Relazione delle esercitazioni Tecniche di modellazione

6.3 PROSPETTIVA E ASSONOMETRIA DI UN SOLIDO

Per ultimo si vuole implementare una procedura di calcolo per la prospettiva e assonometria

di un cubo unitario. Si usano quindi degli strumenti matematici per ottenere viste prospettiche

e assonometriche di oggetti tridimensionali per i quali è nota la forma matematica in un sistema

di riferimento cartesiano.

Scritte le coordinate del cubo, si definiscono i fattori di traslazione e riflessione con le relative

matrici di rototraslazione. Si moltiplica quindi il solido rototraslato per l’apposita matrice di

prospettiva per poi definire le coordinate e andare a rappresentarlo in prospettiva.

x y z h Matrice di prospettiva

0 0 0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0.5

0 1 0 1 0 0 0 1

0 0 1 1 Tabella 6.3.2: matrice di prospettiva

1 0 1 1

1 1 1 1

0 1 1 1

Tabella 6.3.1: coordinate di un cubo

unitario 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Solido rototraslato (ph*)

0 -2 2 2

0.87 -2 1.5 1.75 -0.2

0.87 -1 1.5 1.75

0.00 -1 2 2

0.50 -2 2.87 2.43

1.37 -2 2.37 2.18 -0.4

1.37 -1 2.37 2.18

0.50 -1 2.87 2.43

Tabella 6.3.3: rototraslazione

prospettica del cubo -0.6

Solido prospettico

0 -1 -0.8

0.494872 -1.14286

0.494872 -0.57143

0 -0.5

0.205507 -0.82203 -1

0.625752 -0.91617

0.625752 -0.45808

0.205507 -0.41101 -1.2

Tabella 6.3.4:

costruzione solido Figura 6.3.1: cubo unitario visto in prospettiva

prospettico 38

sono invece strumenti grafici classici usati per “simulare” nel

Le proiezioni assonometriche

piano la tridimensionalità degli elementi solidi; possono quindi configurarsi come proiezioni

prospettiche con centro di proiezione posto all’infinito. Si definiscono gli angoli tra gli assi, una

matrice di doppia rotazione e una caratteristica di assonometria, moltiplicandole tra loro e infine

con le coordinate per ottenere il solido assonometrico.

Matrice doppia rotazione beta teta alfa

0.707 0.409 -0.577 0 45 35.3 30

0.000 0.816 0.578 0 0.7854 0.6161 0.5236

0.707 -0.409 0.577 0 Tabella 6.3.7: angoli tra gli

assi che definiscono

0 0 0 1 l’assonometria

Tabella 6.3.5: matrice di doppia

rotazione MR x MA

Matrice di assonometria 0.707 0.409 0 0

1 0 0 0 0.000 0.816 0 0

0 1 0 0 0.707 -0.409 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 Tabella 6.3.8: prodotto

Tabella 6.3.6: matrice di tra matrice di doppia

assonometria rotazione e

assonometria

Solido assonometrico 1.4

0 0 0 1

0.707 0.409 0 1 1.2

0.707 1.225 0 1

0 0.816 0 1 1

0.707 -0.41 0 1

1.414 -0 0 1 0.8

1.414 0.816 0 1

0.707 0.408 0 1 0.6

Tabella 6.3.9: costruzione solido

assonometrico 0.4

0.2

0 0 0.5 1 1.5

-0.2

-0.4

-0.6

Figura 6.3.2: cubo unitario visto in assonometria isometrica 39

7. ESERCITAZIONE 7

Con questa esercitazione si introduce il disegno di una curva 3D in Autocad e delle sue

proiezioni sui piani coordinati, con preparazione degli appositi file script mediante fogli

elettronici Excel. Si tratta di un metodo per inserire automaticamente una serie di comandi,

analoghi ai comandi inseriti da tastiera, facendoli leggere da un file di testo di nome SCR usando

il comando SCRIPT.

7.1 CURVE PIANE

La rappresentazione in Autocad è fatta a partire dai dati geometrici contenuti in un foglio

elettronico Excel. Per entrambe le curve si riportano le variabili x e y e le si uniscono nella

con il comando “concatena”

colonna successiva (&”,”&). Successivamente si copiano questi

dati incollandoli su CAD al comando polilinea e la curva è disegnata.

x y curva

0 0 0,0

0.074928 0.47308 0.0749284077152467,0.473079347704328

0.281535 0.86648 0.281535229602077,0.866476341281168

0.569293 1.1173 0.569293345839806,1.11730110125938

0.866476 1.1926 0.866476341281169,1.19260237065541

1.096016 1.09602 1.09601551083915,1.09601551083915

1.192602 0.86648 1.19260237065541,0.866476341281169

1.117301 0.56929 1.11730110125938,0.569293345839806

0.866476 0.28154 0.866476341281168,0.281535229602077

0.473079 0.07493 0.473079347704328,0.0749284077152467

1.9E-16 1.2E-32 1.89898010510836E-16,1.16326627083786E-32

Tabella 7.1.1: tabella di preparazione dati della curva quadrifoglio

x y curva

3.1 0 3.1,0

2.986905 0.011867 2.98690544812968,0.011867493920388

2.66674 0.091476 2.6667399709129,0.0914763412811685

2.192827 0.290069 2.19282687914413,0.290069447933214

1.641476 0.629532 1.64147634128117,0.629531911451256

1.096016 1.096016 1.09601551083915,1.09601551083915

0.629532 1.641476 0.629531911451256,1.64147634128117

0.290069 2.192827 0.290069447933215,2.19282687914413

0.091476 2.66674 0.0914763412811685,2.6667399709129

0.011867 2.986905 0.011867493920388,2.98690544812968

7.13E-49 3.1 7.12586937182157E-49,3.1

Tabella 7.1.2: tabella di preparazione dati della curva asteroide 40 41

7.2 NEW JERSEY TRAMITE FILE SCRIPT

sicurezza stradale New Jersey dall’esercitazione 1,

Riprendendo il modello della barriera di

si prepara un file script tramite blocco note con il comando linea e le coordinate relative (dedotte

dalle dimensioni) utilizzando l’apposito simbolo “@”. Questo file è con l’estensione

da salvare

“.scr”: in questo modo verrà riconosciuto come file Autocad e la figura risulterà disegnata una

volta aperto.

Figura 7.2.1: file script

per il New Jersey 42

43

7.3 CURVE 3D

Si vogliono riprodurre su Autocad le soluzioni di Bézier, Lagrange e Hermite viste

nell’esercitazione 5. Riscrivendo le espressioni x, y e z su Excel, si concatenano tra loro questi

dati per ottenere la rappresentazione della curva in tre dimensioni su Cad incollandoli come

polilinea; si ottengono invece le proiezioni bidimensionali sui vari piani ripetendo la stessa

operazione ma mettendo 0 al posto della relativa coordinata non interessata dal piano dove si

vuole rappresentare. Infine, si disegnano le linee di proiezione a partire dalle colonne delle

coordinate dove, rispettivamente, è pari a 0 la colonna non interessata dal piano di proiezione:

nel concatenare si inizia con il comando “_line”, includendo i dati iniziali della curva oltre a

quelli delle colonne sopra dette.

x y z linea

10.1 16.1 28.7 10.1,16.1,28.7

9.679104 18.35793 25.93845 9.679104,18.3579268,25.9384548

9.405952 20.51389 23.48708 9.405952,20.5138944,23.4870784

9.273848 22.56818 21.33276 9.273848,22.5681836,21.3327596

9.276096 24.52108 19.46239 9.276096,24.5210752,19.4623872

9.406 26.37285 17.86285 9.406,26.37285,17.86285

Tabella 7.3.1: tabella di preparazione della curva di Lagrange in tre dimensioni

linea x0z linea 0yz

10.1,0,28.7 0,16.1,28.7

9.679104,0,25.9384548 0,18.3579268,25.9384548

9.405952,0,23.4870784 0,20.5138944,23.4870784

9.273848,0,21.3327596 0,22.5681836,21.3327596

9.276096,0,19.4623872 0,24.5210752,19.4623872

9.406,0,17.86285 0,26.37285,17.86285

9.656864,0,16.5210368 0,28.1237888,16.5210368

10.021992,0,15.4238364 0,29.7741724,15.4238364

10.494688,0,14.5581376 0,31.3242816,14.5581376

11.068256,0,13.9108292 0,32.7743972,13.9108292

Tabella 7.3.2: tabella di preparazione delle Tabella 7.3.3: tabella di preparazione

proiezioni bidimensionali della curva di delle proiezioni bidimensionali della

Lagrange curva di Lagrange

linee proiezione su piano yz

_line 10.1,16.1,28.7 0,16.1,28.7

_line 9.679104,18.3579268,25.9384548 0,18.3579268,25.9384548

_line 9.405952,20.5138944,23.4870784 0,20.5138944,23.4870784

_line 9.273848,22.5681836,21.3327596 0,22.5681836,21.3327596

_line 9.276096,24.5210752,19.4623872 0,24.5210752,19.4623872

_line 9.406,26.37285,17.86285 0,26.37285,17.86285

Tabella 7.3.4: tabella di preparazione delle linee di proiezione della curva di Lagrange 44 45

46

47

8. ESERCITAZIONE 8

Questa esercitazione si concentra particolarmente su Autocad e le sue applicazioni

nell’Ingegneria Civile. Inizialmente si richiede di inserire i retini adatti al progetto di una

sezione tipo ferroviaria su rilevato; dopodiché, avendo a disposizione una porzione di territorio

adibito ad abitazioni residenziali, si realizza un’immagine raster come da indicazioni: è

necessario impostare come trasparente l’immagine monocromatica consentendo così

l’inserimento di retini solidi dietro all’immagine, previa costruzione di polilinee che ricalcano

i contorni delle varie aree.

Successivamente è richiesta la georeferenziazione dei tre fogli CTR forniti: vengono fatte

coincidere le coordinate della carta con quelle dello spazio modello di Autocad. Si determina

geometria d’asse dei tracciati autostradali

quindi la (GRA, A24 e A1) individuando i rettifili

e raccordandoli tramite apposito comando con il raggio approssimativo prima ricavato

costruendo una circonferenza passante per tre punti. Si costruisce una tabella degli elementi

geometrici indicando le lunghezze di ogni tratto, fino ad arrivare a quella complessiva del

tracciato, oltre ai raggi degli eventuali raccordi.

Viene quindi richiesto di individuare tramite polilinea e campitura solida le aree residenziali

indicate, estraendo i dati del loro baricentro (comando “massprop” dopo averli trasformati in

“regione”); con una tabella 8x8 sono calcolate le distanze tra di essi. Infine, sovrapponendo una

è’ determinata la lunghezza dello stesso.

linea 2d al fiume Aniene,

La tavola risultato, completa di polilinea del fiume, strade geometrizzate, aree campite e relative

tabelle, è stampata in formato A0. A1

Punto Progressive [m] Geometria Lunghezza [m] Raggio (m)

A 0 Rettifilo 461.14

B 461.14 Curva circolare 994.75 1274.8

C 1455.89 Rettifilo 1749.68

D 3205.57 Curva circolare 1015 1612.06

E 4220.57 Rettifilo 1321.29

F 5541.86 Curva circolare 1603.58 1860.8

G 7145.44 Rettifilo 1804.27

H 8949.71 Curva circolare 1244.18 1811.8

I 10193.89 Rettifilo 2099.31

J 12293.2 Fine tracciato

Tabella 8.1: esempio di tabella degli elementi geometrici per il tracciato

dell’autostrada A1 48 49

P.F. P.F. 50 51

Giardino di Borgata Case A1

Bagni di Tivoli Lunghezza Settecamini La Rustica

Corcolle Setteville

Rosse

Corcolle

y

X X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Progressive [m] Lunghezza [m] Raggio (m)

Punto Geometria

Y

233086 464727 2332357 464195 233141 464321 232699 464350 232482 464506 232520 464616 232271 464564 232179 464274

9.0361 4.6239 .0540 6.0380 8.0465 0.0420 9.9854 9.0903 8.2721 7.1591 3.4102 1.2893 2.6188 9.2636 5.5009 9.7590 A 0.0000 461.1400

Rettifilo

233086

X

Bagni di 9.0361 B 461.1400 994.7500 1274.8000

Curva circolare

0.0000 5522.82 4101.49 5398.96 6431.46 5773.98 8316.79 10139.20

464727

Tivoli y 4.6239 C 1455.8900 1749.6800

Rettifilo

233235

X 7.0540 5522.82 0.0000 1566.61 5577.65 8146.26 8298.12 10327.39 10591.34

Corcolle D 3205.5700 1015.0000 1612.0600