Eserciziario 1

M

destro del bue e la porta della stalla.

CAPITOLO 1. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE 15

Moto uniformemente accelerato

Es. 1 — Un razzo, partendo da fermo, viene lanciato verso l’alto con un’accelerazione costante

2

a = 4.21 m/s ; determinare

la distanza d percorsa dopo un tempo t = 3 s;

a) 1 1

b) l’istante t in cui ha percorso una distanza d = 50.0 m e quale è, in tale istante, la sua velocità v ;

2 2 2

c) quale distanza d deve percorrere per raggiungere la velocità v = 40 m/s.

3 3

Es. 2 — Una zavorra viene lasciata cadere da una mongolfiera ferma a 180 m di quota;

determinare quanto tempo impiega la zavorra ad arrivare a terra e qual è la sua velocità massima;

a)

b) una seconda zavorra viene spinta verso il basso; quale velocità v le viene impressa se giunge al suolo

0

in t = 4.5 s;

1

c) determinare la velocità con cui deve essere lanciata la zavorra perché impieghi t = 7 s per giungere

2

al suolo.

Es. 3 — Un atleta dei 100 metri piani corre per i primi 40.0 metri di moto uniformemente accelerato

raggiungendo una velocità v = 13.0 m/s e la mantiene costante negli ultimi 60.0 metri; determinare

a) la accelerazione nella prima parte del moto e il tempo totale t impiegato a correre i 100 metri;

b) la velocità media v tenuta dall’atleta sull’intero percorso;

m

c) l’accelerazione che avrebbe un atleta che percorresse tutti e 100 i metri di moto uniformemente

accelerato nel tempo t = 10.25 s.

Es. 4 — James Bond, mentre sta guidando la sua Aston Martin a velocità v = 25 m/s, trova un

0

messaggio del cattivo che lo informa che l’auto esploderà dopo 6 s; egli frena immediatamente e si ferma

dopo aver percorso lo spazio s = 50 m; tenendo conto che esce solo dopo che l’automobile si è fermata, e

che impiega 1 s ad uscire, stabilire se si salva.

Es. 5 — Due treni viaggiano lungo lo stesso binario rettilineo, diretti l’uno contro l’altro. I mac-

chinisti vengono avvisati del pericolo e iniziano a frenare contemporaneamente in un istante in cui i treni

sono distanti d = 400 m; sapendo che le velocità dei due treni sono v = 136.8 km/h e v = 162 km/h e

1 2

2

che i due treni frenano con la stessa decelerazione a = 4 m/s ,

a) verificare che i treni si scontrano;

b) determinare la distanza minima alla quale avrebbero dovuto cominciare a frenare per evitare lo

scontro;

c) determinare le velocità dei treni al momento dello scontro.

Es. 6 — Willy il Coyote si accorge di avere un burrone davanti a sé a una distanza D = 25 m.

Sapendo che stava correndo alla velocità v = 27 km/h e che inizia a rallentare con una decelerazione

0

2

a = 1.15 m/s

verificare che si ferma prima di cadere, determinando l’istante t e la distanza d dal bordo del burrone;

a)

b) determinare l’accelerazione necessaria a fermarsi in dopo aver percorso s = 20 m.

Es. 7 — Un tuffatore si lancia da un trampolino che si trova a h = 10 m dall’acqua spingendosi

verso l’alto con una velocità v = 2.1 m/s; determinare

0

a) il tempo di durata del tuffo e la velocità con cui il tuffatore raggiunge l’acqua;

la velocità media del tuffatore durante il tuffo.

b)

Es. 8 — Un tuffatore si lancia da un trampolino che si trova a h = 5 m dall’acqua; determinare

16 CAPITOLO 1. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

a) la velocità iniziale con cui deve spingersi se vuole che il suo tuffo duri t = 1.2 s;

b) la velocità iniziale con cui deve spingersi se vuole arrivare in acqua con velocità v = 11 m/s; la durata

t del tuffo in questo caso.

1

Es. 9 — Batman sta salendo appeso alla corda di un montacarichi con velocità uniforme v =

2.0 m/s; nel momento in cui si trova a h = 10 m da terra un cattivo lancia verticalmente una freccia

avvelenata verso di lui, da terra, con velocità iniziale v = 15 m/s;

0

a) verificare che Batman non viene colpito;

b) determinare la velocità iniziale minima che deve avere la freccia perché Batman venga colpito.

Es. 10 — La palla 1 viene lanciata verticalmente dal suolo verso l’alto con una velocità iniziale

v = 8.2 m/s; simultaneamente la palla 2 viene lasciata cadere dall’altezza H = 6.0 m verso la palla 1;

0

determinare

a) in quale istante e a che altezza le palle si scontrano;

b) se le palle si scontrano prima o dopo che la 1 abbia raggiunto la massima altezza della sua traiettoria;

come cambia la risposta alla domanda a) se la palla 2 viene spinta verso il basso con una v = 1.4 m/s.

c)

Es. 11 — Un collaudatore di auto da corsa partendo da fermo percorre il primo tratto x = 500 m

1

di moto uniformemente accelerato raggiungendo la velocità v = 65 m/s, che mantiene per il secondo

tratto x = 400 m, poi frena e si ferma percorrendo di moto uniformemente decelerato il terzo tratto

2

x = 400 m; determinare

3 a) quanto tempo dura il moto;

b) la velocità v che dovrebbe avere un secondo pilota per percorrere la stessa distanza nello stesso

1

tempo di moto rettilineo uniforme.

Es. 12 — Per misurare la profondità di una cavità viene lasciato cadere, all’istante t = 0 s, un

0

sasso verso il fondo e si registra l’arrivo del suono del sasso che sbatte sul fondo all’istante t = 8.16 s;

sapendo che la velocità del suono in aria è v = 343.21 m/s, determinare la profondità h della cavità.

s

Es. 13 — Una motocicletta parte al verde di un semaforo muovendosi con accelerazione costante

2

a = 1.2 m/s ; determinare in quale istante la motocicletta ha attraversato l’incrocio largo d = 11 m e

qual’è la sua velocità v in tale istante.

Es. 14 — L’automobile A viaggia in autostrada alla velocità costante v = 30 m/s; nell’istante in

A

cui passa davanti all’uscita di un’area di servizio, una motocicletta, dopo il rifornimento di carburante,

v = 2 m/s; determinare quale accelerazione

si riimmette in autostrada alla velocità alla velocità iniziale M

costante deve mantenere la motocicletta per raggiungere l’automobile dopo aver percorso la distanza

d = 4.5 km.

Es. 15 — Un punto materiale viene messo in movimento con una velocità iniziale v = 2.31 m/s

0

d = 56.3 m nel tempo t = 10.4 s,

e di moto uniformemente accelerato; sapendo che percorre la distanza

determinare l’accelerazione a e la velocità finale v(t).

Es. 16 — Dimostrare che nel moto uniformemente accelerato la velocità media è uguale alla media

aritmetica della velocità iniziale e della velocità finale.

Es. 17 — Un punto materiale viene messo in movimento con velocità iniziale v = 3.25 m/s e di

0

moto uniformemente accelerato; sapendo che dopo aver percorso la distanza d = 124 m la sua velocità è

v = 42.7 m/s, determinare l’accelerazione a ed il tempo impiegato t.

CAPITOLO 1. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE 17

Es. 18 — Se un’automobile viaggia ad una velocità costante v = 50 km/h quando la vettura

0

davanti ad essa frena improvvisamente; supponendo che il tempo di reazione del guidatore sia t = 0.8 s

r

2

e che il valore dell’accelerazione durante la frenata sia costante e valga a = 3.2 m/s , determinare la

distanza D percorsa prima di arrestarsi.

− 3

Es. 19 — Un punto materiale si muove con legge del moto x(t) = 2 + 3t t determinarne la

velocità istantanea al generico istante t

Es. 20 — Un punto materiale viene lanciato verticalmente da terra con velocità iniziale v =

0

19.4 m/s; determinare in quale istante si trova ad un’altezza h = 15.2 m dal suolo e qual’è la velocità in

tale istante.

Es. 21 — Una fanciulla precipita dal tetto di un grattacelo alto H = 50 m; dopo il tempo di reazione

t = 0.8 s, Superman si getta al suo soccorso lasciandosi cadere con una velocità iniziale v = 12 m/s;

r 0

determinare il tempo t di caduta della fanciulla e a quale altezza h dal suolo Superman la raggiunge.

Es. 22 — Un fanciullo osserva un pietra cadere verticalmente attraverso un finestra alta h = 1.5 m;

egli misura il tempo t impiegato dalla pietra a percorrere lo spazio della finestra e trova t = 0.64 s

determinare a quale altezza H rispetto alla base della finestra è stata lasciata cadere la pietra.

Es. 23 — Un punto materiale viene lasciato cadere da una certa altezza con velocità iniziale nulla;

determinare quanto tempo t si deve attendere perché a partire da quell’istante il punto materiale percorra

uno spazio s = 20.0 m nel tempo τ = 0.5 s.

Es. 24 — Tre punti materiali vengono successivamente lasciati cadere da un’altezza h = 6 m con

un intervallo di tempo τ = 0.2 s fra una caduta e la successiva; determinare

a) l’intervallo di tempo ∆t fra due successivi arrivi al suolo;

b) la distanza h fra il secondo ed il terzo punto materiale quando il primo tocca terra.

1.2 Vettori

Se la traiettoria del moto non è una retta, la descrizione precedente y

non è sufficiente e occorre introdurre il concetto di vettore. Un vetto-

re è un oggetto matematico individuato da tre grandezze: un modulo,

o intensità, una direzione e un verso. Graficamente i vettori vengono A

A

y

rappresentati da frecce. Algebricamente, rispetto ad un sistema di α

assi cartesiani, sono rappresentati dalle loro componenti, come illu-

A è rappresentato dalle componenti

strato in figura in cui il vettore

A e A rispetto a due assi cartesiani e si scrive A = (A , A ). La

x y x y x

direzione ed il verso di un vettore sono convenzionalmente individua- A

x

ti dall’angolo α, detto anomalia, formato dal vettore stesso con la

direzione del semiasse positivo delle ascisse, come indicato in figura

1.4; valgono le relazioni: Figura 1.4: Componenti di

un vettore.

A = A cos α , A = A sen α .

x y A che unisce i

Un vettore è spesso denotato indicando i punti dei suoi estremi, per esempio il vettore

punti P e Q si può anche indicare con P Q. Il modulo del vettore si scrive

√

∥A∥ 2 2

A + A ;

A = = x y

18 CAPITOLO 1. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

per l’anomalia occorre fare attenzione e distinguere quattro casi:

 A

 y

 se A e A sono entrambe positive

arctg

 x y



 A

 x

 A

 ◦

 y

180 + arctg se A è negativa e A è positiva

x y

A

x

α =  A

 ◦ y

 180 + arctg se A e A sono entrambe negative

 x y

 A

 x



 A

 ◦ y

360 + arctg se A è positiva e A è negativa .

x y

A

x

1.2.1 Somma e differenza

Somma e differenza di vettori si possono rappresentare graficamente con il metodo del parallelogramma

o con il metodo punta-coda, illustrati, nel caso piano, nella figura 1.5, o algebricamente in termini delle

componenti