Analisi numerica

PERCHE’

DETERMINANTE è UGUALE AL PRODOTTO DEGLI ELEMENTI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE LA

FATTORIZZAZIONE TRASFORMA LA MATRICE IN UNA TRIANGOLARE INFERIORE

1X3X-8= -24

Lezione 15 numero 8

Determinare i fattori triangolari L e U della seguente matrice dei coefficienti A=[ 7, 8, 9; 4, 5, 6; 0, 2, 3], tali che A=LU.

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Lezione 15 numero 9

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 6, -3, 4; 12, 5, -7; -5, 2, 6] e C=[ 1; 1; 1]. Determinare le matrici L e U del metodo di Fattorizzazione LU.

Lezione 15 numero 10

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 6, -3, 4; 12, 5, -7; -5, 2, 6] e C=[ 1; 1; 1], dopo aver determinato con il metodo di

Fattorizzazione LU la seguente matrice L=[ 1, 0, 0; 2, 1, 0; -0.830, -0.045, 1], come si procede nella risoluzione del sistema lineare di

partenza? lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 16 numero 2

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6] e C=[1; 3; 4]. Determinare la matrice L di Cholesky.

Lezione 16 numero 3

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6] e C=[ 1; 3; 4], dopo aver determinato con il metodo di Cholesky la seguente matrice L=[ 1, 0, 0;

1, 1, 0; 1, 2, 1], come si procede nella risoluzione del sistema lineare di partenza

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Lezione 16 numero 4 Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 8, 4, 2;

4, 6, 0; 2, 0, 3] e C=[ 1; 1; 1], dopo aver

determinato con il metodo di Cholesky la

seguente matrice L=[ 2.83, 0, 0; 1.41, 2, 0; 0.71,

-0.50, 1.50], come si procede nella risoluzione

del sistema lineare di partenza?

Lezione 16 numero 5

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[3, 1, -1; 1, 1, -1; -1, -1, 2] e C=[ 2; 0; 0], verificare che il metodo di Cholesky sia applicabile

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Lezione 16 numero 6

Metodo di Cholesky: dato un sistema lineare Ax=C, dopo aver trovato la matrice L di Cholesky, come si procede a calcolare il vettore

delle incognite x del sistema lineare di partenza?

Sia A simmetrica -> A=A

T

Si può allora porre questa matrice sotto la forma A=L L cioè il prodotto di

T

due matrici triangolari dove L è la matrice triangolare inferiore e L la

T

matrice triangolare superiore.

11 12 13 11 0 0 11 12 13

[21 [21

22 23] = 22 0 ]x( 0 22 23)

31 32 33 31 32 33 0 0 33

A = L X LT

Si effettua il prodotto tra matrici e si uguaglia ad A e si

determinano gli elementi di L.

si pone L =y

xT

L x y=C

Si pone A =L L =C dove

X Tx

1- si risolve per (Y1 Y2 Y3)

Trovati i valori di y si pone L =y -> si calcola la L

2- x xT T

superiore e impostare il sistema con incognite (x x x ).

1 2 3

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Lezione 16 numero 7

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 8, 4, 2; 4, 6, 0; 2, 0, 3] e C=[ 1; 1; 1]. Determinare la matrice L di Cholesky.

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Lezione 17 numero 12

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il

metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0.17; -0.25; 0.25; -0.20] e due cifre decimali.

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Lezione 17 numero 13

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2; 4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ -0.25; 0.44; 1.11; 2.72] e due cifre decimali.

. lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 17 numero 14

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[3, -2, 0; -2, 4, 2; 0, 2, 2] e C=[1; 4; 4]. Eseguire due iterazioni con

il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0] e due cifre decimali

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Lezione 17 numero 15

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[4, 1, 0, 0; 1, 5, 1, 0; 0, 1, 6, 1; 1, 0, 1, 4] e C=[1; 7; 16; 14].

Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0]

e quattro cifre decimali

. lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 17 numero 16

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2;

4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale

x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e due cifre decimali. lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 17 numero 17

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2;

4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale

x(0)=[ 0.25; 0.44; 1.11; 2.72] e due cifre decimali. lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 17 numero 18

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0;

1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale

x(0)=[ -0.400; -0.085; 0.390; -0.800] e tre cifre decimali.

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Lezione 17 numero 19

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0;

1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale

x(0)=[ 1; 1; 1; 1] e tre cifre decimali. lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 17 numero 20

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0;

1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale

x(0)=[ -0.250; 0.500; -0.170; -0.085] e tre cifre decimali.

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Lezione 17 numero 21

La propagazione degli errori: cos'è, quando si verifica e come si può intervenire.

Cosa è?

Gli errori si amplificano durante la risoluzione numerica di un problema matematico e la questione di come

si propaghi l’errore sul risultato è di fondamentale importanza.

Un algoritmo risolutore non è altro che una serie di operazioni elementari, il suo risultato finale dipende però

da come gli errori si amplificano nei vari passaggi successivi dell’algoritmo stesso.

Quando si verifica?

dell’accumularsi degli

Si verifica a causa errori di arrotondamento dovuto al numero elevato di iterazioni

effettuate per risolvere sistemi di grandi dimensioni.

Come si può intervenire?

Utilizzando i sistemi interattivi si può tenere l’errore sotto controllo fissando a priori una tolleranza

dell’errore che va però verificata ad ogni iterazione tra il risultato ottenuto e quello immediatamente

l’entità

precedente. Verificata la convergenza verso un valore che è la soluzione e fissata una tolleranza E s

dell’errore è trascurabile.

Lezione 17 numero 22

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0;

1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale

x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e due cifre decimali. 1.17

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Lezione 17 numero 23

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2;

4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale

x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e due cifre decimali. lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 18 numero numero 5

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, 1, 0, 0; 1, 5, 1, 0; 0, 1, 6, 1; 1, 0, 1, 4] e C=[1; 7; 16;

14]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Jacobi, partendo da un vettore iniziale x(0)=[

0.2500; 1.4000; 2.6667; 3.5000] e quattro cifre decimali.

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Lezione 18 numero 6

Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, 1, 0, 0; 1, 5, 1, 0; 0, 1, 6, 1; 1, 0, 1, 4] e C=[ 1; 7; 16;

14]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Jacobi, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0;

0; 0] e quattro cifre decimali. lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 21 numero 11

Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -9, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo di

Bisezione utilizzando come valori di partenza x1= 2.5 e x2= 3.

TROVA NELL’INTERVALLO

QUINDI LA RADICE DELLA FUNZIONE SI TRA F(XR) E F(X2)

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Lezione 21 numero 12

Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -9, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo di

Bisezione utilizzando come valori di partenza x1= 2 e x2= 3.

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Lezione 21 numero 13

Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, 0, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della

Bisezione utilizzando come valori di partenza x1= 1 e x2= 2.

SECONDA ITERAZIONE

1,5 + 2 = 1,75

2

F(1,5)= 3,375 - 2 = 1,375

F(1,75)= 5,359375-2 = 3,359375

F(xr)xf(x1) = 1,375X 3,359375= 4,619140625 lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 21 numero 14

Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, 0, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della

Bisezione utilizzando come valori di partenza x1= 0 e x2= 2.

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Lezione 21 numero 15

15. Nel metodo di Bisezione, quando ed in che modo si decide di

interrompere le iterazioni?

Cambia qualcosa

Per decidere quando interrompere le iterazioni del metodo di bisezione è

necessario un criterio.

L’ idea più semplice è quella di interrompere i calcoli quando l’errore scende

al di sotto di un valore prefissato.

Per valutare l’errore senza conoscere il valore esatto della radice cercata, si

utilizza la stima dell’errore approssimato Ea:

Dove xratt è il valore della radice nell’iterazione corrente; xrprec è il valore

calcolato nell’iterazione precedente.

Bisogna precisare che Ea viene preso in valore assoluto in quanto ciò che

interessa è la sua grandezza e non il segno.

Quando | Ea | diventa minore di un valore di riferimento prefissato allora si

interrompe il calcolo. lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 21 numero 16

Data la seguente equazione non lineare f=[ 46, 0, 3, 1]. Eseguire due

iterazioni con il metodo della Bisezione utilizzando come valori di

partenza x1= -4 e x2= 1.

F(xr)xf(x1) = -0.46875x -158,75 = 233,164>0 lOM oAR cP SD| 9679654

Lezione 21 numero 17

Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, -1, -2]. Eseguire due iterazioni con il

metodo della Bisezione utilizzando come valori di partenza x1= -10 e x2= 1

Lezione 22 numero 5

01.

Data un'equazione non lineare pari a f=[ 1, -1, -2] ed un intervallo pari a x1=-10 e x2=0.59,

quanto vale il valore di tentativo xr nella prima iterazione del metodo di Falsa Posizione?

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Lezione 22 numero 8

Nel metodo di Falsa Posizione, quando ed in che modo si decide di interrompere le iterazioni?

Per decidere quando interrompere le iterazioni del metodo di è

Falsa Posizione

necessario un criterio.

L’ idea più semplice è quella di interrompere i calcoli quando l’errore scende

al di sotto di un valore prefissato.

Per valutare l’errore senza conoscere il valore esatto della radice cercata, si

utilizza l