Lezioni, Meccanica

INDICE

• FORMULARIO PAG. 1
• VETTORI PAG. 5
• CINEMATICA PAG. 7
• MOTO IN UNA DIMENSIONE PAG. 8
• MOTO PROIETTILE PAG. 8
• MOTO ARMONICO PAG. 10
• MOTO CURVILINEO PAG. 10
• MOTO CIRCOLARE PAG. 11
• MOTO RELATIVO PAG. 12
• DINAMICA PAG. 14
• FORZA D'ATTRITO PAG. 15
• PIANO INCLINATO PAG. 16
• FORZA ELASTICA PAG. 16
• ATTRITO VISCOSO PAG. 17
• FORZE CENTRIPETE PAG. 17
• PENDOLI PAG. 18
• LAVORO ED ENERGIA PAG. 19
• MOMENTO ANGOLARE PAG. 23
• SISTEMI IN MOTO PAG. 24
• RELATIVITÀ PAG. 27
• SISTEMI PARTICELLE PAG. 32
• URTI PAG. 36
• SISTEMI DI FORZE PAG. 39
• CORPO RIGIDO PAG. 41
• MOTO DI ROTOLAMENTO PAG. 47
• FORZA GRAVITAZIONALE PAG. 51
• FLUIDI PAG. 57

Formulario

a = A_xi + A_yj + A_zk

|A| = √(A_x² + A_y² + A_z²)

c = ai + bj

(a_x + b_x)i + (a_y + b_y)j

V_m = Δs/Δt

v(t) = ∫_t₀^t a(t) dt + V₀ = a(t - t₀) + V₀

r(t) = ∫_t₀^t v(t) dt + r₀ = ∫_t₀^t ∫_t₀^t a(t) dt + V₀∫_t₀^t dt + r₀

a_x = dV/dt = dV_x/dt = -dV/dxv

a_xdx = vdv

∫_x0 ^xadx = ∫_v0 ^vvdv

a(x - x₀) = 1/2 (v² - v₀²)

Moto Parabolico

x = V_0xt + x₀

y = V_0yt - 1/2 at² + y₀

t = x/V_0x

y = V_0y/V_0xx = 1/2 a x²/V_0x²

Gittata

y = 0: V_0y/V_0xx - 1/2 a x²/V_0x² = x (1/2 a x/V_0x ± V_0y/V_0x)

h_max: t_s = V_0y/g y = V_0yt_s - 1/2 g t_s² = V_0y²/2g

Moto Armonico

x(t) = A sin(ωt + φ)

v(t) = dx/dt = -ωA cos(ωt + φ)

a(t) = -ω²A sin(ωt + φ)

OPERAZIONI TRA VETTORI

Due vettori sono uguali se hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso.

Due vettori sono opposti se hanno stesso modulo, stessa direzione e verso opposto.

ADDIZIONE

a + b = c

c = î (_ax + _bx) + ĵ (_ay + _by)

Le coordinate di c sono la somma delle coordinate dei vettori a e b

SOTTRAZIONE

a - b = a + (-b)

PRODOTTO SCALARE

a ⋅ b = c = |a| |b| cos α = b ⋅ a

Questo prodotto interessa i vettori standard detti inoltre vettori polari.

PRODOTTO VETTORIALE

a × b = c = |a| |b| sen α ṟ n̂ ≠ b × a

La direzione del vettore risultante è il piano individuato dagli altri due vettori, il verso si individua con la regola della mano destra.

Il prodotto vettoriale gode della proprietà distributiva:

εᴉʲᵏ (aᴵ ⋅ bᴶ) ⋅ εᴵʲₖ ₐʲ + εᴵʲ ₔʲ ₐʲ

Questo prodotto è proprio dei vettori detti assiali, questi vettori sono da tensori asimmetrici in secondo ordine ovvero sono indipendenti nello spazio da una matrice.

ai vettori stessi

il modulo di dl è approssimabile nel caso di circonferenza:

|dl| ~ rdα

per esempio: derivazione dei vettori r̂:

^d/_dt

di nuovo i r̂

^dl/_dt

di nuovo i r̂

^dv/_dt + |v|

ds =

1/

^dv/_dt =

+

v²/

tangenziale e normale (o centripeta).

con velocità = costante non d’

|ã| = √^{ã_t2 + ã_n2}

MOTO CIRCOLARE

x(t) = R cos θ(t)

y(t) = R sin θ(t)

nel moto circolare uniforme v è costante

ed essendo w = v/

dθ =

∫ wdt = wt + θ₀

(wt + θ₀)

il moto circolare uniforme si scompone in due moti armonici.

Piano inclinato

1. Piano liscio

_{FN P}cos_{ϴ N Fx P}cos_ϴ + _N = 0 _{Fy P}sin_ϴ

2. Piano non liscio

_FN + _{N Fa μs N Fd μd N}

Si ha un regime statico se: _{Fa PII μs N P}sin_{ϴ μs P}cos_{ϴ P}sin_{ϴ μs tanϴ}

Si ha un regime dinamico se: _{μd tanϴ Fa μd N μd}mgcos_{ϴ FD} mg sin_ϴ - _μdmgcos_ϴ a = _FD/m = g(sin_ϴ - _μdcos_ϴ)

Forza elastica

La forza elastica si può considerare unidimensionale _Fs = -k_x dove x è l'allungamento della molla rispetto alla sua lunghezza a riposo, k è una costante positiva il segno meno indica che la forza tende a riporta la molla a riposo. _aL = _F/_m = k_x/_m

Quando la molla tesa si lascia libera il suo estremo libero si muove in moto armonico: _aL = w₂ -w₂ ² _k/_m w₀ √ _k/_m

x = x₀ sin _Ω

Def: il lavoro compiuto lungo due diverse traiettorie che uniscono gli stessi due punti è lo stesso.

L_AB = L₁ + L₂

L_A = 0

L_A = L_B

∫_A^B F_d s = ∮_A F_d s²

Il lavoro dipende solo dai punti iniziale e finale, non dal percorso, poiché non dipende dal percorso possiamo scrivere:

L = f(b) - f(a) dove f è una funzione del singolo punto. Questa funzione è l'energia potenziale.

L = U_A - U_B

L = K_B - K_A = U_A - U_B

K_A + U_A = K_B + U_B

Se la forza è conservativa l'energia totale si conserva nel tempo.

Il teorema dell'energia cinetica vale per tutti i tipi di forze, in contrario del principio di conservazione dell'energia.

K_B - K_A = ∑ L_C + ∑ L_NC

K_B - K_A - U_A - U_B + ∑ L_NC

K_B + U_B = K_A + U_A + ∑ L_NC

Energia potenziale (forza peso)

U = mgh

Il corpo cade da A a B

L = ∫_a^b F F F = costante

L = -F ∫_rA^r_B d_s⁰ = -∫_rA^r_B F * s cosθ

S F (z_A - z₀) = mg(-z_B) = -ΔU