Lezioni di Fisica

ERRORI LEZIONE PRECEDENTE

Ragazzi qua c'è un segno meno correggetelo

Errore anche nella relazione successiva:

Continuo Risposta Professoressa: Allora questa considerazione sulla carrucola le fa dire che

′ ′

= 2

e quindi invece di ci mette 2T, io potrei scrivere un’equazione intermedia che è

′

= 2

Dopodiché vedo che con il ragionamento sulla carrucola

Poi col discorso degli spostamenti vedo che la fune che viene lasciata libera con lo spostamento

di si equipartisce metà a destra e metà a sinistra; quindi, uno spostamento di della massa

1

1corrisponde a un abbassamento di della massa 2. Quindi se questo vale per gli spostamenti,

2

questa relazione di un mezzo vale pure per le velocità e così pure per le accelerazioni. Pertanto,

′

si conclude che l’accelerazione = primo è a/2. Quindi devo spezzare in due parti il discorso,

2

non posso fare tutto un discorso, ci sono 2 discorsi differenti, uno che vale per le tensioni e uno

che vale per le accelerazioni.

Fine riepilogo lezione precedente

Il moto armonico

Allora ragazzi oggi parleremo del moto armonico, il moto armonico lo trovate in diecimila salse

in natura su tanti aspetti, tanti moti in natura sono moto armonico.

Pendolo semplice

Oggi inizieremo col pendolo semplice. Se vi ricordate, abbiamo accennato al pendolo semplice

quando abbiamo fatto il pendolo conico (dinamica del moto circolare). All'inizio del filmato

scorso, il fisico metteva in oscillazione una grossa palla all'inizio del filmato e la faceva oscillare

durante tutto il filmato e notava che il piano di oscillazione di questo pendolo era leggermente

cambiato nella mezz'ora nel filmato.

Allora che cos'è un pendolo semplice? Un pendolo semplice è inestensibile al cui estremo è

fissata una massettina m. Quindi, il filo è fissato in P che può essere la vostra mano; il filo è

lungo L e c'è una massettina, un punto materiale m. Il filo è spostato dalla verticale di un angolo

e viene lasciato andare e quello che voi osservate è che la massettina oscillerà (ve lo faccio

tratteggiato) lungo un arco di circonferenza il cui raggio è L (la lunghezza del filo) dato che il

filo è inestensibile sarà l'arco della circonferenza.

Allora, perché il pendolo oscilla in un piano? Perché, se io faccio il diagramma del corpo libero,

vedo che c'è la forza peso e c'è la tensione della fune. Si trascura in genere la resistenza

dell'aria, altrimenti non è un pendolo semplice, diventa un pendolo più complicato che noi non

.

facciamo. Quindi, le forze applicate al pendolo sono due: la tensione e Tutte e due le forze

giacciono in un piano che nel nostro disegno e il piano del foglio a quadretti. Quindi, non c'è

nessuna forza che è perpendicolare a questo piano. Se non esiste una forza perpendicolare al

piano, il pendolo oscilla in un piano perché non può uscirne fuori, perché per poter cambiare

piano di oscillazione ci deve essere una forza che sposta la massa fuori da questo piano. Dato che

la forza non esiste, evidentemente una volta che viene messo in oscillazione il pendolo, in

qualsiasi piano, questo piano resterà costante, da cui l'osservazione nel filmato per cui sembra

che il piano cambi ma semplicemente perché siamo noi che siamo fissati alla superficie terrestre

e quindi ruotiamo noi sotto al pendolo ma non è pendolo che ruota.

Breve digressione sul pendolo conico

Allora dobbiamo trattare questo moto, quindi, abbiamo detto questo moto è un moto che oscilla

in un piano, diverso è il caso del pendolo conico, perché nel pendolo conico, con una velocità

iniziale che era perpendicolare al piano, ero io che facevo uscire la massa dal piano del foglio a

quadretti, perché gli davo una velocità perpendicolare al foglio, ero io che davo questa velocità;

un’intera

quindi, nel pendono conico la traiettoria era circonferenza perpendicolare al foglio a

quadretti.

Dopodiché, per avere il pendolo semplice o semplicemente lo scosto dalla verticale e lo lascio

andare oppure do una velocità non perpendicolare al piano ma nel piano; quindi, lo posso

spostare e lo lancio con una velocità però una velocità che è sempre nel piano del foglio a

quadretti. In ambedue i casi, cambiano solo le condizioni iniziali o lo lascio andare o gli do una

velocità, quindi, cambia (la velocità iniziale) però in ambedue i casi, essendo le forze T e mg

0

queste qui, il corpo oscillerà in un piano, perché io non gli do alcuna velocità perpendicolare al

piano.

Allora, come faccio a descrivere questo moto? La traiettoria è un arco di circonferenza, quindi,

quello che mi conviene fare quando io ho un arco di circonferenza è di prendere un sistema

radiale tangente, dove il versore radiale è il versore uscente e il versore tangente è il versore

antiorario per convenzione. Non mi conviene prendere xy, rende tutto molto più complicato.

= ,

Quindi, avendo fatto il diagramma del corpo libero, posso scrivere dove l'angolo

compreso tra la verticale e il filo è anche l'angolo compreso tra la verticale forza peso e il

prolungamento del filo, sono angoli corrispondenti delle due rette parallele verticali tagliate dalla

trasversale filo. =

Quindi, posso scrivere lungo i versori radiali e tangenti. Lungo il versore radiale avrò:

è uguale alla massa per l'accelerazione lungo la direzione radiale, che è l'accelerazione centripeta

con L la lunghezza del filo, che sarà anche il raggio di questa circonferenza il cui arco è la

traiettoria della mia massettina. Adesso vi disegno le componenti in rosso della forza peso, prima

non l'avevo fatto è meglio che lo faccia:

l’altra

,

Una componente sarà e sarà la componente tangente che è però, come

vedete, è una componente che ha verso orario quindi lungo il versore tangenziale avremo:

Con l'accelerazione tangenziale che si può scrivere come segue:

Perché alfa è l'accelerazione angolare.

Quindi, come vedete, in questo problema si rispolvera tutto quello che abbiamo detto sul moto

circolare vario, perché c'è un'accelerazione tangenziale, e lo scriviamo in termini di variabili

angolari.

Questo perché? Perché noi dobbiamo descrivere il moto. Qua capite già perché non mi conviene

scegliere il sistema xy, perché non mi conviene usare questo sistema? Perché per descrivere il

moto in questo sistema avrei due equazioni y(t) e x(t), non mi conviene. Invece, se io scelgo il

sistema radiale-tangente, vedo che tutti gli spostamenti sono lungo il versore tangente, perché

lungo il versore radiale la massa non cambia posizione, è sempre L, la fune è inestensibile.

Quindi, tutti gli spostamenti sono lungo il versore tangente e, in particolare, posso studiare il

moto attraverso le variabili angolari quindi, attraverso l'angolo che la fune inestensibile (senza

Θ=0

massa) forma con la verticale. La verticale è la posizione di equilibrio, perché se io metto la

Θ=0

massa perfettamente verticale nella posizione la massa non si muoverà mai se io non la

spingo. Quindi solo sei io la sposto di un certo angolo lei oscillerà intorno a questa posizione di

Θ=0 che, quindi, viene chiamata posizione di equilibrio.

Quando faremo la trattazione, dalla settimana prossima, in termini di energia, vedrete appunto

Θ=0

che è la posizione di equilibrio stabile per il mio sistema. Analizzeremo le condizioni di

equilibrio in termini di energia. Θ(t). Θ=0

Quindi, per determinare il moto io devo determinare la Quindi, per determinare mi

nell’equazione del versore radiale c’è la T

conviene usare la seconda equazione perché che non

conosco. T non è una forza fissata, T dipenderà dalla posizione e dalla velocità quindi questa

un’unica

seconda equazione non mi conviene per risolvere il moto. Ma, d’altra parte dato che c'è

variabile, quindi, si dice che c'è un solo grado di libertà, devo determinare una sola variabile in

funzione del tempo. Io non ho bisogno di due equazioni, me ne basta una, in particolare, mi

conviene la seconda perché la seconda non contiene T. Quindi posso scrivere l'equazione in

questo modo qui

Notate che è estremamente importante ai fini del nostro discorso che il secondo termine abbia un

segno +. Quindi è estremamente importante che la forza e l'accelerazione abbiano segno opposto,

per cui, quando le porto nello stesso membro, qua viene più non viene meno, quindi, questo si

dice che deve essere una forza di richiamo che agisce sulla mia massa. Ma che significa questo?

Θ

Allora, ho ottenuto questa equazione. Questa equazione contiene attraverso il seno e contiene

Θ. Θ(t)

la derivata seconda di Un’equazione che contiene sia la funzione che le sue derivate, si

chiama equazione differenziale che farete in analisi 2. Dato che la derivata di ordine più alto è la

un’equazione

derivata seconda, questa è differenziale del secondo ordine. I coefficienti, quelli

che moltiplicano la funzione e le derivate, sono costanti e non c'è termine noto, cioè non c'è un

Θ

termine dove non compare e quindi si dice omogenea.

Θ(t), c’è ()

Il problema, però, qual è? Qua non c'è e questa equazione differenziale è

un'equazione trascendente, cioè, non ammette soluzione analitica, la potete solo risolvere al

calcolatore e io penso che o dopo il 25 o il semestre prossimo farete metodi di risoluzione

dell'equazione differenziale, il metodo di Runge-Kutta per esempio. Sono degli algoritmi

ottimizzati che vi permettono di risolvere al computer quest'equazione. Significa che voi non

che permette di esplicitare l’angolo in funzione del tempo,

avete una formula ma avete una

Θ

tabella di valori, per ogni t il valore numerico di e fate un bel grafico; quindi, è una soluzione

numerica, non è una soluzione analitica con un'equazione.

Allora, il pendolo semplice però è un sistema estremamente importante in fisica, è importante

avere una soluzione analitica e come facciamo ad avere la soluzione analitica? Si fa la cosiddetta

Θ

approssimazione di piccole oscillazioni, c