Esercitazione Tecnica delle costruzioni

I L

x=

Sostituendo ad otteniamo l’espressione della freccia in stadio I in

2

combinazione QP: QP 4

Q L

5

QP ed

=

δ I 384 E J

eff I

Dove: QP

- Carico di progetto in combinazione QP ;

Q ed J

- Momento di inerzia in condizioni non fessurate ;

I 41

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

E

- Modulo di elasticità efficace del calcestruzzo eff

Il modulo elastico del calcestruzzo, in condizioni non fessurate, risente degli effetti

viscosi, infatti, esso ne tiene conto:

E cm

=

E eff (∞ )

1+ϕ ; t o t

ϕ(∞ )

; t ∞

è il coefficiente di viscosità a t e a ad un istante iniziale t = ,



o o

possiamo definirne il valore consultando la NTC2018 Tab. 11.2.VI. e considerando

t

un’umidità relativa RH = 75% e pensando di applicare un carico a = 30 gg.

o

2 A c

=

Osserviamo inoltre che tale valore è definito in funzione di dove:

h 0 u

2

=b

A ∙ H=30000,00 mm è l’area del calcestruzzo

c

u=b=120 mm ed è il perimetro del solaio esposto all’aria, in quanto sul lato

superiore sono presenti gli elementi non strutturali e sulle facce laterali sono presenti i

travetti. =500

h mm

Per cui 0

È necessario effettuare un’interpolazione lineare per determinare il valore di

ϕ(∞ )

; t :

o

( )

ϕ −ϕ =1,83

h ¿ s i

−h

0 , 0 ,inf −h

h

0 0 ,inf

ϕ=ϕ + ¿

i

Ora avendo tutto ciò che serve per determinare la freccia in stadio I otteniamo:

Abbassamento in campata 2 solaio valore u.m.

Asse neutro in stato I 67,68

xI [mm]

[mm^(4)

2,79*10^(8)

Momento di inerzia rispetto all’asse neutro in stato I JI ]

1,83

Coefficiente di viscosità --

φ(∞,t0) 11122,26

Modulo elastico efficace del calcestruzzo --

Ec,eff 24,05

Freccia in mezzeria in stato I [mm]

δIQP

- Freccia in stadio II 42

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Possiamo ripetere lo stesso procedimento per trovare la freccia in stadio II ma

J J

sostituendo nella formula con per tenere conto ora della condizione

I II

fessurata.

La freccia in stadio II in combinazione QP sarà: QP 4

Q L

5

QP ed

=

δ I 384 E J

eff II

E ora otteniamo:

Abbassamento in campata 2 solaio valore u.m.

Asse neutro in stato II 55,35

xII [mm]

126000000,00 [mm^(4

Momento di inerzia rispetto all’asse neutro in stato II JII 00 )]

1,83

Coefficiente di viscosità --

φ(∞,t0) 11122,26

Modulo elastico efficace del calcestruzzo --

Ec,eff 53,26

Freccia in mezzeria in stato II [mm]

δIIQP

9. Dimensionamento e verifica della trave

9.1. Dimensionamento e verifica a momento flettente

In questo capitolo si affronta il dimensionamento e la verifica delle armature della

trave in esame, tenendo conto delle sezioni più sollecitate.

In particolare, vengono considerate:

- Le sezioni di campata, dove si manifesta il momento flettente massimo positivo

>

M 0

( );

Ed

- La sezione in corrispondenza dell’appoggio centrale, caratterizzata dal

<

M 0

momento flettente massimo negativo ( ).

Ed

Determinati nel Paragrafo 6, sez. 6.1.

L’analisi è stata condotta considerando una trave doppiamente armata con i seguenti

parametri geometrici e caratteristici:

Parametri geometrici

trave valori u.m.

Altezza sezione trave H 460,00 [mm]

Larghezza sezione trave B 350,00 [mm]

copriferro inferiore c 30,00 [mm]

copriferro superiore c' 30,00 [mm]

Altezza utile d 430,00 [mm]

Dal Paragrafo 4 i parametri caratteristici utili per il dimensionamento e la verifica della

trave erano:

CONGLOMERATO CEMENTIZIO valori u.m.

γ

Coefficiente parziale per il materiale SLU 1,50 --

c

Coefficiente che tiene conto degli effetti a lungo α

termine 0,85 --

cc

f

Resistenza a compressione di progetto SLU 14,17 [Mpa]

cd

Deformazione al raggiungimento della massima ε

tensione 0.20 [%]

c2 43

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

ε

Deformazione ultima 0.35 [%]

cu

ACCIAIO DA ARMATURA valori u.m.

γ --

Coefficiente parziale per il materiale SLU 1,15

s

f

Tensione di snervamento di progetto 391,30 [Mpa]

yd

ε

Deformazione al limite elastico 0,19 [%]

yd

f

Tensione ultima di progetto 469,60 [Mpa]

ud

ε

Deformazione ultima di progetto 6,75 [%]

ud

La fig. 8 nella pagina seguente mostra lo schema della sezione rettangolare della trave

in cemento armato soggetta a flessione, con armatura tesa (As) e compressa (A’s),

utilizzata per l’analisi e la verifica allo SLU. Fig. 8

Nel diagramma sono evidenziate:

ε

- : Deformazione ultima del calcestruzzo in compressione, raggiunta

cu

nell’estremo superiore della sezione;

ε

- : Deformazione dell’armatura inferiore tesa;

s

ε '

- : Deformazione dell’armatura superiore compressa;

s

- x: Posizione dell’asse neutro dal lembo superiore;

- Ts: Risultante della forza di trazione dell’acciaio;

- Cs: Risultante della forza di compressione dell’acciaio;

- Cc: Risultante della forza di compressione del calcestruzzo.

Possiamo inizialmente ipotizzare la posizione dell’asse neutro (x) tramite la

proporzione:

ε ε

cu s

=

x d−x

ε cu

x= ∙ d

+

ε ε

cu s =0,01

ε

Ipotizzando che s

0,0035

¿ ∙ 430,00=111,48 mm

0,0035+ 0,01 44

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Possiamo capire se l’acciaio superiore è plasticizzato oppure no tramite un ulteriore

proporzione:

'

x−c

' =ε (1)

ε s cu x

111,48−30

¿ 0,0035 111,48

¿ 0,00256=2,56 ‰ '

Confrontando il valore di appena ottenuto con il limite di deformazione elastica:

ε s

f yd

= (2)

ε yd E s

391,30

¿ 210000

¿ 0,00186=1,86 ‰ ' ε

Osserviamo che > di conseguenza l’armatura superiore risulta snervata.

ε yd

s

Dall’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale (determinata osservando le

risultanti in gioco dal diagramma raffigurato nella figura 8):

T (3)

Eq :Cc+Cs−Ts=0

Dove, a seconda del caso in esame, risulta:

{ ' '

> + − =0

ε ε → B 0,8 x f A f A f

s yd cd s yd s yd (4)

'

x−c

' '

<ε + − =0

ε → B 0,8 x f A E ε A f

s yd cd s s cu s yd

x

' ε

Nel nostro caso, essendo > , dalla prima equazione otteniamo:

ε yd

s

B 0,8 x f

' cd

−A = (5)

A s s fyd A

Possiamo determinare dall’equazione di equilibrio alla rotazione ponendo come

s A ' .

polo il punto di applicazione di s

( ) ( )

R ' '

−Cc =M (6)

Eq :Ts d−c 0,4 x−c Ed

Ts= A f e Cc=B 0,8 x f M

Dove: e è il momento flettente massimo di progetto

s yd cd Ed

relativo alle tre sezioni di interesse, determinati nel Paragrafo 6. Si eseguono

successivamente i calcoli per gli specifici tre casi mediante foglio Excel.

A

Esplicitando otteniamo:

s '

+B (0,4 −c )

M 0,8 x f x

Ed cd

= (

A 7)

s '

(d−c )

f yd '

Sostituendo (7) in (5) ora è possibile determinare anche .

A s 45

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

'

A

I valori di e che si ottengono sono da rapportare ad un’armatura in

A

s s

commercio verificando i diametri disponibili e ipotizzando un numero di barre

sufficiente per raggiungere le aree di acciaio teso e compresso appena calcolate.

Una volta determinata l’area effettiva di acciaio bisogna determinare il momento

M

resistente di progetto ( ). Ora però non essendo più possibile ipotizzare la

Rd

distanza dell’asse neutro dal lembo superiore, è possibile calcolarla tramite

A

l’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale, dove essendo ora noti e

s

' M

ed essendo indipendente da l’unica incognita è x.

A Rd

s ' >

Ipotizziamo inizialmente che l’acciaio risulti snervato ( ) ed utilizziamo la

ε ε

s yd

relativa equazione (4)

( )

'

−A

A f

s s yd (8)

x= B 0,8 f cd '

Ricalcolando il valore della deformazione dell’armatura superiore compressa ( ) e

ε s

confrontandolo con il limite di deformazione elastica verifichiamo se l’ipotesi fatta

risulta verificata. In caso contrario si procede ad effettuare il calcolo con l’equazione di

' <

equilibrio alla traslazione orizzontale con .

ε ε

s yd

Sostituendo il valore della distanza dell’asse neutro dal lembo superiore (8)

nell’equazione di equilibrio alla rotazione (6) è possibile infine determinare il valore del

momento resistente di progetto, il quale risulta:

( )

' '

=A −c −B (0,4 −c ) .

M f d 0,8 x f x

Rd s yd cd

Successivamente si prosegue con la verifica per l’interferro:

Con:

- Base della sezione della trave B = 350 mm

- Spazio laterale C = 15 mm

l

- Diametro delle staffe Φ = 8 mm

w

- Diametro delle barre inferiori e superiori Φ i,s

- Numero delle barre inferiori e superiori n i,s 46

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Applicazione per le tre sezioni di interesse

-

Nel Paragrafo 6. “Calcolo delle sollecitazioni” si sono definiti i valori dei momenti

flettenti massimi in combinazione SLU risultanti nelle tre sezioni di interesse, le due

sezioni di campata e la sezione in corrispondenza dell’appoggio centrale.

{ =253,20

M kNm

1

=−386,56

M kNm

I quali risultavano: 2 =82,43

M kNm

3

Si effettuano i calcoli per le specifiche sezioni di interesse, in particolare:

- Sezione con momento flettente massimo in campata 1

Sezione con momento flettente massimo in

campata 1 valore u.m.

Posizione dell'asse neutro (ipotizzata) x 111,48 [mm]

'

Deformazione dell'armatura compressa 0,00256 [‰]

ε s

Limite di deformazione elastica εyd 0,00186 [‰]

ε ε

's > yd: Acciaio snervato

2