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A
Y (f ) = F (1 + cos(4πf t)) = (δ(f ) + δ(f − 2f ) + δ(f + 2f )).
0 0 0
2 2 2 2
Applicando la formula della modulazione si ottiene:
1 −jπ/4 jπ/4
(Y (f − 3f )e + Y (f + 3f )e ).
X(f ) = 0 0
2
Lo spettro di Fourier è dunque composto da una parte reale ed una parte
immaginaria: √ 2
R{X(f )} = (Y (f − 3f ) + Y (f + 3f )),
0 0
4
√ 2
I{X(f )} = (−Y (f − 3f ) + Y (f + 3f )),
0 0
4
La densità spettrale di potenza è:
2 1 1
A ³
S (f ) = δ(f + 5f ) + δ(f + 3f ) + δ(f + f ) +
x 0 0 0
16 4 4
1 1 ´
+ δ(f − f ) + δ(f − 3f ) + δ(f − 5f ) .
0 0 0
4 4
La fondamentale è la sinusoide a frequenza f , la terza armonica quella a
0 2
frequenza 3f . La potenza della fondamentale è A /32, quella della terza
0
2
armonica è A /8. Il rapporto tra le potenze della fondamentale e della terza
armonica è 1/4, cioè −6 dB. 9
Y(f)
A/2
A/4 A/4 f
-2f 2f
0 0
Re{X(f)}
2A/8 2A/8
2A/16 2A/16 2A/16 2A/16
-5f -3f -f f 3f 5f f
0 0 0 0 0 0
Im{X(f)}
2A/8
2A/16 2A/16 f 3f 5f
0 0 0 f
-5f -3f -f
0 0 0 2A/16 2A/16
2A/8
10
1.2 Trasformata di Fourier
1.2.1 Esercizio 5
Sia dato il segnale à ! 2
sen(4πt) 2
x(t) = 8 = 8sinc (4t)
4πt
e il segnale à !
∞ t − kT
X rect
c(t) = ,
τ
k=−∞
treno di impulsi rettangolari di durata τ , ripetuti con passo T .
Determinare la trasformata di Fourier del segnale
y(t) = x(t)c(t)
e del segnale z(t) = x(t)[c(t) − 1/2] ,
con τ = 0.05 sec e T = 0.1 sec.
È possibile ricostruire il segnale x(t) dal segnale y(t)? Se si, come?
Soluzione
La trasformata di Fourier di x(t) è: # Ã !
" f
|f | rect ,
X(f ) = 2 1 − 4 8
la trasformata del segnale treno di rettangoli è data, applicando la relazione
di campionamento in frequenza, da
C(f ) = F[c(t)] ¶¸ µ ¶
· µ
1 t i
X
= δ f −
F rect
T τ T
i
∞ µ ¶ µ ¶
τ iτ i
X sinc
= δ f − .
T T T
i=−∞
Applicando la proprietà di moltiplicazione nel tempo, la trasformata di y(t)
vale Y (f ) = X(f ) ⊗ C(f )
11 ¶ µ ¶
µ
τ i
iτ
X
= sinc X f −
T T T
i µ ¶ µ ¶
i
1 i
X
= sinc X f − .
2 2 0.1
i
Il segnale x(t) si può ricostruire perfettamente filtrando y(t) con un filtro
passabasso ideale con guadagno 2 e frequenza di taglio compresa tra 4Hz e
6Hz, poiche’ le repliche in frequenza non si sovrappongono.
Infine la trasformata di z(t) vale: 1 1
Z(f ) = X(f ) ⊗ [C(f ) − δ(f )] = Y (f ) − X(f ) ,
2 2
che è uguale a Y (f ) a cui viene tolta la replica centrata in f = 0, cioé
µ ¶ µ ¶
i i
1 X X f − sinc .
Z(f ) = 2 0.1 2
i6 =0 12
1.2.2 Esercizio 6
Data la trasformata di z(t) = sgn(t), 1 ,
Z(f ) = F[sgn(t)] = jπf
e definita la funzione x(t) come 1 1
x(t) = s(t) ⊗ ⊗ ,
πt πt
ove ⊗ indica la convoluzione,
dimostrare che, per ogni funzione s(t), vale l’uguaglianza
x(t) = −s(t),
a meno di una eventuale componente continua.
sgn(t)
1 t
-1
Soluzione
Utilizzando la proprietà di dualitá della trasformata,
Z(f ) = F[z(t)] 7→ z(−f ) = F[Z(t)],
applicata alla coppia 1 ,
z(t) = sgn(t) ⇐⇒ Z(f ) = jπf
si ottiene 1
F[ ] = sgn(−f ) = −sgn(f ),
jπt 13
da cui · ¸
1
F = −jsgn(f ).
πt
Applicando ora la proprieta’ di convoluzione nel tempo della trasformata, si
ricava 1
1 2
⊗ ] = F[s(t)](−jsgn(f )) = −S(f ),
X(f ) = F[s(t) ⊗ jπt jπt
cioè x(t) = −s(t).
Se s(t) ha componente continua non nulla, cioé se S(0) 6 = 0, allora x(t)
risulta con componente continua nulla, poiché la funzione sgn(f ) vale zero
nell’origine. 14
1.2.3 Esercizio 7
Si considerino le convoluzioni p(t) = g(t) ⊗ v(t)
e u(t) = g(t) ⊗ v(−t).
Che condizione deve essere soddisfatta da g(t) affinchè sia u(t) = p(−t)?
Soluzione
Esiste una soluzione banale dell’esercizio: infatti, se vale
p(t) = g(t) ⊗ v(t),
allora vale anche p(−t) = g(−t) ⊗ v(−t),
µ ¶
Z Z
p(−t) = g(τ )v(−t − τ )dτ = [α = t + τ ] = g(α − t)v(−α)dα = g(−t) ⊗ v(−t)
da cui risulta che la condizione richiesta e’
g(t) = g(−t),
cioe’ g(t) deve essere pari.
Si puo’ arrivare allo stesso risultato ragionando nel dominio delle frequenze:
applicando la proprietà di riflessione
F[v(−t)] = V (−f ),
le ipotesi sono P (f ) = G(f )V (f ),
U (f ) = G(f )V (−f ).
Affinché sia P (−f ) = U (f ),
deve essere G(f ) = G(−f ), cioe’ si ritrova la condizione
g(t) = g(−t).
15
1.2.4 Esercizio 8
Si consideri il segnale periodico
∞
X i 2
(−1) Asinc (2Bt − 2i + 1).
x(t) = i=−∞
Determinare lo sviluppo in serie di Fourier.
Soluzione
Il segnale può essere visto come somma di due segnali periodici, il primo
costruito sulle i pari, il secondo sulle i dispari. Ognuno dei due ha periodo
2/B, quindi la loro somma ha periodo 2/B. Lo sviluppo in serie si ottiene dal
campionamento in frequenza con passo B/2. Si applica pertanto la formula:
∞
∞ µ
¶ ¶ µ ¶
µ iB
B iB
2i X
X −1 Y
= F δ f − ,
y t −
x(t) =
B 2 2 2
i=−∞
i=−∞
con ¶¶ ¶¶
µ µ
µ µ 1
1 2
2 − Asinc ,
2B t −
y(t) = Asinc 2B t + 2B 2B
à ! à !
A |f | f jπf jπf
−
Y (f ) = F[y(t)] = 1 − rect (e − e ),
B B
2B 2B 4B 2
ove si sono usate le tavole delle trasformate notevoli per il sinc (·) e si è usato
anche il teorema del ritardo. Utilizzando questa formula nel campionamento
in frequenza si ottiene: Ã !
∞ µ ¶ µ ¶ µ ¶
|i| i iπ iB
jA X 1 − rect sin δ f − .
X(f ) = 2 4 8 2 2
i=−∞
Antitrasformando si ottiene lo sviluppo in serie cercato:
3A A
x(t) = − sin(πBt) + sin(3πBt).
4 4
16
1.2.5 Esercizio 9 (solo testo)
Dato il segnale t ),
x(t) = At rect( T
si costruisca il segnale periodico X i
y(t) = A + (−1) x(t − iT ).
i
Disegnare il segnale y(t). Determinare il periodo, lo sviluppo in serie di Fouri-
er e la densita’ spettrale di potenza di y(t). Disegnare lo spettro di Fourier
di y(t). Determinare inoltre la potenza della continua e della fondamentale,
ed il rapporto tra le due potenze in dB.
1.2.6 Esercizio 10 (solo testo)
Dato il segnale t
x(t) = rect( ),
T
si costruisca il segnale periodico X x(t − i2T − T /2).
y(t) = A + B i
Disegnare il segnale y(t). Disegnare lo spettro di Fourier di y(t) e la sua den-
sita’ spettrale di potenza. In ogni disegno si indichino chiaramente ascissa,
ordinata, ed i valori ritenuti di interesse.
1.2.7 Esercizio 11 (solo testo)
Si consideri il segnale periodico ∞ t − i2T
X i ).
(−1) Arect(
x(t) = A + τ
i=−∞
Determinare il periodo, lo sviluppo in serie di Fourier e la densita’ spettrale
di potenza di x(t). Determinare inoltre la potenza della continua e della
fondamentale. Per i valori τ = 2T e A = 1, calcolare il rapporto tra le due
potenze in dB. 17
1.2.8 Esercizio 12 (solo testo)
Si consideri il segnale periodico 3t − iT
t − iT X
X i
i (−1) rect(
) + ).
(−1) rect(
y(t) = T T
i
i
Disegnare il segnale. Determinare il periodo. Determinare la potenza delle
prime due armoniche non nulle ed il rapporto tra le potenze in dB.
1.2.9 Esercizio 13 (solo testo)
Dato il segnale t
x(t) = rect( ),
T
si costruisca il segnale periodico
πt X i
) + (−1) x(t − iT ).
y(t) = cos( T i
Disegnare il segnale y(t). Disegnare lo spettro di Fourier di y(t) e la sua den-
sita’ spettrale di potenza. In ogni disegno si indichino chiaramente ascissa,
ordinata, ed i valori ritenuti di interesse. Determinare la potenza del segnale
alla seconda cifra decimale.
1.2.10 Esercizio 14 (solo testo)
Si consideri il segnale periodico 3t − i6T
t − iT X
X i ) − ).
y(t) = rect(
(−1) rect( T T
i
i
Disegnare il segnale. Determinare il periodo. Determinare la potenza della
continua e della fondamentale ed il rapporto tra la potenza della continua e
della fondamentale in dB. 18
1.2.11 Esercizio 15 (solo testo)
Si consideri il segnale periodico
X X
i
y(t) = A − (−1) x (t − iT ) + x (t − iT ),
1 2
i i
ove x (t) e x (t) sono noti ed hanno trasformate di Fourier X (f ) ed X (f ).
1 2 1 2
Determinare l’ espansione in serie di Fourier di y(t) in funzione di A, X (f )
1
e X (f ). Determinare la potenza della continua e della fondamentale.
2
1.2.12 Esercizio 16 (solo testo)
Si consideri il segnale periodico ∞ t − i2T
X i ).
(−1) Arect(
x(t) = A + τ
i=−∞
Determinare il periodo, lo sviluppo in serie di Fourier e la densita’ spettrale
di potenza di x(t). Determinare inoltre la potenza della continua e della
fondamentale, ed il rapporto tra le due potenze in dB per τ = 2T e A = 1.
19
1.3 Segnali e sistemi a tempo continuo
1.3.1 Esercizio 17
Sono disponibili i seguenti risultati di prove in regime sinusoidale di un
sistema lineare invariante nel tempo:
ingresso: x(t) = cos(2πf t),
uscita: y(t) = cos(2πf t + α(f )),
dove α(f ) é la funzione rappresentata in figura.
α( )
f
π f
2000 3000
1000
−π
Determinare la risposta impulsiva del sistema.
Soluzione
In generale data la risposta in frequenza H(f ) di un sistema lineare
tempo-invariante, la risposta del sistema all’ingresso sinusoidale
x(t) = cos(2πf t)
vale H(f )).
y(t) = |H(f )|cos(2πf t + 6
In quest
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