Tecnica delle costruzioni - esercitazione

Esercitazioni tecnica delle costruzioni

Anno Accademico 2012/2013

Eleonora Magnotta

Professore Diego Allaix

Esercitazioni tecnica delle costruzioni

Anno Accademico 2012/2013

Eleonora Magnotta

Professore Diego Allaix

(m) = emme minuscolo e il generico valore del M(t). Qualunque numero reale; ad es. anche il momento massimo che la struttura può portare.

qℓ² = momento flettente in mezzo alla trave.

8 = P (_8m2) = F_g (_8m2)

In termini analitici possiamo andare a scrivere F_g:

Da fare a casa

Corso di tecnica delle costruzioni - giovedì 4 aprile 2013

Lezione

Allora riprendiamo l'esercizio della scorsa lezione.

Il carico è distribuito mediante andamento uniforme. Vogliamo l'andamento della funzione di densità di probabilità:

f_q 0.10

Per quanto riguarda la funzione di distribuzione cumulativa avevamo detto che:

1. 0        q ≤ 3 kN/m
2. F_g(q) =        ^{q - 3}    3 < q ≤ 13 kN/m
3. ₁₀ 1        q ≥ 13 kN/m

⁵⁸

Dove:

F_q(q) = P(q_s ≤ q), dove q è un carico che presenta dei valori reali.

Considerando la sezione di mezzeria che nel disegno iniziale ho tracciato in rosso, possiamo scrivere che:

F_m(M) = P(M ≤ m) = P(^{q l²}/₈ ≤ m) == grazie al fatto che F_q(q) = P(q_s ≤ q) uguale a -= P(q ≤ ^8m/_l²) = F_q(^8m/_l²)

Il momento flettente diventa una variabile aleatoria, perché quello è un carico cammina in modo casuale e non può determinarsi allora anche il momento flettente cambia in funzione del valore del carico.

Andiamo ora a vedere l'espressione della funzione di distribuzione F_m(m).

L'espressione si ottiene andando a sostituire ogni volta che incontra q alle formule ^8m/_l²:

^8m/_l² ≤ 3KN/m

Γ_m(m) = 0.1 (^8m/_l² - 3)   3 ≤ ^8m/_l² ≤ 13KN/m

1 ^8m/_l² > 13KN/m

Scriviamo meglio le formule:

|||M ↔ ^{q l²}/₈

0 Γ_m(m) = 0.1 (^8m/_l² - 3)

³⁰l². |13 ²/₈     13 q l₂/₈

59

Andiamo ora a sostituire nelle formule il valore della live dati to che ci noto:

F_M(m) = 0   M ≤ 9.375 KN•m     0.032 m - 0.3     9.375 ≤ m ≤ 40.625     1     m ≥ 40.625 KN•m

Ora andiamo a disegnare il diagramma delle funzione di densità di probabilità, che si ottiene derivando FM, e quello della funzione di distribuzione accumulativa:

Derivando otteniamo che:

f_M

Lo stesso procedimento è applicabile se si vuole conoscere il taglio o lo spostamento verticale in una certa sezione. Anche loro saranno delle variabili aleatorie.

Calcoliamo il valore medio del momento flettente:

M_m = ^{9.375 + 40.625}/₂ = 25 KN•m

Ricordiamo che al momento flettente associamo il concetto di h centro, che in questo caso si trova nel punto medio delle base del rettangolo ottenuto nel diagramma f_M.

Calcoliamo ora la varianza:

σ_M² = ^{(40,625 - 9,375)2}/₁₂ = 81,38 (kN/m)²

Supponiamo di avere:

M = qℓ²

ℓ = 8

La media sarà:

µ_M = µ_q · ^ℓ2/₈ = ²⁵/₈ = 25 kN m

Dove:

µ_q è il valore medio del carico che si ottiene facendo la media tra le basi del rettangolo, quindi:

^{3 + 13}/₂ = 8

Supponiamo di avere una variabile x di cui conosciamo µ_x e σ_x²:

X: µ_x, σ_x²

e una seconda variabile Y tale che:

Y = aX + b

Una proprietà del valore medio è che:

µ_Y = a·µ_x + b

Più in generale vale un'altra proprietà che si applica quando si hanno tante variabili aleatorie, e si conoscerne il valore medio:

X_i, i = 1,2,3,...,n

Y = a₁X₁ + a₂X_n + ... + a_nX_n

µ_Y = a₁µ_X1 + a₂µ_X2 + ... + a_nµ_Xn

A meno solo che definire la varianza, che calcoliamo sfruttando una proprietà della varianza stessa.

Chiaramente X Se X 2_x e Y = aX + b, possiamo scrivere che: 2_Y² = a² 2_X² (*)

Qualunque sia b, questo non ha nessun contributo nel termine varianziale.

Usiamo questa relazione nel nostro caso:

= M_Y q2 q²q_q 4 8

Applichiamo direttamente la relazione (*), ottenendo: 2_M² = (q² 82q²)² 9q² = 82.12 (KN/m)²

Dove: 2₈₂ 9 q KN/m, è dato noto, dato alla partenza.

Supponiamo di avere una variabile X di cui è nota:

f^X(x), _x X°.

Vogliamo ottenere la variabile:

Y = aX + b (combinatore lineare)

Dove Y sia monotona crescente rispetto alla variabile X.

Possiamo scrivere che:

F^Y(y) = P (Y

Sostituiamo al Y l'espressione aX + b:

F_Y(y) = P (x y) = P (aX + b y).

= P (X ^{y - b}) = F_x(^{y - b}) ^a _a

f^y(y) = dF^Y(y) / y = d / dy [F_x(^{y - b})] = _{y a} - _a|_x(⁻/)| _d=(⁻/) ⋅ 1/|| ⋅ ()

Mettiamo il valore assoluto, perché così abbiamo una formula generale, questa perché la variabile può essere decrescente, e non crescente.

Come avevamo ipotizzato, chiaramente rispetto ad.

Scriviamo adesso l’espressione di /, lo facciamo scrivendo che:

⁻⁻/ = /_d = 1/

Riprendiamo il caso della trave:

M = ^²/₈’ ( = ⁸/ ; = 2.9 /)

() = ¹/₂ ⋅ exp [ - ¹/₂ (⁻/)² ]

Scriviamo ora la funzione di densità di probabilità del momento flettente nella sezione al momento:

() = ¹/_|²/8| ⋅ ¹/_√2 ⋅ exp [^{−1/₂ | (/l²/8 −)/ |² ]}

Noi siamo partiti che: = +

Vogliamo applicare questa relazione al nostro caso:

M = ^u₂⁄₈ = g_j

Nel termine che è l’esponente dell’esponenziale al posto di g_j andiamo a scrivere:

y-b ⁄ a

Sostituiamo:

f_m(M) = ¹⁄_u2 ⋅ ¹⁄₈ ⋅ 1⁄(√2π ⋅ 9g) ⋅ exp [ - ¹⁄₂ [^M⁄_u2 - ^u_q⁄₈]² ]

Questo è il modo veloce che ci permette di passare dalla funzione densità di probabilità del carico, a quella del momento flettente.

Passiamo al valore medio:

u_M = ¹⁄₈ q_j

σ_m² = ⁹⁄₈ (¹⁄₈)²

Io vincolore sollecitazione l’abbiamo analizzato. Ora passiamo alle resistenze.

Supponiamo sempre di avere la nostra trave armata, con armatura tesa, e che questa trave abbia una sezione rettangolare:

Dove:

d’ = è la distanza tra il lembo superiore della sezione e il baricentro dell'armatura

Vogliamo fare la verifica di sicurezza, che si fa confrontando grandezze omogenee. La verifica la faremo su una trave appoggiata.

Facciamo una serie di ipotesi:

1. Conservazione delle relazioni piane: questo vuol dire che le deformazioni sono lineari: _c ^s
2. Perfetta aderenza calcestruzzo e acciaio; questo vuol dire che nelle armature R ha che la deformazione del calcestruzzo è uguale a quella dell'acciaio. Si può dunque scrivere che: _c = _s

Per l'acciaio consideriamo un diagramma _s - _s, un diagramma elasto plastico:

^s_s

Dove:

f_y: Tensione di snervamento

f_y: Ordine di deformazione alla quale si ferma la deformazione

_s: f_y / _Es dove _Es = 200.000 kPa

Vediamo il diagramma del calcestruzzo in compressione:

_c

Legge Parabola - Rettangolo

Dove:

f_c è la resistenza a compressione;

I valori del diagramma sono negativi perché siamo nel campo delle compressione.

Trascuriamo la resistenza a trazione del cls, quindi in tratto nel cls non fornisce nessun contributo. Chiaramente queste sono tutte ipotesi semplificative.

Nel consideriamo che:

ɛ_c = -3,5%

Le ɛ_s le consideriamo sempre nel tratto ɛ_sy e il valore ultimo pari al f_y, allora la tensione dell’acciaio sarà pari a f_y.

Da un diagramma del deformazioni possiamo passare a un diagramma di tensione σ, vediamo come creare quel diagramma considerando una fibra presca delle tali ovvero quella esterna che ha un ɛ_c*.

Definiamo inizialmente il diagramma del cls in compressione ɛ_c*.

Entra con la deformazione che raggiunge di conoscere e ne esco con il valore di tensore f_c* che ottengo mediante la legge costitutiva. Tale discorso se lo applichiamo a tutte le altre fibre del cls, otteniamo quell'andamento.

Riusciamo così ottenere 2 risultati fondamentali:

1. C: Risultate delle tensanti in compressione che è con centrata nel baricentro delle tensioni di cls;
2. T: Risultante delle "tensioni" di trazione, centrata frata nel baricentro delle tensioni di acciaio -

Al variare della pendenza del diagramma delle deformazioni otteniamo dei diagrammi diversi:

Dove:

ε_c: è il palo che rimane fisso, quello che cambia è la pendenza del diagramma perché così si ottiene l'equilibrio tra EcdC.

Se consideriamo ε_c = 3,5√/ e ε_s = 1√/, otteniamo il diagramma a mattita; se invece consideriamo ε_c = 3,5√/, e ε_s = 2√/, otteniamo il diagramma azzurro, con la parte di C che diminuisce e quella di acciaio aumenta.

Per avere un andamento ben definito introduciamo le condizioni di equilibrio consideriamo:

9

e il carico:

d√

Consideriamo quindi il nostro carico così: