Esercitazione Tecnica delle costruzioni

E

Combinazione SLE-Rara 4,84

Combinazione SLE-Frequente 4,34

Combinazione SLE-Quasi

permanente 4,14

5.3.2. Trave

Sapendo che le azioni che interessano la trave, precedentemente calcolate, sono pari

a: kN kN kN

=34,40 =24,14 Q

G ; G ; = 14,2

k

1 k 2 k

m m m

Analogamente ai calcoli svolti per il solaio otteniamo:

Qed,SLU Caso 1) Caso 2) Caso 3)

Combinazione Campata

SLU 1) 102,23 102,23 53,71

Campata

2) 53,71 102,23 102,23

Qed,SL

E

Combinazione SLE-Rara 72,74

Combinazione SLE-Frequente 65,64

Combinazione SLE-Quasi

permanente 62,80

6. Calcolo delle sollecitazioni 11

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

La struttura è stata risolta mediante il metodo delle forze, ricavando così l’incognita

iperstatica X corrispondente al momento flettente nell’appoggio centrale: Fig. 6

Il metodo delle forze consiste nel rendere isostatica una struttura iperstatica

con n gradi di indeterminazione statica sopprimendo un corrispondente numero di

X

vincoli interni ed esterni ed applicando al loro posto le relative incognite .

i

n

∑ ϕ =0

∙q

ij i

j=1

ϕ =−q

∙ x

11 1 1 [ ]

[ ] 3 3

L L p L p L

1 2 1 1 2 2

+ +

∙ X=−

3 EJ 3 EJ 24 EJ 24 EJ

[ ]

13 23

p L p L

1 2

− + ( )

3 3

+

p L p L

24 EJ 24 EJ −1 1 1 2 2

= =

X ∙ Incognita iperstatica

[ ] 8 ( )

+

L L

L L 1 2

1 2

+

3 EJ 3 EJ

Annullando la rotazione nell’appoggio centrale produco un momento flettente 

aumenta l’intensità di R2

| |

=

M X p ∙ L M

1 1 −

R1 = Reazione vincolare all’appoggio 1)

2 L 1

p ∙ L p ∙ L

M M

1 1 2 2

+ + +

R2 = Reazione vincolare all’appoggio 2)

2 L 2 L

1 2

p ∙ L M

2 2 −

R3 = Reazione vincolare all’appoggio 3)

2 L 2

Per costruire il diagramma del momento flettente: 2

p ∙ z

1

( )=R

M z 1 ∙ z− 2 12

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

( )=R

T z 1− p ∙ z

1

(z)

dM =0=R1− p ∙ z

1

dz L

R 1 M

1

= = −

z

Posizione del momento massimo in campata 1) 1 p 2 L ∙ p

1 1 1

L

R 3 M

2

= = −

z

Posizione del momento massimo in campata 2) 2 p 2 L ∙ p

2 2 2

2 2

R 1 R 1

( ) = −

M z

Momento massimo in campata 1) 1 P 2 p

1 1

2 2

R 3 R 3

( ) = −

M z

Momento massimo in campata 2) 2 p 2 p

2 2 13

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

6.1. Valutazione del momento flettente e taglio

Si applicano i carichi definiti nel Capitolo 4, sez. 4.1 e 4.2, alle reazioni vincolari

calcolate nel Capitolo 5, considerando tutte le combinazioni di carico previste

(combinazioni agli stati limite ultimi e agli stati limite di esercizio). L’analisi consente la

determinazione dei diagrammi dei momenti flettenti e degli sforzi di taglio lungo gli

elementi strutturali. Successivamente si procede alla costruzione degli inviluppi dei

valori estremi, utile per le successive verifiche di progetto.

6.1.1. Solaio Combinazione SLU

Caso 1) Caso 2) Caso 3) u.m.

Incognita X

iperstatica -19,64 -27,97 -22,66 [kNm]

Reazioni vincolari R1 14,19 12,61 4,87 [kN]

R2 35,57 48,68 38,05 [kN]

R3 7,46 16,25 17,12 [kN]

Posizione momento

massimo z1 2,08 1,85 1,39 [m]

z2 2,13 2,38 2,51 [m]

M(z1)

Momento massimo 14,74 11,63 3,39 [kNm]

M(z2) 7,94 19,33 21,46 [kNm]

Diagramma dell’inviluppo dei momenti flettenti risulta:

Momento flettente

40

30

20

[kNm] 10

0

M(z) 0 2 4 6 8 10 12

-10

-20

-30 z [m] ---- Caso 1) ---- Caso 2) ---- Caso 3)

14

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Il diagramma dell’inviluppo del taglio, essendo la derivata del momento flettente,

risulta: Taglio

30

20

10

[kN] 0

T(z) 0 2 4 6 8 10 12

-10

-20

-30 z [m] ---- Caso 1) ---- Caso 2) ---- Caso 3)

15

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Combinazione SLE-Rara

Come già visto in precedenza, le combinazioni SLE, non dovendo coinvolgere i

coefficienti parziali di sicurezza nel calcolo, non è possibile distinguere i diversi casi

Q Q

considerando e , (il carico della campata 1 sarà sempre uguale al carico

max min

della campata 2). Pertanto, avremo un unico diagramma dei momenti flettenti e del

taglio. Caso 1)

Incognita X

iperstatica -19,81

Reazioni

vincolari R1 8,93

R2 34,49

R3 11,51

Posizione momento

massimo z1 1,85

z2 2,38

Momento M(z1)

massimo 8,24

M(z2) 13,70

Il diagramma del momento flettente:

Momento flettente

25

20

15

[kNm] 10

5

0

M(z) 0 2 4 6 8 10 12

-5

-10

-15

-20 z [m]

Il diagramma del taglio risulta: 16

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Taglio

20

15

10

[kN] 5

0 0 2 4 6 8 10 12

T(z) -5

-10

-15

-20 z [m] Combinazione SLE-Frequente

Caso 1)

Incognita X

iperstatica -17,77

Reazioni vincolari R1 8,01

R2 30,93

R3 10,32

Posizione momento

massimo z1 1,85

z2 2,38

Momento M(z1)

massimo 7,39

M(z2) 12,28

Il diagramma del momento flettente risulta:

Momento flettente

20

15

10

[kNm] 5

0

M(z) 0 2 4 6 8 10 12

-5

-10

-15 z [m]

Il diagramma del taglio risulta: 17

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Taglio

20

15

10

[kN] 5

0

T(z) 0 2 4 6 8 10 12

-5

-10

-15

-20 z [m] 18

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Combinazione SLE-Quasi permanente

Caso 1)

Incognita X

iperstatica -16,95

Reazioni vincolari R1 7,64

R2 29,50

R3 9,85

Posizione momento massimo z1 1,85

z2 2,38

M(z1)

Momento massimo 7,05

M(z2) 11,71

Il diagramma del momento flettente risulta:

Momento flettente

20

15

10

[kNm] 5

0

M(z) 0 2 4 6 8 10 12

-5

-10

-15 z [m]

Il

diagramma Taglio

del taglio 20

risulta: 15

10

[kN] 5

0

T(z) 0 2 4 6 8 10 12

-5

-10

-15

-20 z [m] 19

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

6.1.2. Trave

Analogamente ripetiamo i calcoli per la trave T. Combinazione SLU

Caso Caso Caso

1) 2) 3) u.m.

Incognita - - -

X

iperstatica 294,82 386,56 294,82 [kNm]

Reazioni

vincolari R1 227,53 210,85 94,10 [kN]

R2 536,04 702,83 536,04 [kN]

R3 94,10 210,85 227,53 [kN]

Posizione momento

massimo z1 2,23 2,06 1,75 [m]

z2 1,75 2,06 2,23 [m]

Momento M(z1)

massimo 253,20 217,44 82,43 [kNm]

M(z2) 82,43 217,44 253,20 [kNm]

Il diagramma dell’inviluppo dei momenti flettenti risulta:

Momento flettente

500

400

300

[kNm] 200

100

M(z) 0 0 2 4 6 8 10 12

-100

-200

-300 z [m] ---- Caso 1) ---- Caso 2) ---- Caso 3)

Il diagramma dell’inviluppo dei tagli risulta:

Taglio

400

300

200

[kN] 100

0 0 2 4 6 8 10 12

T(z) -100

-200

-300

-400 z [m] ---- Caso 1) ---- Caso 2) ---- Caso 3)

20

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Combinazione SLE-Rara

Caso 1)

Incognita X

iperstatica -275,05

Reazioni vincolari R1 150,03

R2 500,09

R3 150,03

Posizione momento

massimo z1 2,06

z2 2,06

Momento M(z1)

massimo 154,71

M(z2) 154,71

Il diagramma del momento flettente risulta:

Momento flettente

300

250

200

150

[kNm] 100

50

0

M(z) 0 2 4 6 8 10 12

-50

-100

-150

-200 z [m]

Il diagramma del taglio risulta: Taglio

300

200

100

[kN] 0 0 2 4 6 8 10 12

T(z) -100

-200

-300 z [m] Combinazione SLE-Frequente

21

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Caso 1)

Incognita X

iperstatica -248,20

Reazioni

vincolari R1 135,38

R2 451,28

R3 135,38

Posizione momento

massimo z1 2,06

z2 2,06

Momento M(z1)

massimo 139,61

M(z2) 139,61

Il diagramma del momento flettente risulta:

Momento flettente

300

250

200

150

[kNm] 100

50

M(z) 0 0 2 4 6 8 10 12

-50

-100

-150

-200 z [m]

Il diagramma del taglio risulta: Taglio

250

200

150

100

[kN] 50

0

T(z) 0 2 4 6 8 10 12

-50

-100

-150

-200

-250 z [m]

Combinazione SLE-Quasi permanente

22

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

Caso 1)

Incognita X

iperstatica -237,46

Reazioni

vincolari R1 129,53

R2 431,75

R3 129,53

Posizione momento

massimo z1 2,06

z2 2,06

Momento M(z1)

massimo 133,57

M(z2) 133,57

Il diagramma del momento flettente risulta:

Momento flettente

300

250

200

150

[kNm] 100

50

0

M(z) 0 2 4 6 8 10 12

-50

-100

-150

-200 z [m]

Il diagramma del taglio risulta: Taglio

250

200

150

100

[kN] 50

0

T(z) 0 2 4 6 8 10 12

-50

-100

-150

-200

-250 z [m] 23

Tecnica delle Costruzioni Esercitazione

7. Dimensionamento e verifica del solaio

7.1. Dimensionamento e verifica a momento flettente

È possibile effettuare il dimensionamento e la verifica delle armature del solaio in

esame, tenendo conto delle sezioni più sollecitate.

In particolare, vengono considerate:

- Le sezioni di campata, dove si manifesta il momento flettente massimo positivo

>

M 0

( );

Ed

- La sezione in corrispondenza dell’appoggio centrale, caratterizzata dal

<

M 0

momento flettente massimo negativo ( ).

Ed

Determinati nel Paragrafo 6, sez. 6.1.

L’analisi è stata condotta considerando un solaio semplicemente armato con i seguenti

parametri geometrici e caratteristici:

Parametri geometrici solaio valori u.m.

Altezza solaio H 250,00 [mm]

Altezza soletta s 50,00 [mm]

Larghezza travetto b 120,00 [mm]

Larghezza interasse B 500,00 [mm]

copriferro inferiore c 30,00 [mm]

Altezza utile d 220,00 [mm]

5250,0

Larghezza campata 1 solaio l1 [mm]

0

6100,0

Larghezza campata 2 solaio l2 [mm]

0

Dal Paragrafo 4 i parametri caratteristici utili per il dimensionamento e la verifica del

solaio erano:

CONGLOMERATO CEMENTIZIO valori u.m.

γ

Coefficiente parziale per il materiale SLU 1,50 --

c

Coefficiente che tiene conto degli effetti a lungo α

termine 0,85 --

cc

f

Resistenza a compressione di progetto SLU 14,17 [Mpa]

cd