Analisi numerica

Analisi Numerica

Da risolut numerica delle funzioni dell’analisi: avrò bisogno dell’intervallo in cui trovare la soluzione. Lì si introm.ricondux un algoritmo del problema specifico. Utilizzeremo il FORTRAN per usure il Calcolatore. Potrdescrivere un alposritmo anche tramite un dispreasmo di Alurs.

Ex.: risoluzione di una equazione di 2^ogrado

ax²+bx+c=0

x_1,2=-bb²-4ac/2a

Sempre si pster operare sleu nei reeli.

• input a, b, c
• d=b²-4ac

V d >0 F

x₁=^{-b - d}/2a

x₂=^{-b + d}/2a

scrivi x₁, x₂

ALTR

p¹=/2a

p¹=d/2a

Scrivi p_r, p_i

p_r,~p_i

operatori aritmetiche

operatori I/O

operatori logiche (vero, fale)

=è un operates di assegnazione (: — del PASCAL)non è l l’equals aritmetico.

• Degli einn sui lat inviidi nis propagfineranno. Avrò fondamentalmente due tipi di erroiri:
• errari ARITMETICI (o corovdonrants)
• errari di TRONCiAMEnto
• erroei aritmetici:
• a) i dati nunrerici foruvor affetv di erori

ad es.: 3,1414516

| E | < 0,5 ^x10−man

ho approssimato alein cifra decimali.

Analisi Numerica

27/02/87

Da risolte numerica delle funzioni dell’analisi: avrò bisogno dell'intervallo in cui trovare la soluzione. Ci si ritorna ricando un algoritmo del problema specifico. Utilizzeremo il FORTRAN per usare il calcolatore. Potrò descrivere un algoritmo anche tramite un diagramma di flusso.

Es: risoluzione di una equazione di 2^° grado

ax² + bx + c = 0

x_1,2 = ^{-b ± √(b2 - 4ac)} / _2a

Suppongo si poter operare solo nei reali.

Leggi a, b, c

d = b² - 4ac

V d > 0

F

x₁ = ^{-b - √d} / _2a

x₂ = ^{-b + √d} / _2a

Scrivi x₁, x₂

ALT

p₁ = ^-b / _2a

p₂ = √d / 2a

Scrivi p₁, p₂

p₁ - p₂

Interazioni aritmeticheoperazioni I/Ooperazioni logiche (vero, falso)

= è un operatore di assegnazione (:= del PASCAL) non è il segnale aritmetico.

Degli errori sui lati invisibili si propagheranno.

Avrò fondamentalmente due tipi di errori:

1. errori Aritmetici (o arrotondamenti)
2. errori di TRONCAMENTO

- errori aritmetici:

a) i dati numerici possono avere effetti di errori

ad es.: 3,141516 |E| < 0,5 x 10^-_mm

ho approssimato ed in cifre decimali.

avrò pure

0,1 = ¹⁄₁₀ in binario diviene un numero periodico, e non può essere

rappresentato precisamente.

b) gli errori si propagano attraverso le operazioni:

x, y

X = x* + ε₁

y = y* + ε₂

SOMMA

x + y = x* + y* + ε₁ + ε₂

avrà la SOMMA degli errori.

MOLTIPLICAZIONE

xy = x*y* + x*ε₂ + y*ε₁ + ε₁ε₂

ho il prodotto misto.

c) operazioni tra numeri con effetti di errore potranno produrre errore

1 : 3 = 0,3333...

L'errore potrà essere amplificato in questo caso:

|ε| ≤ 0,3 × 10^-4

ORA

Errori di TRONCAMENTO:

Le mappe porte degli algoritmi sono imprecisi e più di per sé comportano errori.

Es.: Calcolo di una funzione tramite formula di TAYLOR.

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + ^f''(x₀)⁄_2!(x - x₀)² + ... +

^f(n)(x₀)⁄_n!(x - x₀)ⁿ

ignorando gli errori aritmetici alla fine avrà un errore che dipende dal metodo.

Tale errore è dato dal resto di Lagrange

R(x) = ^f(n+1)(ξ)⁄_(n+1)!(x - x₀)ⁿ⁺¹

ORA :

- Errore assoluto ed errore relativo :

E (errore assoluto) = Valore vero - Valore calcolato

E_R (errore relativo) = ^E⁄_{Valore vero}

Errore

Supponiamo di avere una funzione di n variabili e le solite calcolare; supponiamo di avere degli errori:

f(_{x1, x2, ..., xm})

• x = x₁^* + ε₁
• x₂ = x₂^* + ε₂
• ...
• x_m = x_m^* + ε_m

Come si propagano gli errori in x₁, x₂