) punto di sella

✓

(1,0) punto di minimo

(1,-1) punto di sella

2

17. Il campo scalare f(x,y)=xy+ 3x ha

y -

(6,-3) come punto di sella

(6,-3) come punto di massimo

(-6,3) come punto di massimo

✓

(-6,3) come punto di sella 2 2

18. Il campo scalare f(x,y)=4xy+2kx -3y ha un massimo relativo in (0,0) per

k>-2/3

k<0 ✓

k<-2/3

k>0

19. Descrivi il metodo dell'Hessiano per studiare la natura dei punti stazionari di un campo scalare f bidimensionale.

lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 075

01. Fornisci la definizione di linea di campo.

Lezione 076

01. Per un campo vettoriale F, l'unica affermazione, fra le seguenti, che in generale non vale è

Se F è conservativo, allora ammette un potenziale

✓

Se F è irrotazionale, allora è anche conservativo

Se F ammette un potenziale, allora è irrotazionale

Se F è conservativo, allora è anche irrotazionale

3 2 2 2

02. Il campo vettoriale F(x,y,z)=(z +6xy , 6x y+1, 3xz ) è

non conservativo e non solenoidale

irrotazionale, non conservativo

✓

conservativo

solenoidale

2 2 2 2

03. Il campo vettoriale F(x,y)=-y/ )i+x/(x

(x +y +y )j

✓

è irrotazionale

è conservativo

ha ogni circuitazione nulla

ha dominio semplicemente connesso 2 2 2 2

04. Il campo vettoriale F(x,y)=[x ln(2x +y +1)+cos x]i+[y ln(2x +y +1)]j

è solenoidale

è conservativo ✓

non è irrotazionale

è irrotazionale, non conservativo y x y x

05. Il campo vettoriale F(x,y)=(2e -ye , bxe -e ) è conservativo per b uguale a

1

e

-1

✓

2 cos x 2

06. Il campo vettoriale (e +2xy,x +yln y)

ammette potenziale, ma non è irrotazionale

✓

è conservativo

non ammette potenziale

è irrotazionale non conservativo

x x

07. Il campo vettoriale F(x,y)=e [sin(x+y)+cos(x+y)]i+e cos(x+y)j è

solenoidale non conservativo

solenoidale e conservativo ✓

conservativo non solenoidale

irrotazionale non conservativo lOM oAR cP SD| 9679654

INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M.

Docente:

270/04) Catania Davide

2

08. Il campo vettoriale F(x,y)=(a sin x cos x cos y, 3sin x sin y) è conservativo per

a=3√2

a=3 ✓

a=-6

a=-3√2

2

09. Il campo vettoriale F(x,y)=(axy,x 2) è conservativo per

/

✓

a=-1

a=1

a=0

a=2

z 2

10. Se F(x,y,z) è un campo vettoriale con potenziale U(x,y,z)=xye y+3, allora F(1,1,1) vale

+x -

3e+1

(e+1, e-2, 2e)

e+3 ✓

(e+2, e-1, e) 2 2

11. Dato il campo vettoriale F(x,y)=(2x/y, -x /y ), l'unica affermazione errata è

è conservativo nel secondo quadrante (assi esclusi)

è conservativo nel primo quadrante (assi esclusi)

✓

è irrotazionale nel suo dominio

è conservativo nel suo dominio

12. Per un campo vettoriale F con derivate parziali continue, quale delle seguenti affermazioni non è equivalente alle altre?

F è conservativo

F ha integrale nullo lungo qualsiasi curva chiusa

✓

F è irrotazionale

Il lavoro di F non dipende dalla traiettoria, ma solo dagli estremi del percorso

13. Spiega che relazione sussiste fra irrotazionalità e conservatività di un campo vettoriale.

V U

Un campo vettoriale e detto conservativo e esiste un campo scalare caratterizzato dall'essere il gradiente di una funzione, che prende il nome di potenziale scalare, tale

V = ∇ U ∇ U V

che: dove il gradiente e l’operatore che associa ad una funzione il vettore delle derivate parziali e il potenziale e il campo scalare per il campo

rotore di un campo vettoriale

Un campo vettoriale puo avere una rotazione infinitesima lungo il suo asse di rotazione. In tal caso si parla di che ne descrive appunto al

∇ x

sua rotazione ed e indicato con irrotazionale. sempre irrotazionale, campo

Un campo vettoriale il cui rotore e nullo si dice Un campo conservativo, che ammette cioe un potenziale, e mentre un

irrotazionale e conservativo se l'insieme in cui esso e definito e un insieme aperto stellato, o piu in generale un insieme semplicemente connesso, come stabilisce il

lemma di Poincare.

14. Fornisci la definizione di rotore e di campo vettoriale irrotazionale.

V U

Un campo vettoriale e detto conservativo e esiste un campo scalare caratterizzato dall'essere il gradiente di una funzione, che prende il nome di potenziale scalare, tale

V = ∇ U ∇ U V

che: dove il gradiente e l’operatore che associa ad una funzione il vettore delle derivate parziali e il potenziale e il campo scalare per il campo

rotore di un campo vettoriale

Un campo vettoriale puo avere una rotazione infinitesima lungo il suo asse di rotazione. In tal caso si parla di che ne descrive appunto al

∇ x

sua rotazione ed e indicato con irrotazionale. sempre irrotazionale, campo

Un campo vettoriale il cui rotore e nullo si dice Un campo conservativo, che ammette cioe un potenziale, e mentre un

irrotazionale e conservativo se l'insieme in cui esso e definito e un insieme aperto stellato, o piu in generale un insieme semplicemente connesso, come stabilisce il

lemma di Poincare.

15. Fornisci la definizione di potenziale e di campo vettoriale conservativo.

V U

Un campo vettoriale e detto conservativo e esiste un campo scalare caratterizzato dall'essere il gradiente di una funzione, che prende il nome di potenziale scalare, tale

V = ∇ U ∇ U V

che: dove il gradiente e l’operatore che associa ad una funzione il vettore delle derivate parziali e il potenziale e il campo scalare per il campo

rotore di un campo vettoriale

Un campo vettoriale puo avere una rotazione infinitesima lungo il suo asse di rotazione. In tal caso si parla di che ne descrive appunto al

∇ x

sua rotazione ed e indicato con irrotazionale. sempre irrotazionale, campo

Un campo vettoriale il cui rotore e nullo si dice Un campo conservativo, che ammette cioe un potenziale, e mentre un

irrotazionale e conservativo se l'insieme in cui esso e definito e un insieme aperto stellato, o piu in generale un insieme semplicemente connesso, come stabilisce il

lemma di Poincare.

Lezione 077 0≤t≤1,

01. Il lavoro del campo vettoriale F(x,y)=(y,x) lungo il segmento di equazioni parametriche x(t)=2t , y(t)=1+3t, con vale

16

✓

8

14

19/2

02. Il lavoro del campo vettoriale F(x,y)=(x, y-x) lungo la curva di equazione parametrica r(t)=(1+t, 1+2t), con t in [0,1], vale

3/2 ✓

5/2

2

4 2 U(π/6,0)

03. Posto F(x,y)=(-6sin x cos x cos y, 3sin x sin y) e indicato con U(x,y) il potenziale di F che si annulla nell'origine, allora vale

4/3 ✓

-3/4

3/4

-4/3 2 3

04. L'integrale di linea del campo vettoriale F(x,y,z)=(yz, xz, xy) lungo la curva di parametrizzazione x=t , y=t+1, z=t , con t in [0,1], vale

5

8

11

✓

2

05. Un potenziale per il campo vettoriale (x,y) è

✓

2 2

(x +y )/2

2 2

x +y 2

(x+y)

x+y y x y x x

06. Il lavoro del campo vettoriale F(x,y)=(2e -ye , 2xe -e ) lungo la curva di equazione y=2 , con x in [0,3], vale

✓

8 3

6e -8e +1

8 3

6e -8e +4

3 8

8e -6e +4

3 8

8e -6e +1 x x

7. L'integrale curvilineo del campo vettoriale F(x,y)=e [sin(x+y)+cos(x+y)]i+e cos(x+y)j lungo la curva di equazione parametrica r(t)=2(cos

t)i+2(sin t)j, con t in [0,2π], vale

4π

✓

0

2

2π x x

8. Detto I l'integrale curvilineo del campo vettoriale F(x,y)=e [sin(x+y)+cos(x+y)]i+e cos(x+y)j lungo la curva di equazione parametrica r(t)=2(cos

[0,π],

t)i+2(sin t)j, con t in allora

3≤I<6

-3<I<0

6≤I<9 ✓

0≤I<3 t 2

09. Se l'integrale di linea del campo vettoriale F(x,y)=(x, y) lungo la curva di equazione parametrica r(t)=(2kt,2e ), con t in [0,1], vale 2e +6, allora k vale

k=2

k=-1 ✓

k=±2

k=±1 [0,2π],

10. La circuitazione del campo vettoriale F(x,y)=(-y,x) lungo l'ellisse di equazioni parametriche x=3cos t, y=2sin t, con t in vale

3π ✓

12π

6π

0

Lezione 078 2 2

01. Indicato con U(x,y,z) il potenziale del campo vettoriale F(x,y,z)=(2xy,x -2yz,-y ) con U(0,0,0)=0, allora U(2,1,1) vale

5 ✓

3

4

2 xy

xy

02. Se U(x,y) è il potenziale che vale 1 in (0,1) del campo vettoriale F(x,y)=(ye +6x-1,xe -2y), allora U(1,0) vale

2 ✓

4

-2

-4 2

03. Il campo vettoriale F(x,y)=(2xy,-y ) è

irrotazionale e non conservativo nel semipiano x>0

✓

solenoidale e non conservativo nel semipiano x>0

solenoidale e conservativo nel semipiano x>0

irrotazionale e conservativo nel semipiano x>0 3 2 2 2

04. Se U(x,y,z) è un potenziale del campo vettoriale F(x,y,z)=(z +6xy , 6x y+1, 3xz ), con U(0,0,0)=0, allora U(1,1,1) vale

-3

1 ✓

5

3 2 2

05. Se il campo vettoriale F(x,y)=(2x/y, -x /y ) ha U(x,y) come potenziale nel primo quadrante, con U(1,1)=0, allora U(4,2) vale

4

8

-4

✓

7 x x U(0,π/2)=1, U(π/2,0)

06. Detto U(x,y) il potenziale del campo vettoriale F(x,y)=e [sin(x+y)+cos(x+y)]i+e cos(x+y)j, con allora vale

o 1 ✓

π/2

o e

o e

o π/2 y x y x

07. Il campo vettoriale F(x,y)=(2e -ye , 2xe -e ) ha U(x,y) come potenziale. Sapendo che U(0,1)=3, allora U(2,0) vale

✓

8

6

4

-3

Lezione 081 2 2 4

01. Se T è la regione limitata di piano compresa fra la parabola x=y +1 e la retta x=2, allora l'integrale doppio su T di f(x,y)=5xy +3x sin y vale

✓

16/3

16/7

8/7

8/3 4

∫∫

02. Se D è il cerchio di centro l'origine e raggio 1, allora l'integrale doppio [xsin(x +y)+1] dx dy vale

D

π+1

✓

π

2π-1

1 2

∫∫

03. Se D è il triangolo avente i vertici nell'origine e nei punti (1,0) e (1,1), allora l'integrale doppio xy dx dy vale

D

1/10

1/6

1/3 ✓

1/15 2

<y<√x

04. L'integrale di f(x,y)=x-y sul dominio x vale

✓

0

9/10

14/15

4/5

2

05. L'integrale doppio di f(x,y)= esteso al triangolo di vertici (-3,0), (3,0), (0,3) vale

xy

27/4

9/2

✓

0

27 2

06. L�