Eserciziario di Analisi 1

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

19 2

x

λ(x) = −

9x 36

4.1.3

Studiare la convergenza della serie seguente: ∞ 3 k

−

(2x 7)

X k

(k + 2) 9

k=0

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Convergenza

Semplice Graf ico di λ(x)

1 3

−

2x 7

λ(x) = 9

4.1.4

Studiare la convergenza della serie seguente: √

∞ k

(1 + x) 1 + kx

X k

−

(2 x)

k=1

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

20 x +1

λ(x) = −

2 x

4.1.5

Studiare la convergenza della serie seguente: ∞ k

(1 + x) (1 + kx)

X 2 k

(1 + x )

k=1

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

x +1

λ(x) = 2

x + 1

4.1.6

Studiare la convergenza della serie seguente: ∞ −k

k −

x (2 x)

X 2

(1 + k )

k=1

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

21 x

λ(x) = −

2 x

4.1.7

Studiare la convergenza della serie seguente: ∞ k

(2 + x)

X 3 k

−

(1 + k ) (1 x)

k=1

Convergenza Convergenza N on

Convergenza

Assoluta Semplice Graf ico di λ(x)

x +2

λ(x) = −

1 x

4.1.8

Studiare la convergenza della serie seguente: ∞ kx

e

X x k

−

(1 + k) (1 e )

k=1 Convergenza

Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

22 x

e

λ(x) = x

−

1 e

4.1.9

Studiare la convergenza della serie seguente: ∞ k

(2 + x)

X 2 k

−

(1 + k ) (x 4)

k=1

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

x +2

λ(x) = −

x 4

4.1.10

Studiare la convergenza della serie seguente: ∞ k

(ln x)

X k k

1 + 2

k=1

Convergenza Convergenza N on

Convergenza

Assoluta Semplice Graf ico di λ(x)

23 ln (x)

λ(x) = 2

4.1.11

Studiare la convergenza della seguente serie seguente.

√

∞ k

−

x 1

1+ 2+ k

X 2

3 + k x

k=0

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

−

x 1

λ(x) = x

4.1.12

Studiare la convergenza della serie seguente: k

∞

2 −

x 4

X √ ≥

x 0

k k

3 x (x + k 2)

k=1

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

24 2 −

x 4

λ(x) = 3x

4.1.13

Studiare la convergenza della serie seguente: ∞ k

x −

(e 1 )

X √

k

e 2 k + 1

k=0

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

x −

e 1

λ(x) = e

4.1.14

Studiare la convergenza della serie seguente: ∞ k

x

X 2 k

−

(k + 2) (x 2)

k=1 Convergenza

Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

25 x

λ(x) = −

x 2

4.1.15

Studiare la convergenza della serie seguente: √

∞ k

x

X k

(5 + 2k) (4 + x)

k=1

Convergenza Convergenza N on

Convergenza

Assoluta Semplice Graf ico di λ(x)

√ x

λ(x) = x +4

4.1.16

Studiare la convergenza della serie seguente: ∞ 3 k

−

(1 x )

X k

k 3

k=1

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

26

1 3

−

λ(x) = 1 x

3

4.1.17

Studiare la convergenza della serie seguente:

∞ k

−

(1 2 sin(x))

X ∈

x [−π, π]

k (k + 2)

k=1 Convergenza

Convergenza N on

Convergenza

Semplice

Assoluta Graf ico di λ(x)

−

λ(x) = 1 2 sin(x)

4.1.18

Studiare la convergenza della serie seguente:

∞ k

(1 + 2 cos(x))

X ∈

x [−π, π]

2k + 3

k=1

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

27

λ(x) = 1 + 2 cos x

4.1.19

Determinare i valori del parametro per i quali la serie:

x +∞ k

−

x(x 10)

1

X ln (2k) 25

k=0

converge assolutamente, converge semplicemente e non converge.

Convergenza Convergenza N on

Assoluta Semplice Convergenza Graf ico di λ(x)

1 −

λ(x) = (x 10)x

25

28

Capitolo 5

Equazioni differenziali

5.1 ODE del primo ordine, variabili separabili

5.1.1

Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

0

y (t) = tang (y(t))

5.2 Problema di Cauchy

5.2.1

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale: 0

−

(t 3) y = 2y

Calcolare inoltre la soluzione particolare che soddisfa le condizioni iniziali:

−4

y(−1) =

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.2.2

Risolvere il problema di Cauchy seguente: 0

y (t) = t y(t)

y(−2) = 1

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.2.3

Assegnata l’equazione differenziale: 2

−

(y 2)

0

y (t) = 3

(t + 3)

calcolare l’integrale generale e l’integrale particolare che soddisfa la condizione

−2

y(−1) =

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

29

5.2.4

Calcolare l’integrale generale dell’equazione differenziale e risolvere il problema di Cauchy seguenti:

1

0 √

y (t) = 3

3 t y

y (1) = 2

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.2.5

Assegnata l’equazione differenziale: y

e

0

y = 2

1 + t

calcolare il suo integrale generale.

Determinare inoltre la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale:

y(0) = 1

Integrale P roblema =

= Cauchy

Generale

5.2.6

Calcolare l’integrale generale dell’equazione differenziale e risolvere il problema di Cauchy seguenti:

1

0 √

y (t) = 3

3 t y

y (1) = 2

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.2.7

Assegnato il Problema di Cauchy: 0 2

−

y (t) = (2t 1) (1 + y )

√

y(1) = 3

calcolare l’integrale generale dell’equazione differenziale e la soluzione del problema di Cauchy.

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.2.8

Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale e la soluzione del problema di Cauchy:

2

1 y + 1

0 √

y (t) = , y(−1) = 1

2 t +1

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

30

5.2.9

Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale e la soluzione del problema di Cauchy:

y

e

0 √ , y(3) = 0

y (t) = t +1

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.2.10

Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale e la soluzione del problema di Cauchy:

0 −y

2

y (t) = t e

y(−1) = 0

Integrale P roblema =

= Cauchy

Generale

5.2.11

Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale e calcolare la soluzione particolare del seguente problema

di Cauchy: t

0

y (t) = 2(1 + 2y)

−3

y(2) =

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.2.12

Risolvere il seguente problema di Cauchy: √ y

0 y(1) = 9

y (t) = 6 2

(2 + t)

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.2.13

Risolvere il seguente problema di Cauchy:

0 2

− −3

y (t) = (2 + t) (y 1) y(0) =

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.2.14

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale: 0

−

(t 3) y = 2y

Calcolare inoltre la soluzione particolare che soddisfa le condizioni iniziali:

−4

y(−1) =

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

31

5.3 ODE del primo ordine, lineari, coefficienti variabili

5.3.1

Calcolare l’integrale generale dell’equazione differenziale seguente:

0 2t

−

y ty = e

e risolvere il Problema di Cauchy formato dall’equazione differenziale e dalle condizioni iniziali seguenti:

0

y (−1) = 0

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.3.2

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale: 0

−

(t 3) y = 2y

Calcolare inoltre la soluzione particolare che soddisfa le condizioni iniziali:

−4

y(−1) =

Integrale P roblema =

= Cauchy

Generale

5.3.3

Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

1 2

0 t

−

y (t) (1 + t) y(t) = e

2 Integrale =

Generale

5.3.4

Assegnata l’equazione differenziale: 0 − −

sin(t) y (t) cos(t) y(t) = cos(t)

calcolare il suo integrale generale. Integrale =

Generale

5.3.5

Assegnata l’equazione differenziale: 0 t

− −

t y (t) 2 y(t) = e (t 2)

calcolare il suo integrale generale. Integrale =

Generale

32

5.3.6

Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

0

2 −

t y (t) y(t) = 1

Integrale =

Generale

5.3.7

Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

2

0 2

−

−

y y(t) = 1 t

(t) 1+ t Integrale =

Generale

5.3.8

Calcolare l’integrale generale dell’equazione differenziale seguente:

1 0 2 2 3

− −

y (t) 2 t y(t) = 2 t (1 2t )

3 Integrale =

Generale

5.3.9

Calcolare l’integrale generale dell’equazione differenziale seguente:

1 0 2 2 3

− −2 −

y (t) t y(t) = t (1 t )

3 Integrale =

Generale

5.4 Problema di Cauchy

5.4.1

Assegnata l’equazione differenziale: 2

0 −(1/2)t

y (t) + t y(t) = exp

calcolare il suo integrale generale.

Individuare poi la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale:

−1

y(0) =

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

5.4.2

Calcolare l’integrale generale e la soluzione del problema di Cauchy seguente:

0 t

ty + y = e

y(1) = 0

Integrale P roblema

= =

Generale Cauchy

33

5.4.3

Calcolare l’integrale generale dell’equazione differenziale e risolvere il problema di Cauchy.

1

0