Analisi numerica

Analisi Numerica e Calcolo Numerico

Introduzione

• L'analisi numerica è una branca della matematica che si occupa di dare strumenti per il calcolo numerico (di quantità "continue") efficienti (teorici: teoremi) e pratici (algoritmi).
• Le quantità "continue" che dovrebbero calcolarsi sono:
  • Soluzioni di equazioni
  • Soluzioni di sistemi lineari, determinante rango, autovalori/autovettori, nucleo, inversione di una matrice
  • Vendola, derivate (prime e derivate parziali)
  • Approssimazione di funzioni continui e di semplici (tipo polinomi)
  • Risoluzioni di E.D.O, derivate e a derivate parziali

Di questo problema si occuperanno il mondo informatico matematico che fornisce su di esse modelli, teorie applicando i calcolatori (macchine) che costruirà erogando algoritmi, quindi nel caso di uscite scientifiche (anche sui calcolatori "macchine" introdurne per testare). Non ci occuperemo dell'implementazione.

Sviluppi:

• Matrici: Teorie matematiche
• Sviluppi antichi: algoritmi

Quindi quali informazioni esistono e con pressioni efficienti numericamente stabili (cioè non produce errori)

• Soluzioni a un basso costo computazionale
• Tempo ragionevoli

Consideriamo le soluzioni di un'equazione nel dominio che ti soluzioni simbolica (costituita da simboli noti), e soluzioni numerica (costituite tramite il limite di un operatore).

Esempi

1. \(x^2 = 2\) → \(x = \sqrt{2}\)

\(x\) è il limite della successione

\(x_{k+1} = \frac{x_k + 2}{2x_k}\), \(x_0 = 2\)

Sol simbolica, Sol "numerica"

2. \(x^3 + x^2 - x + 1 = 0\) → \(x = \frac{1}{3}(-1 \pm \sqrt{4 - 1})\)

\(x\) è il limite della successione

\(x_{k+1} = x_k - \frac{P(x_k)}{P'(x_k)}\), \(x_0 = -2\)

Sol simbolica, Sol "numerica"

3. \(x^5 + x - x + 1 = 0\) →

Sol simbolica in forma chiusa con simboli noti

\(x\) è il limite della successione

\(x_{k+1} = x_k - \frac{P(x_k)}{P'(x_k)}\), \(x_0 = -2\)

Sol "numerica"

Analisi Numerica e Calcolo Numerico

Introduzione

• L'analisi numerica è una branca della matematica che si occupa di dare strumenti per il calcolo numerico di quantità complesse (efficienti tecniche teoriche -> velocità, pratici algoritmi)
• Le quattro domande che dovremmo collocare sono:
  • soluzioni di equazioni
  • soluzione di sistemi lineari, determinante rango, autovalori/autovettori
  • norma, inverse di una matrice
  • integrazione, derivazione
  • approssimazione di funzioni continue su semplici (tipo polinomi)
  • problemi di equazioni a derivate parziali
• Di questo problema ci occuperemo del procedimento di calcolo infinito che ossia si sviluppa in tempi ragionevoli e che consenta errori quindi il fatto che il calcolatore esegua il calcolo in modo efficiente (allora gli strumenti diventano per questo). Non ci occuperemo dell'implementazione
• Strumenti Antichi: Teoremi Matematici (Classica)
• Strumenti Moderni: Algoritmi
• Quindi gli algoritmi di soluzione devono: essere con precisione efficienti numericamente stabili (cioè non amplificare errori)
  • soluzioni a un basso costo computazionale (tempi ragionevoli)
• Consideriamo le soluzioni di un'equazione nel senso di ottenere soluzioni numeriche (costituiti tramite il limite di una operazione, soluzione numerica)

Esempi

- x² = 2 -> x = √2-> x è il limite della successionex_k+1 = _{xk² + 2}/^2x_k, x₀ = 2Sol. Simbolica, Sol. "Numerica"

- x³ + x² - x + 1 = 0 -> ₁/³ (-1 √4₁/³ -)-> x è il limite della successionex_k+1 = x_k - _P(xk)/^P'(x_k), x₀ = -2Sol. Simbolica, Sol. "Numerica"

- x⁵ + x⁴ + x + 1 = 0Soluz. Simbolica in forma chiusa con simboli noti-> x è il limite della successionex_k+1 = x_k - _P(xk)/^P'(x_k), x₀ = -2Sol. "Numerica"

Teorema di Ruffini 1800

Una formula che permette di trovare soluzioni di eq. di 5^o grado usando solo operazioni elementari e radici.

Ogni equazione ammette una sol. approssimata necessaria per risolvere equazioni razionali: matrice Vandermonde, autorefferent...

Teorema degli zeri (metodo di bisezione)

f: [a,b] -> R continua ⇒ ∃ x ∈ [a,b], t.c. f(x) = 0

In questi sistemi esistono algoritmi di risoluzione che si basano su diverse teorie matematiche

Nella dimostrazione si usa il metodo di bisezione: a₀ = a, b₀ = b, c₀ = ^{a₀ + b₀}/₂

f(a₀) × f(a₁) > 0 ⇒ a₀