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3t - s = ℓ - i
6 - 5 = 1 - i
i = 0
θi = 45° , θF = ?
b = 200 mm , k = 3,2 kN/m
P = 50 N
Fee = k (s2 - s1) , x = b/2 sin θF
L2/2 = b cos θF
ΣMA = Fel b/2 sin θF − P L2/2 = k (s2 - s1) b/2 sin θF . b cos θF = 0
k (s2 - s1) b/2 sin θF = P b/2 cos θF
s2 - s1 = P/k cotg θF
s1 = 2 . b/2 cos θi
s2 = 2 . b/2 cos θF
b ( cos θF - cos θi ) = P/k cotg θF
b k (cos θF - cos θi) - ρ cotg θF = 0
⇔ 91.2 · 3200 (cos θF - √2/2) - 50 cotg θF = 0 ⇔
640/50 cos θF - 64/5 · √2/2 - cotg θF = 0 ⇔
12.8 cos θF - cotg θF - 9.05 = 0
Dopo iterazioni numeriche otteniamo θF ≅ 35°
⇔ Fel = k (S2 - S1) = k b (cos θF - cos θi) = 71.7 N
L2 = 2 b cos θF = 327.7 mm
ΔL = L2 - L1 = 2 b (cos θF - cos θi) = b di d2 mm
2
ΔT(x) = ΔT0 · x2/L2
vC = ?
Se tolgo l'incastro a destra e faccio allungare liberamente la trave vedo quanto è l'allungamento δ.
δ = α ∫ ΔT(x) dx = ∫ 0L α ΔT0 x2/L3 dx = 1/Lα ΔT0 L
dI = \frac{4 \, A_m^2}{\int \limits_e^E \frac{dc}{S}} = \frac{16}{\int \limits_0^{2\pi \cdot g} \frac{dc}{E} (a + 5)^{4}} = \frac{\pi \, S^{2} \, (a + 5)^{4}}{4 \cdot 2\pi \, g} =
= \frac{\pi}{4} (a - 5)(a + 5)^{3} = \frac{\pi}{4} \frac{(a - 5)(a + 5)}{2 \cdot 2\pi \cdot g} = \frac{\pi}{4} (a - 5)(a + 5)^{3} = c
dI = \frac{\pi}{4} (a - 5)(a + 5)^{3}
) con e = \frac{a - b}{4} ho uguale A_m , ma S ≠ cost. , ma varia su tutta la circonferenza.
\int \limits_e^E \frac{dc}{S}, S(\Theta = 0) = S_{\min} = \frac{3}{4} (a - 5)
S(\Theta = \pi) = S_{\max} = 2a - 2S - S_{\min} =
= 2a - 2S - \frac{3}{4} a + \frac{3}{4} b = \frac{5}{4} (a - 5)
\therefore S(\Theta) = S_{\min} + \frac{\Theta}{\pi} (S_{\max} - S_{\min}) = S_{\min} + \frac{\Theta}{\pi} \Delta S
\int \limits_e^E \frac{dc}{S} = \int \limits_0^{2\pi \cdot g} \frac{dc}{S} = \int \limits_0^{2\pi} \frac{gd\Theta}{S(\Theta)} = \int \limits_0^{2\pi} \frac{a + 5}{2} \frac{d\Theta}{S_{\min} + \frac{\Theta}{\pi} \Delta S} =
= \frac{a + 5}{2} \int \limits_0^{2\pi} \frac{d\Theta}{(S_{\min} - \frac{\pi}{\Delta S} + \Theta)} = \frac{a + 5}{2 \cdot \pi \cdot \Delta S} \int \limits_0^{2\pi} \frac{d\Theta}{c + \Theta} ,
= 4m ± √16 m2 - 12 m2 + 7,536 m2 = (4 ± 3,396) m =
= |7,396 m - x0,603 m| (perchè 0 < x < 2 m)
⇒ per far sì che non ho rottura dei due supporti devo imporre 0,603 m < x < 2 m.
σ = 107 ε1/1,4 MPa
Il Mf applicato mi da Emax = 0,02. Quanto vale Mf?
ε/2 * y = Emax : ε(y) ⇒
ε(y) = 0,02 y/ε/2 = 0,04 y/a
⇒ σ(y) = 107 (0,04 y/a)1/1,4 = 107 0,045/ε^1/1,4 * y1/1,4
= 50h + 754.560
= 10h + 3.900
2
S2(G'1) = 10 y1 ( l2 - y1 ) = 5y1 ( l1 - y1 )
(G'1)
τ(G'1) = Vy ⋅ Sz/Iz ⋅ t = Vy ⋅ Sz/Iz ⋅ 10.5 = Vy (y1 h - y12)/5Iz
y1 = l2/2
Vz(G'1)max = Vy ( l2 h - (h/2)) = Vy l2 h - Vy (l22
Iz3
τ(G'1) = τ(G'1) + Vy ⋅ Sz/Iz ⋅ t = τ(G'1) = const.
Sz(G''1) = 10 y1 ⋅ 0 = 0
Sz(G''1) = 10 y3 (50 - y3/2) = 500 y3 - 5 y32
(G''1)
τ(G''1) = Vy ⋅ Sz(G''1)/Iz ⋅ t = Vy ⋅ ( 100 y3 - y32 )/Iz ⋅ 2
(G''1)
∂τ(G''1)/∂ y3 = Vy/2Iz ( 100 - 2y3 ) = 0 ↵ y3 = 50
τ(G''1)max = Vy/2Iz ( 100 ⋅ 50 - 2500 ) = 1250 Vy/Iz
σmax = σE (y0 80/2) = Mmax: 80/2/Iz = 133,9 < Mpa
τE = τE + τE = 121,5 Mpa
τE = 3/20 Vy/IB = 5,36 Mpa
Mt = t (le 80/2) = 148,6 Nm
θ = Mt/Gζ
τMt = 2Gθ S/Z = θ Mt./Gζ S = Mt.S/ζ
ζ = 1/3 ∫ ζ3de = 1/3 . S3 . (80-3) = 5120 mm4
σE = zetaz/ζ . S = 116,1 Mpa
σid = √ζ2 + 3 τ2 = 249,14 Mpa (V.M.)
SF = ζ / σid = 1,144
Eσpose = 110 GPa
e = 12 mm
L = ?
δmax = 3 mm
η(y) = F · e-βy (sin(βy) + cos(βy))
∂η/∂y = -2Fβ · e-βy · sin(βy)
∂²η/∂y² = 2β²F · e-βy(sin(βy) - cos(βy))
∂³η/∂y³ = -4β³F · e-βy (cos(βy))
Vediamo che il taglio in y=0 è uguale a P/2
EIzk ∂³η/∂y³ |y=0 = EIzk (-4β³F) = -P/2
F = P/8EIzβ³
Mmax = -EIzk ∂²η/∂y² |y=0 = -P/4β e-βy (sin(βy) - cos(βy)) |y=0
Mmax = P/4β = MPL = 3/2 σy bℓ²/6
Ci scordiamo che:
β = √(k / 4EIz) tc = EIz x / Qℓ (P / MP)u = 2.105 · 10-5 N/mm
Avendo il confinamento laterale ho εx = εy = 0
εx = 1/Ɛ [σx - ν(σy + σz)] = 0 ⟺ σx = ν(σy + σz)
εy = 1/Ɛ [σy - ν(σx + σz)] = 0 ⟺ σy = ν(σx + σz)
⟺ σy (1 - ν2) = νσz (1 + ν) ⟺ σy = σz ν(1 + ν) / (1 - ν2)
⟺ σy = σz ν / (1 - ν)
σx = ν(σy + σz) = ν(σz ν / (1 - ν) + σz) = σz (ν2 / (1 - ν) + 1) = σz (ν2 + 1 - ν) / (1 - ν) = σz ν / (1 - ν)
εz = 1/Ɛ [σz - ν(σx + σy)] = 1/Ɛ σz [1 - ν (ν / (1 - ν) + ν / (1 - ν))]
= 1/Ɛ σz (1 - 2ν2 / (1 - ν)) = σz / Ɛ (1 - ν - 2ν2) / (1 - ν) = σz / Ɛ ((1 + ν)(1 - 2ν)) / (1 - ν)
σz / εz ≡ Ɛ' = Ɛ ((1 - ν) / (1 + ν)(1 - 2ν)) = Ɛ 1.35 ⟺ incremento del 35%
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