Analisi numerica

ANALISI NUMERICA

• Errori ........................................................................................................................... 3
• Numeri di macchina ......................................................................................................... 3
  • Floating point in Matlab .......................................................................................... 5
  • Errore di arrotondamento .................................................................................... 6
  • Operazioni di macchina ........................................................................................ 6
• Equazioni differenziali ..................................................................................................... 8
  • Approssimazione della derivata prima ................................................................. 9
  • Approssimazione della derivata seconda ........................................................... 11
  • Risoluzione numerica dell’equazione differenziale ............................................ 12
  • Valutazione dell’errore commesso in funzione di h .............................................. 14
  • Termini dell’equazione differenziale .................................................................. 17
  • Passaggio alle due dimensioni ............................................................................ 19
• Metodi per la risoluzione di sistemi lineari .................................................................. 23
  • Metodo di Cramer .............................................................................................. 23
  • Metodo diretto: metodo di eliminazione di Gauss e fattorizzazione LU ............... 23
  • Errore nella risoluzione dei sistemi lineari .......................................................... 28
• Risoluzione dei problemi differenziali con gli elementi finiti ......................................... 30
  • Errore .................................................................................................................. 35
• Interpolazione ............................................................................................................... 37
  • Interpolazione polinomiale ................................................................................... 37
  • Interpolazione con i polinomi di Lagrange ............................................................ 38
  • Errore .................................................................................................................. 39
  • Nodi di Chebyshev ............................................................................................. 40
  • Errore a causa dell’uso di dati perturbati ........................................................... 42
  • Interpolazione composita .................................................................................... 42
  • Interpolazione spline ........................................................................................... 44
  • Soluzione di interpolazione in termini di minimi quadrati ..................................... 45
• Calcolo approssimato di integrali e formule di quadratura .......................................... 47
• Ricerca degli zeri di una funzione ................................................................................. 52
  • Metodo di bisezione ............................................................................................. 52
  • Metodo di Newton ................................................................................................ 52
  • Metodo delle secanti ............................................................................................ 54
  • Metodi ricorsivi ................................................................................................... 55
  • Generalizzazione a un sistema lineare di funzioni non lineari ............................. 56

Metodi iterativi per sistemi lineari

• Metodo di Jacobi .................................................................................................................. 60
• Metodo di Gauss-Seidel .......................................................................................................... 60
• Metodo di Richardson ............................................................................................................ 62
• Metodo di Richardson stazionario ............................................................................................ 62
• Metodo di Richardson dinamico ............................................................................................... 64
• Metodo del gradiente .............................................................................................................. 64
• Metodo del gradiente precondizionato ...................................................................................... 64
• Metodo del gradiente coniugato .............................................................................................. 65
• Metodo del gradiente coniugati precondizionato ...................................................................... 65

Ricerca di autovalori e autovettori

• Metodo delle potenze ............................................................................................................ 66
• Metodo delle potenze inverse ................................................................................................. 68
• Metodo delle potenze inverse con shift ................................................................................... 69
• Teorema di localizzazione di Gershgorin.................................................................................. 69

Elementi finiti in due dimensioni

• Problemi con diversi dati al bordo ........................................................................................... 73

Metodi di risoluzione dei problemi di Cauchy (ODE)

• Metodi di Eulero .................................................................................................................... 76
• Perturbazione nel problema di Cauchy .................................................................................... 80
• Metodo di Crank-Nicolson ..................................................................................................... 82
• Metodo di Heun e Runge Kutta 4 ............................................................................................. 84
• Metodi multistep ................................................................................................................... 85
• Problemi stiff ......................................................................................................................... 86
• Problemi di Cauchy con equazione differenziale di ordine maggiore di uno ......................... 88
• Equazioni differenziali al secondo ordine ................................................................................... 89
• Equazione del calore .............................................................................................................. 90
• Equazione delle onde .............................................................................................................. 98