Analisi matematica

Lezione 034

01. Il dominio di f(x)=ln(x-|2x-1|) è

]-∞,1]

[½,+∞[

[⅓,1]

]⅓,1[

02. La funzione f(x)=ln(1-2x+√x) è definita per

x<1

0≤x<1

1/4<x<1

x≥0 +∞,

3. Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x), definita e derivabile per x>-1, passante per l'origine, con limite per x che tende a -1 pari a

f(2)=1 massimo, f'>0 solo per 0<x<2, y=0 come asintoto orizzontale. Determina il numero di soluzioni dell'equazione f(x)=k al variare di k reale.

3

04. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=x -3x, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi.

lO M oA R cP S D| 9679654

3 2

5. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=|x| -3x , riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare

lo studio della derivata seconda. lO M oA R cP S D| 9679654

2

6. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=ln(x -2x), riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo

studio della derivata seconda. lO M oA R cP S D| 9679654

1-x

7. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=xe , riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare

lo studio della derivata seconda. lO M oA R cP S D| 9679654

2 -1/2

8. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=(x -1) , riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare

lo studio della derivata seconda. lO M oA R cP S D| 9679654

2 -1

9. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=(x -4x) , riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare

lo studio della derivata seconda. lO M oA R cP S D| 9679654

che: è definita e derivabile per x≠1, +∞, y=2

10. Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x), sapendo il limite per x che tende a 1 è

asintoto orizzontale completo, f'>0 per x<1 e per x>4, f(4)=0. Stabilisci il segno di f(x).

11. Traccia il grafico della funzione dispari f(x), definita e derivabile due volte con continuità per ogni x diverso da 0, con limite per x che tende a

0 da destra pari a 1, f'>0 solo per |x|<1, f''>0 per x>2, f''<0 per 0<x<2, f(1)=2 massimo, y=0 asintoto orizzontale. Stabilisci se x=-1 è un punto di

massimo o minimo, precisando se è relativo o assoluto. lO M oA R cP S D| 9679654

12. Traccia il grafico della funzione f(x), definita e derivabile per x<0 unito a x>1, che tende a 0 in 0, con limite per x che tende a 1 da destra

uguale a +∞, y=x+3 asintoto obliquo completo, f(-1)=1/2 massimo locale, f(2)=7 minimo locale, f'>0 solo per x<-1 o x>2.

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13. Traccia il grafico qualitativo di f(x), definita e derivabile per ogni x reale, sapendo che è pari, ha minimo uguale a 1 in x=3, f(0)=2, f'>0 per

+∞.

|x|>3, f''>0 per |x|>1, il limite per x che tende a -∞ è

14. Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x) sapendo che è definita e derivabile per x>0, il limite in 0 vale e, y=x/2 è asintoto obliquo, f'<0

per x<2, f'>0 per x>2, f(2)=1. Stabilisci il segno di f(x). lO M oA R cP S D| 9679654

15. Rappresenta il grafico qualitativo della funzione f, definita per ogni x reale tranne in 0, che ha y=2 come asintoto orizzontale sinistro, x=0

come asintoto verticale destro e y=x come asintoto obliquo destro, mentre il limite per x che tende a 0 da sinistra è 0, e la derivata di f è

negativa per x<2 (dove definita) e positiva per x>2, con f(2)=-2. x=0 e y=1 sono

16. Tracciare il grafico qualitativo della funzione derivabile con continuità f(x), sapendo che il dominio è l'intervallo ]0,+∞[,

asintoti, f'(x)>0 per 0<x<2 e f'(x)<0 per x>2, f(2)=2. lO M oA R cP S D| 9679654

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Lezione 036

01. Enuncia il teorema della media integrale e forniscine l'interpretazione geometrica.

f c

teorema della media ∈ [a, b]

Il stabilisce che se la funzione nell’intervallo [a, b] e continua, esiste un punto tale che:

Dal punto di vista geometrico il teorema puo essere interpretato affermando che:

• l’area al di sotto del grafico di una funzione non negativa nell’intervallo [a, b] e uguale all’area di un rettangolo avente:

a) come base la distanza (b-a) dell’intervallo

b) come altezza il valore della funzione in un punto interno ad [a, b]

01. Data una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato I,

f ammette un'unica primitiva

f ammette infinite primitive, il cui rapporto è costante

f ammette almeno due primitive, la cui differenza è costante

f può non ammettere primitive, ma se le ammette sono date tutte da una certa funzione più una costante

2. Fornisci la definizione di primitiva di una funzione e l'esempio di una funzione f(x) e di una sua primitiva F(x).

f F (x) F’ (x)

primitiva

La di una funzione nell’intervallo [a, b] e ogni funzione tale che la sua derivata coincida con la

f

funzione nell’intervallo [a, b]

f (x) F (x)= x f (x)

Ad esempio se =1 e una funzione, e una primitiva della funzione =1

3. Enuncia il teorema fondamentale del calcolo integrale.

f

Data la funzione continua nell’intervallo [a, b] → R, la funzione integrale

F’ (x) = f’ (x) F f

e derivabile in tutto l’intervallo [a, b] e si ha che: dove e una primitiva della funzione

Lezione 038 F(π/2)=1, allora F(π)

01. Se F(x) è la primitiva di sin(2x-π) con vale

3/2

1

2

2 -1/2

02. Detta F(x) la primitiva di f(x)=(16-1)6x che vale 0 in 0, F(1) vale

π/2

x 2x x

03. Detta F(x) la primitieva+edi (x )/e che vale 1 in 0, allora F(1) vale

e+1

e+3/2 e-

1

e+1/2 2 -1

04. Una primitiva di (1+4x ) è

2

ln(1+4x ) ✓

(1+arctan 2x)/2

arctan 2x

2

ln(1+4x )/4 2 F(π/2)

05. Se F(x) è la primitiva di sin(2x)/(1+sin x) che vale 0 in 0, allora vale

ln (1/2)

-1/2

0 cos x

06. Una primitiva di (sin x)e è

e cos x cos x

-(cos x)e

cos x

-e +1

cos x

(sin x)e -1

2 1/2

07. Una primitiva 1) è

xdi+3x(

2 3/2

3(x +1) -1

2 2 3/2

x (x +1)

2 3/2

2(x +1)

2 3/2

(x +1) -1 3x

08. Una primitiva di e è

e

3x

3x

3e +1

3x

1/3 e -2

3x

3e

Lezione 039 1/4

01. Se F(x) è la primitiva di x(x-1) che vale 0 in 1, allora F(2) vale

56/45

33/50

64/45

63/50 x π/4,

02. Se F(x) è la primitiva di e sin x che vale 0 in allora F(0) vale

-e/2

03. Se F(x) è la primitiva di ln x che vale 0 in e, allora F(1) vale

e-1

0

1 F(π/2)

04. Se F(x) è la primitiva di xcos 2x che vale 1/4 in 0, allora vale

π/4-1/2 x -x -1

05. Una primitiva di (e +e ) è

(e -e )

x -x -1

x -x

ln(e -e )

x

arctan(e )+2 x -

ln(e +e

x

)

Lezione 040 2 -1

01. Se F(x) è la primitiva di (x -4) che vale 0 in 0, allora F(1) vale

-ln 3

-(ln 3)/4

-(ln 3)/3

-(ln 3)/2 2

02. Se F(x) è la primitiva di 2(2x +x)/(2x-1) che vale 3 in 1, allora F(2) vale

4+ln 4

8+ln 3

8-ln 4

4-ln 3 2 3π/4

03. Se F(x) è la primitiva di (2x+1)/(x +4x+5) che vale ln 2 - in -1, allora F(-2) vale

ln 2

0

-3π/4

ln 2 + 3π/4 2

04. Se F(x) è la primitiva di (x -3x-1)/(x-3) che vale 8 in 4, allora F(6) vale

18+ln 3

18-ln 3

36-ln 3

36+ln 3 2

05. Se F(x) è la primitiva di (2x+1)/(x +1) che vale 0 in 0, allora F(1) vale

ln 2

1 + ln 2

π/4 + ln 2

π/4 2

06. Se F(x) è la primitiva di (2x+3)/(x +6x+9) che vale 3 in -2, allora F(0) vale

1+2ln 3

3

2ln 3

3+2ln 3 2 -1

07. Se F(x) è la primitiva di (4x -4x+1) che vale 1/2 in 0, allora F(1) vale

1/2

-3/2

-1/2

3/2 2 -1

08. Se F(x) è la primitiva di (x +3x) che vale -(ln 2)/3 in -1, allora F(-2) vale

(ln 2)/3

ln 2

-ln 2

-2(ln 2)/3

01. L'integrale definito da 1 a e di ln(x) vale

-1

0

e x=π/2 (π

02. L'area della regione di piano delimitata dagli assi coordinati, dalla retta è pi greco) e dalla curva y = x sin x vale

π/2

1

1-π/2

π ≥0 ∑a

01. Se (a ) è una successione infinitesima, con a per ogni n, allora necessariamente la serie

n n n

converge

diverge

può convergere o divergere, ma non oscillare

può oscillare o convergere, ma non divergere

n

∑(2a) +∞,

02. La serie converge per

, dove la somma è per n che va da 1 a

-1/2<a<1/2 e la somma è 2a/(1-2a)

-1<a<1 e la somma è 2a/(1-2a)

-1/2<a<1/2 e la somma è 1/(1-2a)

-1<a<1 e la somma è 1/(1-2a)

03. Spiega cosa sono le somme parziali di una serie e definisci la somma di una serie.

Yn n ∈ N, somme parziali

In una successione di numeri reali con sono dette ad esempio le seguenti quantita (S = somma):

somma di una serie

La di numeri rappresenta il limite della successione delle somme parziali.

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Lezione 044

0≤a ≤b n≥10,

01. Se per ogni allora

n n

se ∑b diverge, allora anche ∑a diverge

n n

se ∑a diverge, allora anche ∑b diverge

n n

Se ∑a converge, allora anche ∑b converge

n n

∑a e ∑b sono entrambe convergenti o entrambe divergenti

n n a-1

∑

02. La serie converge se e solo se

n

a≥0

a<0

✓ a≥1

a<1

03. n 2

∑

La serie sin(e )/n

converge, come si può dedurre osservando che il termine generale tende a 0

diverge, come si può dedurre dal criterio del rapporto

diverge, come si può dedurre per confronto

converge, come si può dedurre per confronto

04. Enuncia il criterio del rapporto per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione.

Lezione 045

1/n a+2

∑e

01. La serie converge se e solo se

/n

a≥0

a≥1

a>-1 2n 3

∑e

02. La serie /n

converge assolutamente

oscilla

diverge

converge, ma non assolutamente

2

∑(2+sin

03. La serie n)/n

converge, ma non assolutamente

diverge

converge assolutamente

oscilla n -n 2

∑(

04. La serie -1) (2n)! 5 / [(n!) ]

converge, ma non assolutamente

converge assolutamente

oscilla

diverge 1/n

∑e

05. La serie cos n

converge, ma non assolutamente

converge assolutamente

oscilla

diverge -2 n

∑n

06. La serie (a/6) con a>0, converge se e solo se