Analisi numerica

Introduzione

L'analisi numerica è una branca della matematica che si occupa di fare svilurire calcolo numerico (di quantità continue) efficienti, per teoriche verificazioni e pratici algoritmi.

Le quattro continue che andremo a calcolare sono:

• Soluzioni di sistemi: inversa determinante rango, autovalori/autovettori, nucleo rango di una matrice.
• Zero di polinomi e di un intero algebrico.
• Approssimazione di funzioni con funzioni più semplici (tipo polinomi).
• Soluzioni di EDI in ordine a 2 a derivate parziali.

Di questi problemi ci occuperemo in un prossimo abbastanza lungo UTE OPCSA

in un sub classico. La cui forma è in un algoritmo evidentemente ben goduto.

Esempi

• x² = 2 sol subloca SOL “NUMERICA”x_k+1 = x_k - P(x_k) / P'(x_k)
• x³ + x² – x + x = 0
• x⁵ + x⁴ – x + 1 = 0

Teorema di Ruffini-Abel (1800)

Una formula che permette di trovare soluzioni a eq. di 5^o grado usando solo operazioni elementari e radici.

GNO DIM. Una sol. approssimata è necessaria per risolvere normalmente problemi.

=> cn cd cn cn => il grado massimo di eq. risolv. in generale (secondo Haruhiah, Cardano, Ferrari) per quelle lineari indicente è di grado quadrato massimo.

C. sono diversi algoritmi di soluzione che si servono di diverse teorie matematiche.

Teorema dell'Esistenza (Metodo di Bisezione)

f: [a,b] → R continua ⇒ ∃x∈[a,b] t.c. f(x)=0

f(a)f(b)<0

Nella dimostrazione si varia il metodo di bisezione. a₀=a b₀=b c₀=\( \frac{a_{0}+b_{0}}{2} \)

• Se f(c₀)=0 => x= c₀
• Se (f(c₀)f(a₀)<0) => a₁=a₀ b₁=c₀ c₁=\( \frac{a_{1}+c_{0}}{2} \)
• altrimenti c₀ = a₀ b₀ c₁ = b₀ c₀ = \( \frac{b_{0}+c_{0}}{2} \)

Così definiscono ai ai bi ai bi : t.c. di ai bi= \( \frac{f}{2^{i}} \)

• Ej: monotona non crescente e limitata & Bdj: monotona non crescente e limitata

lim ai= aiⁱ, lim bi=biⁱ con a_i<b_ico => d!=0 e f(ai)=0 infiniti.

b₂-a₂, b_i-a_i ≤\( \frac{b-a}{2^{i}} \) => b₂-a₂ ≤ 2^ti

# f(a_i)=0, a_i>p>0 yεxε[0: q, ai f(a())2≤b(x)≥0 ∉

Teorema di Cartan-Dieudonné (Metodo di House Holder)

∀ isometria lineare dello spazio euclideo espresse in funzione di m riflessioni rispetto ad un iperpiano vettoriale.

Teorema di Weierstrass

f ∈C₀[a,b] ⇒∃ε 1∃ polinomio | max [p(x)-f(x)] ≤ ε

Nella dimostrazione consideri [a,b]=[a,b]. B₁[x]=\[ \frac{\sum_{k=0}^{n} f(a+k k_{=}(b-a){n}){n}x_{k_{=}} a_{nk_{k}} } \]

• Considerare la digit representation
• Fissata una base β≥2 vi è una corrispondenza fra [0,R) e il segmento di curve via non sui punti pollici e i possibili che vengono rappresentano lo stesso numero (0,d1,d2,...)

R =∑(di·β^(-i))

con di ∈ {0,...,β-1} con d1 ≠ 0

• fissato un punto X ∈ {0,d1,d2,...} vi è una curva in virgola mobile X ∈ {0,d1d2d3...}^β

Teorema

Teorema sulla base di rappresentazione

Se β≥2 base ∃ univ. scompos. {di} i=1 t.c.

1) di∈{0,...,β-1}

2) d1 ≠ 0

3) di non esistono uguali a β-1 (cos, K in vineto insiemi ordinati dip β=1 vecK)

X=∑(i ≥ log(n)(β)^p/pi)d

Mantissa (serie origine di)

(No due)

• Si può usare per selezionare un insieme finito di numeri, cioè trovare un numero con mantissa M finita per fare ciò introduciamo numeri macchina

½(β+1,m,t)∈{0}/^{{± β^p}} β^p

dʲ ≤ m ≤ P+1 ok sci-o interf ℓz, t(a,t+o})

con mᵢ∈ℕ, t;>0 (# o cifre nella mantissa) R > 2 (base)

Ho un numero con 0 chi t+1 posto n di. (0,d1d2...dʲ/β^eP∃) floating number x∈R e ∃ un insieme finito con geom m(a/x,t l+1/2(m+1+5) (β-1)

x=∑{β^P} β^(-1)(β-1)∑_jβ^(-1) β^(μ-1) + 2 il più grande numero n ^β 3 pollici pv1 e le cifre sono β-1

ω=β^P β^(p-1)= n il più piccolo numero di β>1 positivo ottimale le cifre sono ten. o rimane l'uno che è 1

Se x ≥ ω non riesco a rappresentarlo

Se 0 < x < ω trovi un grande errore relativo per rappresentarlo

Inoltre, quando valuto f(x) con x∈R^m non è detto che xe∉numeri macchina che danno valore g(x) con x̅=f(x̅) con errore relativo.

ε_r= ̅− /

Detto errore imponente che abbattuto stesso ̅−/ con valore considerando sapere x∈R.

Ma in realtà non valuto f(x) tramite operazioni attive che da real ma valuto di ciò esempio ottengo sostenendo le cose autentiche con valore a macchina, si dice errore algoritmico.

Da studiatore valutato di errore:

• Errore Analitico

Soltanto che si studia a parte è sovvia aderente da modello, e che quando approssimo qualcosa con una funzione particolare.

• A) Esordio: I Restodi (Lagrange)

Devo valutare f(x)=e^x ma non posso con operazioni a macchina.

Quindi considero φ(x)=1+x+ ^x2/_2!... Funzione razionale che approssima f in un intorno 0.

L'errore analitico è dato con teorema di Reste di Lagrange che dice:

ε_a(x)=f(x)−φ(x)= ^f(m+1)*ε/_(m+1)! ξ_c∈(x,0) dove (0, x)∈R^m convesso, m= ^Σ i=0x, 0≤k C=[C₁₁]

- Le pertubazioni alle colonne sono quelle delle colonne o righe

B = [b₁ b₂ ... b_m] ∈ K^km

A = [a_t]^mxn ∈ K^kn

=> AB = [Ab₁] | AB₂ = [a₁ B]

[r₁b₁...r₁b_m]

[a₁a₁...a_mb_m]

Def

T ∈ K_m^xn (cioè m = 1 = m)

- Si dice triangolare superiore = t_ij = 0 ∀ i > j

- Si dice triangolare inferiore = t_ij = 0 ∀ i < j

Prop

Le matrici triangolari superiori con dimensione m sono una sottodivisione di K_mm

Dim

- ∀ T tri sup => T ∈ K_mm ✓

- L'associatività e distributiva alle matrici vale K^amxn