Schemi esercizi

Determinare frequenze e prima forma modale

1. Si è determinato M e K

2. Determinazione di M

   • La massa dei piccioni è generalmente trascurabile rispetto a quella degli osservatori.
   • Gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli.
   • Gli elementi sulla diagonale sono le masse dei vari pini.
   • M₁₁=m₁ è la massa relativa all'osservatore con G.D. 2. e così via

3. Determinazione di K

   • Il S.d.r. è composto → lo schema statico di riferimento per lo shear tipo di salto è K₆₅ h₁ 12EJI/h³ e si considerano solo le TRASLAZIONI.
4. Si risolve det(K - λM) = 0 → ricavo λ₁ e λ₂

• Ricorda che l'inequazione della eq.diz. greca 8 ha lambda
• L’autovalore λ₁ è quello più piccolo tra i 2.
• ω₁ = √λ₁; ω₂ = √λ₂ e quindi si sono le frequenze proprie della struttura ⇒ β = ω₁ 2π ed β = ω₂ 2π
• Rimetto λ₁ nella matrice [K - λM] φ₁ = 0 ed imponendo φ₁ = 1 determiniamo ϕ. Ho determinato la prima forma modale.
• Per forma classica ^{^(1)_iϕ(e^i(0, 4)t)ϕ(e^i(0, 4)t)}

Determinare frequenze e prima forma modale

1) Se determinano M e K

1a) Determinazione di M

• Le masse dei picostrutture è generalmente trascurabile rispetto a quelle degli assorbatturati.
• Gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli.
• Gli elementi sulla diagonale sono le masse dei veri pini.
• M₁₁ = m_i e le masse relativo all'assorbatturati con G.D. 2, de e così via.

1b) Determinazione di K

• S.d.r. è ↔ Lo schermo status differenziato per lo shear tipo di dobor è 2⁶₅ - 12E₃5³ e si considerano solo **TRASLAZIONI**.

2) Si risolve det (K - λM) = 0 ↔ ricavo λ₁ e λ₂

• Ricorda che l'inquinanti della eq.diz.gresso è λ
• L'autovalore λ₁ è quello più piccolo tra i 2
• ω₁ = √λ₁ ; ω₂ = √λ₂ e quindi si sono le frequenze proprie della struttura ↔ β₁ = ω₁ 2π ed β₂ = ω₂ 2π
• Riempito λ₁ nella matrice (K - λ₁M) Φ_i = 0 e ed impanando Φ_i-1 determinabile. Ho determinato le prime fons modale.

Per sinonimo lissofle:

• Φ(Φ_e^λt Φ_q(q) ^{Φ_q(q)4)(q4))Φ_e^t Φ_q(q)4 1} Φ_cq⁴ : Det.

1

Determinare la matrice di rigidezza della struttura condensata e la matrice delle masse concentrate della struttura.

1a) Faccio in modo che i G.D.L. siano ordinati 2 prima da quelli di traslazione.

1b) Applico la condensazione statica

^{K_c - K_ct - K_tr K_rr-1 K_rt}

In generale

k = ^{[K_tt k_tr]} _{[Krt krr]}

trovo K_c

1c) Nella matrice delle masse concentrate considero solo le masse eccitate dai G.D.L. di traslazione

2

Calcolo la frequenza propria della struttura

ω_o = ^K_c⁄_Mc √

e quindi f_o = ^ω_o⁄_2π

N = [^Kg·m⁄_s²]

3

Adesso scrivo l'equazione dinato condensata

M_c·ẍ_t + K_c·ẋ_t = F_o·sen (ω_g·t)

• Sapendo che d_1,max = d_1,st·N(ω)
• Sapendo che d_1,st = ^F_o⁄_Kc
• Ricavo d_1,max

Esplicando N(ω) = ¹⁄_2ζ²-1

RICAVANDO

f_o, ω_o, K_c, M_c

d = W t²⁄ω

Esplicando S = ^-ug⁄_g

d = ^u⁄_g

E = [^N⁄_m²]

M = [Kg]

1) Calcolo la duttilità del sistema

μ = U_u / U_y → spostamento EPPU_u = ∫d_g(ξ, T_r) T_r² ∫d_a(ξ, T_r) / 4π²ω₁ = √(k / m) ⇒ T₁ = 2π / ω₁Calcolo μ se il sistema ottiene sovraccarico

2) A seconda del valore di T₁ vedo in che categoria di Newmark-Hall mi trovo

0.2 ≤ 0.3T₁ < T₁ ≤ 1.2T₁ ⇒ Categoria B

3) Trovo μ e Sd_p per iterazioni successive

1º Iterazione: μ = μ_u / U_y2º Iterazione: Sd_p = 2μ - 1Fino a convergenza

4) Avendo trovato μ al punto 3) trovo Sap e disegno sempre la forza equivalente

Sap = Sa / (2μ - 1)^(1/ω²)E = S_ap

5) Calcolo le C.d.S.