Analisi numerica

Analisi numerica

Da risolut numerica delle funzioni dell’analisi: avrò bisogno dell’intervallo in cui trovare la soluzione. Lì si introm.ricondux un algoritmo del problema specifico. Utilizzeremo il FORTRAN per usure il Calcolatore. Potrdescrivere un alposritmo anche tramite un dispreasmo di Alurs.

Ex.: risoluzione di una equazione di 2^ogradoax²+bx+c=0x_1,2=-bb²-4ac/2aSempre si pster operare sleu nei reeli.input a, b, cd=b²-4acV d >0 Fx₁=^{-b - d}/2ax₂=^{-b + d}/2ascrivi x₁, x₂Altrp¹=/2ap¹=d/2aScrivi p_r, p_ip_r,~p_ioperatori aritmeticheoperatori I/Ooperatori logiche (vero, fale)=è un operates di assegnazione (: — del PASCAL)non è l l’equals aritmetico.

Degli einn sui lat inviidi nis propagfineranno. Avrò fondamentalmente due tipi di erroiri:errari aritmetici (o corovdonrants)errari di Troncamentoerroei aritmetici:a) i dati nunrerici foruvor affetv di eroriad es.: 3,1414516| E | x10−^manho approssimato alein cifra decimali.

Analisi numerica

27/02/87

Da risoluzione numerica delle funzioni dell’analisi: avrò bisogno dell'intervallo in cui trovare la soluzione. Ci si ritorna ricando un algoritmo del problema specifico. Utilizzeremo il FORTRAN per usare il calcolatore. Potrò descrivere un algoritmo anche tramite un diagramma di flusso.

Risoluzione di un'equazione di secondo grado

Es: risoluzione di una equazione di 2^° gradoax² + bx + c = 0x_1,2 = ^{-b ± √(b2 - 4ac)} / _2a

Suppongo si poter operare solo nei reali.

Leggi a, b, cd = b² - 4acV d > 0Fx₁ = ^{-b - √d} / _2ax₂ = ^{-b + √d} / _2aScrivi x₁, x₂Altp₁ = ^-b / _2ap₂ = √d / 2aScrivi p₁, p₂p₁ - p₂

Operatori ed errori

Interazioni aritmeticheoperazioni I/Ooperazioni logiche (vero, falso)= è un operatore di assegnazione (:= del PASCAL) non è il segnale aritmetico.

Degli errori sui lati invisibili si propagheranno.

Avrò fondamentalmente due tipi di errori:

• Errori aritmetici (o arrotondamenti)
• Errori di troncamento

Errori aritmetici

- errori aritmetici:

a) i dati numerici possono avere effetti di erroriad es.: 3,141516 |E| < 0,5 x 10^-_mmho approssimato ed in cifre decimali.

avrò pure0,1 = ¹⁄₁₀ in binario diviene un numero periodico, e non può essererappresentato precisamente.

b) gli errori si propagano attraverso le operazioni:

x, yX = x* + ε₁y = y* + ε₂

Sommax + y = x* + y* + ε₁ + ε₂avrà la SOMMA degli errori.

Moltiplicazionexy = x*y* + x*ε₂ + y*ε₁ + ε₁ε₂ho il prodotto misto.

c) operazioni tra numeri con effetti di errore potranno produrre errore1 : 3 = 0,3333...

L'errore potrà essere amplificato in questo caso:|ε| ≤ 0,3 × 10^-4

Errori di troncamento

OraErrori di troncamento:Le mappe porte degli algoritmi sono imprecisi e più di per sé comportano errori.

Es.: Calcolo di una funzione tramite formula di Taylor.

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + ^f''(x₀)⁄_2!(x - x₀)² + ... +^f(n)(x₀)⁄_n!(x - x₀)ⁿignorando gli errori aritmetici alla fine avrà un errore che dipende dal metodo.

Tale errore è dato dal resto di LagrangeR(x) = ^f(n+1)(ξ)⁄_(n+1)!(x - x₀)ⁿ⁺¹

Errore assoluto ed errore relativo

Ora :- Errore assoluto ed errore relativo :E (errore assoluto) = Valore vero - Valore calcolatoE_R (errore relativo) = ^E⁄_{Valore vero}Errore

Supponiamo di avere una funzione di n variabili e le solite calcolare; supponiamo di avere degli errori:

f(_{x1, x2, ..., xm})x = x₁^* + ε₁x₂ = x₂^* + ε₂...x_m = x_m^* + ε_mCome si propagano gli errori in x₁, x₂