Analisi numerica

Analisi Numerica 27/02/87 Prof. Pesamosca

Risolvere numericamente le equazioni dell'analisi! Avrò bisogno dell'intervallo in cui trovo le soluzioni. Ciò si ottiene ricavando un algoritmo del problema specifico. Utilizzeremo il FORTRAN per usare il calcolatore. Potrò descrivere un algoritmo anche tramite un diagramma di flusso.

Es: risoluzione di una equazione di 2^o grado

ax² + bx + c = 0

Suppongo di poter operare solo nei reali.

• Leggi a, b, c
• d = b² - 4ac
• Se d > 0
• r₁ = -b + √d / 2a
• r₂ = -b - √d / 2a
• Scrivi r₁, r₂
• Altrimenti
• Scrivi "r1 = r2 = -b / 2a"
• Scrivi "r' = √d / 2a"
• Scrivi r₁(+p), r₁(-p)

Dei errori sui dati iniziali si propageranno. Avrò fondamentalmente due tipi di errori:

1. Errori aritmetici (o arrotondamenti)
2. Errori di troncamento

Errori Aritmetici:

• I dati numerici possono avere effetti da errori ad es: 3,1415616 |E| < 0,5 x 10^-m

avrò pure

0,1 = ¹⁄₁₀ in binario diviene un numero periodico e non può essere rappresentato precisamente.

b) gli errori si propagano attraverso le operazioni:

x₁ Somma

x₂

x + y = x* + y* + E₁ + E₂

avrò la Somma degli errori,

XY= x*y* + x*E₂ + y*E₁ + E₁E₂ ho il prodotto misto.

c) operazioni tra numeri con effetti de errori potranno produrre errori

1 : 3 = 0,3333...

l'errore potrò essere approssimato

in questo caso: lE 0,3 x 10^-4

ORA

Errore di TRONCAMENTO:

le maggior parte degli algoritmi sono impecciati e pie di sorsa comportano

errore.

Ex: Calcolo di una funzione tramite formula di TAYLOR.

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + ^{f''(x₀)(x-x₀)2}⁄_2!

+ ... + ^{f(n)(x₀)(x-x₀)n}⁄_n!

ignorando gli errori aritmetici alla fine avrò un errore che dipende del metoto.

tale errore è dato del resto di taylor.

R(x) = ^f(n+1)(ξ)⁄_(n+1)! (x-x₀)ⁿ⁺¹

ORA:

Errore assoluto ed errore relativo:

E(errore assoluto) = Valore vero - Valore calcolato

E_R(errore relativo) = ^E⁄_{valore vero}

Il complesso di istruzioni eseguite ripetutamente finchè una condizione è vera è detto ciclo.

Nel disegnamo gli ambiti delle variabili. Possono essere di tipo reale o di tipo intero, ci sono anche altre variabili che vedremo.

Per quanto riguarda la struttura, potrà avere delle variabili semplici o dei vettori (cores). In quest ultimo caso una variabile avrà un indice (ACM), tale variabile è detta strutturata.

Q&A:

Algoritmi approssimati ed algoritmi non approssimati.

I primi si raggiungono la soluzione esatta in un paso finito di operazioni

I secondi, anche quando termina il programma non ho la soluzione esatta (curve di troncamento, serie formule di Taylor).

Q&A:

In matematica

• vettori
• matrici
• funzioni
• successioni

hanno alla base proprietà comuni.

Tale unificazione è data perciò a spazi vettoriali.

Introduciamo gli spazi lineari (o vettoriali)

Si indica con lettere corsive maiuscole.

È un insieme di elementi sui quali sono definite due operazioni:

La somma: X, Y ∈ E (Più elementi potranno essere matrici, vettori, funzioni, etc.)

X + Y = Z con Z ∈ E

È definita anche l'operazione di prodotto per uno scalare

Campo scalare F = reale

αX = Y α ∈ F e X, Y ∈ E

Esempi:

X = [ x₁ x₂ x₃ ]

Y = [ y₁ y₂ y₃ ]

Uno altro spazio: spazi normati:

Spazi delle funzione insiemi che sono sommabili nell'intervallo [a,b]

L¹[a,b] uno spazio piú generale di C in cosí e periodo dello spazio C

Esempio:

L²[0,1] 2xt la funzione

normalmente qui si definisce la norma

||u||= sqrt ∫₀¹ (u(x))²dx (varie anche per funzione complesse con l'assiomat□ di approgiare il modulo)

in quête funione no e definito un massimo.

Uno spazio lineare con la norma e detto SPAZIO LINEARE NORMATO.

In tale spazio potro definire la distanza tra due punti:

d(X,Y) = ||X-Y||

ora ci mettiamo in L²[a,b] la distanza sará:

d₂(x)(Y) = sqrt ∫_a⁽super⁾b (u(x) - v(x))²dx

Successione di punti di uno spazio lineare

Como definire il limite?

(X_n) ⟶ X se lim_n⟶∞ ||X_n - X|| = 0.

Uno successione é di Cauchy se:

lim_n⟶∞ ||X_n - X_m|| = 0n⟶∞ m⟶∞

Se ci treamo in R la condizione di Cauchy era condizione necessari e e sufficñ enefini la successione aff convergente.

Questa prooet\t no e vera en Eri in percolo in uno spazio lineare quabrian:

Esempio:

C[-1,+1] (fun continue) e consider norm

||u||_∞(x) = |0 -1 ≤ x ≤ 0 x 0 ≤ x ≤ 1

Calcolo P_m(X_i ):

P_m(X_i )= L₀(X_i )f₀ + L₁(X_i )f₁ + ... + L_i(X_i )f_i + ... + L_n(X_i )f_n =

Tale polinomio interpolate è unico. Si scede da:

P_m(x) = c₀ + c₁ x + c₂ x² + ... + c_n xⁿ

X_i impongo le n+1 condizioni e scriviamo sostituire il sistema di n+1 eq. nelle n+1 eq.

c₀ + c₁ x₀ + c₂ x₀ ² + ... + c_n x₀ ⁿ = f₀

c₀ + c₁ x₁ + ... + c_n x₁ ⁿ = f₁

...

c₀ + c₁ x_n + ... + c_n x_n ⁿ = f_n

Scriviamo il determinante dei coefficienti: (determinante della sturna) (di Van der Monde)

D=

• 1 X₀ X₀ ² ... X₀ ^m
• 1 X₁ X₁ ² ... X₁ ^m
• ... X_n X_n ² ... X_n ^m

Si dimostra che D ≠ 0

Il sistema lincero ammette 1 sola soluzione, quindi il polinomio interpolatore esiste ed è unico.

I i-esimi coeff. proporzions pivis denaro scritti e sinteticamente :

L_i ( x ) = _Ψ(x)/^{( x - x_i ) Ψ' ( x_i )}

Se considero abbatto

Ψ(x) ottengo proprio in numeratore di L_i ( x ),

Ψ' ( x_i ) = ( x_i - x₁ ) ( x_i - x₂ ) ... ( x_i - x_i ) ... ( x_i - x_m )

ed è poprio il denominatore

Il termine di resto non siamo in grado di valutarlo esattamente.

Si può fare tutt'al più una maggiorazione del resto:

Indichero con F[...,...] max_{a ≤ x ≤ b} f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) e f^m+1 = min_{a ≤ x ≤ b} |ψ(x)| ⋅ F[(n+1)] / (m+1)!.

OBA:

esaminiamo:

Considero una f(x) in un certo intervallo A=[a,b]

Scelgo due nodi x₀ e x₁ e costruisco il polinomio interpolatore.

Ne aggiungo un altro x₂ e faccio la stessa cosa e così via.

Avrò una successione di polinomi interpolatori P₁(x), P₂(x), P₃(x).

Posso dire che al crescere di n la successione tende alla funzione?

(i.e. lim_{n → ∞} P_n(x) = f(x)?). IN GENERALE NON È VERO.

Si possono però dare delle condizioni sufficienti perché la condizione di limite esista. Tali condizioni sono:

|f^(k)(x)| ≤ M

Cioè devo avere una costante che maggiora le derivate di ordine comunque elevato (derivate equilibrate).

Potro scriver quindi che:

| E_n(x) = ψ(x) f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (m+1)! | ≤ |(b - α)ⁿ⁺¹ M / (m+1)! |

Da ciò si vede che:

lim_{n → ∞} | E_n(x) | = 0

Posso anche dire in altre parole che la convergenza è UNIFORME.

Cioè in altre parole:

∀δ > 0 ∃ V > ∀m > V ε che valga quindi:

|E_m(x)| < ε

è comunque una ipotesi molto restrittiva.

Ad esempio le derivate di e^x e cos²x non rispondono alla condizione.