Eserciziario Analisi 2

DETERMINANTE

A = ^{0 3 -1}           1 0 1           0 1 1

0 - 3(1) + 1 = -2

A = ^{1 2}_{- 2 1}           1 2           2 1

2-(-2)=3 A =12-6=6 t A t t t 2 6t s A s s t A t s 6t t t A b t 0

3) SIANO ^{2 0 3} _3.1           0 - 2 0

a)|A|=|A| ^{T T} b)|3*4| c)|B| 2 |1| -

d) |A|=2-3*1

b) A 3 ^{1 0 -3} _{-2 3 -1} c)|B|1 3-2-|-

CALCOLO MATRICE INVERSA

A = ^{1 1 1} _{2 3}    0 1 1

t t

A^-1= t A³ -1       0 - 2 1

C 2 C 3 ^{-1 - 1} _{A - 1}           1 -2           0 1

RANGO DI A:

A = ^{1/2 3 1 -1}           6 2 0 -2

t(A)=2

(3X-8X-2K-1-(

8(X-1)(X-1)=8(X-1)(X-1) r(A)=3 s -equ_{f 1}

(X+1=y) 1 2 0 0 0 3 0 0

(x+1=y) 5 0 0 0

Studio invertibilità

Per k ∈ ℝ

Invertebile sse |A| ≠ 0

Per k = 3

Sistemi Lineari

1)

• 3x + 4y = 0
• 2y + 5z= -1
• z = 1

Riduco

(1(A) - (1/1AB)) - 1 sol.

x = -1

4y = 3

z = 1

2)

• x + 2y + z = 3
• 2x + 2y - z = 1
• 2x + 3y + z/2 = 9/2

Soluzione unica

[x = 2

4 y = 5/2

z = 6

3)

• 4 + 2z = 0
• 2x + 2y + 4z = 2
• x + 2y + 4z = 1
• -2x - 4 - 2z = -2

2 ∗ 2 - non esistono soluzioni

x = 2t + t

y = - 2t

z = t

Soluzione del tipo:

v_P + t v_C

4)

• 2x + 2y - 2z - 2w = 5
• -x + 2 + 2w = 0
• -x - 24 + 2w = 2
• 5w = 2

Non esistono soluzioni

5)

• 1 x + 4 + o 2 = 4

R^-1 = α' soluzione

APPROVA l lN EA RE RISPE TO A B.

0 l IN (8) FE l (8)

CON V ERt0 tHE { x₁ , x₂ , x₃ } E BASE

SCRI VO A C H E RAPPRESENTA B RISPE RIG A B.

AUTOVALORI - AUTOVETTORI

1) PER QU A L I V ALORI Dl M I = {l , W, 0} E

AUTOVETTORE DELL A MRtRCE [ 32 ]

PER T AL l NVOC RI CAVO AUTOVE T T0RE C ORRISP OND ENTE.

2)V ALORI DI R E DI CU l I (O₁₁ ) E

UN AUTOVE TTORE DI [0C0]

STABI LIR E SE LMRIRC E [ 34 ]

E D IOG NALIZZ AB ILE E

TROVARE UN A BASE FORMA

DA V ETTORI DI A.

MONCR e)iA L ALGEBRICA E GE METRI CI NON COlNClD ONO^G U M MRiCR NON E DlMOGN ULIZZ AB l LE.

12)

4y^\" - 24y\' + 64y = 216 e^x - 16x²

Omonogenea: λ² - 8λ + 16 = 0   λ_1,2 = 4 (molteplicità 2)

y_cm = Ae^4x + Bxe^4x

Particolare: 216/e^x - 16x² = C(1 + x)

4C + CP(2C) + Cx = C(1 + C)

2Cx + 16Cx = 1

0 = 4P - 1

D = -2

13)

4y^\" - 5y\' + 4y = 4e^x

Omonogenea: λ² - 5λ + 4 = 0   λ₁ = 4   λ₂ = 1

y_cm = Ae^4x + Be^x

Particolare: 4e^x + 2C(1 + x)

4P = (C)

1P + D = C

| C = 1

| 4P = 1/x(1 + x)

14)

4y^\" - 9y\' = 2y(1 - x)

Integrale generale

y = Acos3x + Bcos3x + x²

15)

y^\" - 3y\' + 5y = 3e^x

Omonogenea: λ² - 3λ + 2 = 0   y_cm = Acos3δt + Bcos3δt

Particolare: 3e^x3x = 0cos3x + cos3x)

| (1/2 x 3x)   x(1 - 3cos3x)

| (1/2) cos3

16)

(4)y^\" + y₁ = cosx

Omonogenea: λ² + x₁ + x = 0   λ = ± 2i

Particolare: cosx = 1

y_p = cosx

| cosx - (Br)cosx

3) Data la funzione:

0 se t < 0

1 se t > π

Sviluppo in serie di f.

f(t)=^b₀⁄₂ + ∑(a_n cos n t) + ∑(b_n sin n t)

Se g(x) ^b₀⁄₂ ∑(a_n cos n x)

g(x) converge in tutto il dominio.

4) g(x)=x

[-π, π]

Grafico - prolungamento dispari:

Sviluppo in serie.

Funzione dispari

5) g(x)=x

[0, π]

Grafico - prolungamento pari:

Sviluppo in serie.

Funzione pari

a) lim _{(x,y)→(0,0)} ^xy/_{(x⁴+y⁴+1)} non esiste.

Uso di L'Hopital

b) lim _{(x,y)→(4,4)} ^3x2+4y2/_{(x⁴+2y²)²} ← Coordinate polari R ρcosθ

d) lim _{(x,y)→(4,4)} ^x4y2/_x⁴+2y² ← Coordinate polari

e) lim _{(x,y)→(4,4)} (x+y)⁴(x−y)² → ∅

8f(x,y)=

• x⁴/y² per f(4,y)≠(0,c)
• 0 per f(4,y)=(0,c)

f(x,y) è continua

Derivare parzialmente:

• θ funzioni continua
• -l'algebra non è differenziabile
• Apprò formula: y cosθ

Funzione non è differenziabile

Esaminare parzialmente:

• y/x⁴ = funzione continua
• θ derivata parziale

8f(x,y)=

• x³/x²+y² per f(4,y)≠(c,c)
• 0 per f(4,y)=(c,c)

La funzione continua

Algebra y cosθ: θ derivata parziale

La funzione non differenziabile nel calcolo

8) g(x,y) = x³y⁴-y⁴x

x = c

x = c

y = ±√³√c

y = ±³√₂c²

6) g(x,y) = 3x⁴y + 6x√²-5x⁴

(3x - 5y = c)

y = c/3x

y = -9/20

x = -3/10

9) g(x,y) = x³y⁴-x²y²

y₄ = y²

y₂ = y³/2

y₄ = y⁴/2

H(P₃) = ^v1/₈6 < −12 < 0

Integrali Doppi

1. ∬₀^c (x+2y) dx dy   D: Triangolo

   • Vertici C(c,c) A(1,c) B(c,1)

   = ∫₀^c (∫_x² dy) dx = ∫₀^c (x+2x) dx = ∫₀^c 3x dx

   = ^3c2/₂ − 3c

2. ∬₀^c (e^x+y) dx dy   D: Triangolo

   • Vertici C(1,1) A(1,-1) B(1,-1)

   = ∫₀¹ e^x+y dy dx = 2(e − e^-1)

3. ∬_D xy dx dy   D: (1,x)⋲R²: y² ≤ 4x x ≤ 4y

   = ∫_c^d ∫ (x²- x³/2) dx dy

   = 6π/3

4. ∬_D x² dx dy   D: Cerchio raggio 1 centro (1,1)

   = 8/3