Lezioni, Fisica

FISICA

v_x = v . cos θ

v_y = v . sen θ

v = √(v_x² + v_y²)

ab = |a||b| . cos θ

a_x b_x = a . b . sen θ = c

(a_x + b_x)² + (a_y + b_y)² = c

a = c . sen α = c . cos β

a = b . tg α = b . ctg β

360° : 2π rad = 30° : x

x = (30° . 2π rad) / 360° = π/6 rad

y = e^x x = log_e y

Integrale Indefinito

∫f(x)dx = g(x) + K

g(x) = primitiva

f(x) = g'(x)

Integrale Definito

∫_a^b f(x) dx = area sotto f(x) in (a; b)

∫_a^b f(x) dx = [g(x)]_a^b = g(b) - g(a)

Es:

∫₀² 6x² dx = [6 · ¹/₃ x³]₀² = 6 · ¹/₃ 2³ - 0 = 2

∫₀² 3e^x dx = [3e^x]₀² = 3e² - 3e⁰ = 3e² - 3

∫_π/4^π/2 4 sin x dx = [4 cos x]_π/4^π/2 = 4 cos^π/₂ - 4 cos^π/₄ =

= 4 · √²/₂ - 4 cos^√/₄

∫₂^{10 1}/_x dx = [ln x]₂¹⁰ = ln 10 - ln 2 = ln ¹⁰/₂ = ln 5

EQUILIBRIO:

• STABILE: applico F₁, mi genera F₂ che fa tornare alla configurazione iniziale
• INSTABILE: applico F₁, mi genera F₂ che allontana dalla config. iniziale
• INDIFFERENTE: applico F e non si genera nessuna forza

Curva di potenziale applicabile a tutte le interazioni.

FORZA PESO:

P = mg

• g = accelerazione gravitazionale = 9,81 m/s²

FORZA NORMALE

P e N non sono azione/reazione.

N è sempre perpendicolare al piano.

• Piano orizzontale: |N| = |P| = mg
• Piano inclinato: |N| = |P_⊥| = mg cos θ

Componente P_// = mg sin θ

Genera un movimento con un'accelerazione pari a:

F_r = ma = P_// = m g sin θ → a = g sin θ

Forza Centripeta

È la forza che trattiene un corpo in una traiettoria circolare.

F⃗ = ma⃗ q_cn = v²/r = ω²r

F_cp = mv²/r

Forza Centrifuga

È una forza apparente e è dovuta all'assenza di forza centripeta.

Forza Elastica

È una forza di richiamo - la molla tende a tornare alla sua lunghezza. Lavoro nel regime lineare o di Hooke.

F⃗_e = -Kx

dove K = costante elastica della molla x = deformazione della molla

Il segno - indica che è opposta alla deformazione.

K si misura in N/m e varia da molla a molla.

La forza elastica che si esercita in un corpo è uguale alla deformazione x. È proporzionale alla deformazione x ma di verso opposto.

F = ma ⟹ a = F/m F = -Kx ⟹ a = -Kx/m

È un moto armonico con pulsazione ω

a(t) = (K/m)x

ω = √(K/m)

Moto Oscillatorio Vibratorio

Energia Meccanica

È l'energia totale.

Se su un corpo giocano solo forze conservative si può definire W e per il teorema dell'energia cinetica si ha:

L => ΔK = -ΔW → K_B - K_A = W_A - W_B

da cui risulta che W_A + K_A = W_B + K_B → E_A = E_B

Quindi E = W + K → energia meccanica totale di un corpo.

e se ci sono solo forze conservative

E = W + K = Costante

Ci può essere trasformazione di energia → passare da K a W e viceversa.

** (In montagna, riduce, bolle e così via)

Se ci sono anche forze non conservative

ΔK = L_tot = L_FC + L_FNC → L_FC = -ΔW

K_G - ΔW + L_FNC → L_FNC = ΔK + ΔW = K_G + K_A + W_B - W_A

perciò L_NC + K_A + W_A = K_B + W_B → un lavoro sempre negativo → forze dissipative come l'attrito o si ripone sempre → perdita di energia

Nei sistemi meccanici reali, intervengono sempre anche forze non conservative (ma spesso nei calcoli non le consideriamo).

SOLIDI ELASTICI

L'elasticità è un corpo e la capacità di ritornare alla configuraz. iniziale dopo aver subito una deformazione a seguito di forze esterne.

Quando si deforma un solido elastico insorgono spontaneamente delle forze interne che si oppongono alla deformazione e aumentano mano a mano col persistere della sollecitazione esterna. Quando si interrompe la sollecitazione esterna le forze interne riportano il corpo alla configurazione iniziale.

LEGGE di HOOKE

Lo SFORZO F/A = Y * Δl/l

σ = YE ed differente per ogni materiale.

La DEFORMAZIONE in una direzione si riflette anche sulle altre MA NON c'è compressione

Il VOLUME aumenta - diminuisce la densità

DEFORMAZIONE di STRUTTURE TUBULARI

come ad esempio le OSSA:

C'è un certo spessore e quindi un lato dell'osso è soggetto a TRAZIONE e uno a COMPRESSIONE

La COSTANTE di YOUNG (Y) è differente per la trazione e la compressione, specie il CARICO di ROTTURA, cioè lo SFORZO MASSIMO SOPPORTABILE, è differente - è minore per la trazione

→ La FRATTURA di un osso avviene dal lato in trazione.

DINAMICA dei FLUIDI

1. I FLUIDI vengono divisi in:

• FLUIDI IDEALI: sono fluidi NON DISSIPATIVI, cioè privi di VISCOSITA’, privi di attriti interni.
• Sono anche INCOMPRIMIBILI e si muovono con un MOTO IRROTAZIONALE -> gli elementi del fluido si ripetono in un processo senza ruotare su se stessi.
• e STAZIONARIO -> la velocità varia solo in funzione della POSIZIONE e non del TEMPO.
• FLUIDI REALI: sono VISCOSI e si cià vanno prendere in considerazione tutti gli effetti dovuti alla viscosità.

Si parla di MOTO LAMINARE -> le particelle si muovono lungo delle linee che scorrono le une sulle altre senza mescolarsi.

PORTATA di un FLUIDO

La PORTATA di un fluido (Q) è il VOLUME di fluido TRASPORTATO nella UNITA’ di TEMPO attraverso una sezione del condotto oppure l’area della sezione trasversale per la velocità.

Q = ΔV/Δt = S · Δx/Δt = S · v

Nel S.I. si misura m³/s

TEOREMA della PORTATA o di LEONARDO:

Se in un condotto non vi sono sorgenti o pozzi la PORTATA è COSTANTE in tutte le sezioni del condotto.

Q₁ = Q₂ → S₁·v₁ = S₂·v₂

• Se S₂ < S₁ allora v₂ > v₁.
• Se S₂ > S₁ allora v₂ < v₁.

La riduzione della sezione comporta un aumento di velocità e viceversa.

η = COEFFICIENTE di VISCOSITÀ

è caratteristico dei vari fluidi, per fluidi newtoniani è invariabile alla temperatura.

Nel S.I. si misura in Pa·s

Si usa molto anche il poise → 1 poise = 0,1 Pa·s

Alcuni η noti sono:

• Acqua = 1·10^-2 P = 1·10^-3 Pa·s
• Sangue = 2,7·10^-2 P = 2,7·10^-3 Pa·s

LEGGE di HAGEN-POISEUILLE

Da calcoli matematici si ottiene che la portata reale di un fluido con viscosità (η) che si muove di moto laminare è:

Q = πr⁴ Δp 8 η l

Dove:

• r = raggio del condotto cilindrico
• l = lunghezza del condotto
• Δp = differenza di pressione gli estremi
• η = viscosità

RESISTENZA IDRAULICA

Poiché R = Δp Q dalla LEGGE di HAGEN-POISEUILLE si ha che:

R = 8ηl πr⁴

- CONDOTTI in SERIE → R_TOT = ΣR_i

- CONDOTTI in PARALLELO → 1 R_TOT = Σ 1 R_i