Analisi numerica

T

Sia A simmetrica -> A=A T

Si può allora porre questa matrice sotto la forma A=L L cioè il prodotto di due matrici

T

trangolari dove L è la matrice triangolare inferiore e L la matrice trangolare superiore.

a a a l l l l

0 0

11 12 13 11 11 12 13

a a a l l

l l

0 0

= x

21 22 23 21 23

22 22

a a a l l

l 0

l 0

31 32 33 31 33

32 33 T

A = L x L

Si effettua il prodotto tra matrici e si uguaglia ad A e si determinano gli

elementi di L. T

si pone L =y

x

2

T

Si pone A =L L =C dove

x x L x y=C

1

y

1

r

1- si risolve pe y

2

y

3 xT T

Trovati i valori di y si pone L =y -> si calcola la L superiore e impostare

x

il sistema con incognite (x x x ).

1 2 3

07. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 8, 4, 2; 4, 6, 0; 2, 0, 3] e C=[ 1; 1; 1]. Determinare la matrice L di Cholesky.

12. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0.17; -0.25; 0.25; -0.20] e due cifre decimali.

13. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2; 4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ -0.25; 0.44; 1.11; 2.72] e due cifre decimali.

14. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[3, -2, 0; -2, 4, 2; 0, 2, 2] e C=[1; 4; 4]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un

vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0] e due cifre decimali.

Iterazione 1

Iterazione 2

15. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[4, 1, 0, 0; 1, 5, 1, 0; 0, 1, 6, 1; 1, 0, 1, 4] e C=[1; 7; 16; 14].

Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0]

e quattro cifre decimali.

16. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2; 4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e due cifre decimali.

17. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2; 4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0.25; 0.44; 1.11; 2.72] e due cifre decimali.

18. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ -0.400; -0.085; 0.390; -0.800] e tre cifre decimali.

19. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 1; 1; 1; 1] e tre cifre decimali.

20. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ -0.250; 0.500; -0.170; -0.085] e tre cifre decimali.

21. La propagazione degli errori: cos'è, quando si verifica e come si può intervenire.

Cosa è?

Gli errori si amplificano durante la risoluzione numerica di un problema matemantico e la questione di come si propaghi l9errore

sul risultato è di fondamentale importanza.

Un algoritmo risolutore non è altro che una serie di operazioni elementari, il suo risultato finale dipende però da come gli errori si

amplificano nei vari passaggi successivi dell9algoritmo stesso.

Quando si verifica?

Si verifica a causa dell9accumularsi degli errori di arrotondamento dovuto al numero elevato di iterazioni effettuate per risolvere

sistemi di grandi dimensioni.

Come si può intervenire?

Utilizzando i sistemi interattivi si può tenere l9errore sotto controllo fissando a priori una tolleranza dell9errore che va però

verificata ad ogni iterazione tra il risultato ottenuto e quello immediatamente precedente. Verificata la convergenza verso un

che è la soluzione e fissata una tolleranza E l9entità dell9errore è trascurabile.

valore s

22. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e due cifre decimali.

23. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2; 4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e due cifre decimali.

Lezione 18

05. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, 1, 0, 0; 1, 5, 1, 0; 0, 1, 6, 1; 1, 0, 1, 4] e C=[1; 7; 16; 14]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Jacobi, partendo

da un vettore iniziale x(0)=[ 0.2500; 1.4000; 2.6667; 3.5000] e quattro cifre decimali.

06. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, 1, 0, 0; 1, 5, 1, 0; 0, 1, 6, 1; 1, 0, 1, 4] e C=[ 1; 7; 16; 14]. Eseguire due iterazioni con il metodo di

Jacobi, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e quattro cifre decimali.

11. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -9, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Bisezione utilizzando come valori di partenza

x1= 2.5 e x2= 3.

12. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -9, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Bisezione utilizzando come valori di partenza

x1= 2 e x2= 3.

Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, 0, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Bisezione utilizzando come valori di

13.

partenza x1= 1 e x2= 2.

14. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, 0, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Bisezione utilizzando come valori di partenza x1= 0 e

x2= 2.

15. Nel metodo di Bisezione, quando ed in che modo si decide di interrompere le iterazioni?

Cambia qualcosa

Per decidere quando interrompere le iterazioni del metodo di bisezione è

necessario un criterio.

L9 idea più semplice è quella di interrompere i calcoli quando l9errore scende al di sotto di un

valore prefissato.

Per valutare l9errore senza conoscere il valore esatto della radice cercata, si

utilizza la stima dell9errore approssimato :

E

a

ratt rprec

Dove x è il valore della radice nell9iterazione corrente; x è il valore calcolato

nell9iterazione precedente.

Bisogna precisare che E viene preso in valore assoluto in quanto ciò che

a

interessa è la sua grandezza e non il segno.

Quando | E | diventa minore di un valore di riferimento prefissato allora si

a

interrompe il calcolo.

16. Data la seguente equazione non lineare f=[ 46, 0, 3, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Bisezione utilizzando come valori di partenza x1= -4 e

x2=1.

17. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, -1, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Bisezione utilizzando come valori di partenza x1= -10

e x2= 1.

08. Nel metodo di Falsa Posizione, quando ed in che modo si decide di interrompere le iterazioni?

Cambia qualcosa

Per decidere quando interrompere le iterazioni del metodo di è

Falsa Posizione

necessario un criterio.

L9 idea più semplice è quella di interrompere i calcoli quando l9errore scende al di sotto di un

valore prefissato.

Per valutare l9errore senza conoscere il valore esatto della radice cercata, si

utilizza la stima dell9errore approssimato :

E

a

Dove x è il valore della radice nell9iterazione corrente; x è il valore calcolato

att prec

r r

nell9iterazione precedente.

Bisogna precisare che E viene preso in valore assoluto in quanto ciò che

a

interessa è la sua grandezza e non il segno.

Quando | E | diventa minore di un valore di riferimento prefissato allora si

a

interrompe il calcolo.

09. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, 0, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa posizione utilizzando come

valori di partenza x1= 0.5 e x2= 2.

10. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, 0, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa posizione utilizzando come

valori di partenza x1= 0 e x2= 2.

11. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -9, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa posizione utilizzando come

valori di partenza x1= 2.9 e x2= 3.

12. Data la seguente equazione non lineare f=[ 46, 0, 3, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione, utilizzando come

valori di partenza x1= -4 e x2= 1.

13. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -9, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa posizione utilizzando come

valori di partenza x1= 2 e x2= 3.

14. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1/6, 0, -1/6]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione utilizzando come

valori di partenza x1=0.03 e x2= 10.

15. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1/6, 0, -1/6]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione utilizzando come

valori di partenza x1= 0 e x2= 10.

16. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 3, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione utilizzando come valori di

partenza x1= -0.5 e x2= 0.

17. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 3, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione utilizzando come valori di

partenza x1= 0 e x2= 4.

18. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, -1, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione utilizzando come

valori di partenza x1= -10 e x2= 1.

Lezione 23

07. Determinare lo zero della seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -1, -2] con il metodo di Newton Raphson utilizzando come valore di

partenza x0= 2 e due cifre decimali.

08. Determinare la radice positiva della seguente funzione f=[ 1, -1, -2] con il metodo di Newton-Raphson utilizzando come valore iniziale x0=2

e quattro cifre decimali.

09. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, -1, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Newton-Raphson utilizzando come

valore di partenza x0= 2.33 e due cifre decimali.

10. Determinare la radice negativa della seguente funzione f=[ 1, -1, -2] con il metodo di Newton-Raphson utilizzando come valore iniziale x0=-

0.7 e quattro cifre decimali.

f(x )=-3

3

11. Data la seguente funzione f=[ 2, -3.46, 0.8, -1.39]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Newton-Raphson utilizzando come valore iniziale

x0=2 e quattro cifre decimali.

12. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, -2, 3, 6]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Newton Raphson utilizzando come

valore di partenza x0=-5/4 e tre cifre decimali.

13. Nel metodo di Newton Raphson, quando ed in che modo si decide di interrompere le iterazioni?

Come criterio di arresto per il metodo Newton-Raphson si può utilizzare la formula che stima l9errore

approssimato E consentendo di valutare l9errore senza conoscere il valore esatto della