Formulario completo di Fondamenti di automatica 22/23

AUTOMATICA

PARZIALE 1

BASI

LAPUNOV

Ξ_Ae = e^At Ξ₀ = ∫₀^t e^AσB μ(σ) dσ

MOTO LIBERO

MOTO FORZATO

MOVIMENTO PERTURBATO

ΔΞ(t) = e^AtΔΞ₀

TABELLA DI ROUTH

• n° r
• k

MECCANICA ESPONENZIALE e^Ae = I + Ae + A² e²... SS = DI COORDINATE → oppure:

e^Ξ = T e^T-1

PROPRIETA' DI χ

• TRASLAZIONE IN t₀ → e^-t
• χ^-C{f(t-e^t)=F(s)} e^-es
• TRASLAZIONE IN s χ^-C{e^-αt} = F(s-α)
• DERIVAZIONE IN t

χ^-C{f'(t)} = sF(s)

• INTEGRAZIONE IN t

χ^-C{∫ f(t)e^-ts} = ¹⁄_sF(s)

• DERIVAZIONE IN s

χ^-C{t f(t) = -^d⁄_ds F(s)}

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

• χ^-C{f(t-e^t)} = F(s)e^-es
• χ^-C{e^-αt} = F(s-α)
• e^wt f(j/s(j)
• sin(wt)
• cos(wt)

TVI

ρ_∞ = ω → lim _{s → 0} s F(s)

HP: F(s) DI TIPO 0 O G(s) ∝ PM

TVF

ρ_∞ = ω → lim _{s → 0} sF(s)|_s=0

HP: F(s) DI TIPO 0 O ∝ PM 0 DI SMORZO 5 → C

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

G(s) = [C(sI-A)^-1 B + D]

FORMA DI BODE

G(s) = ^μ⁄_β ∏(s + α)∏(3/α +23/α 5 − 4)

∏(Ts + 3/α +23/wm s + 2> ∏(Ts + α + 23/rmωs + 5)

μ = lim _{s → 0} s^β G(s)

FORMA CANONICHE

G(s) = ^{s-1 + R/c s-2 + bd}⁄ _{qnsⁿ q qm s^m + 4} 1x RAGGIONIBILITA &br &ar;

A_r = | 0 −1 0 1 | | 0 0 −1 | | −a₀ −a₁ −a₂ |

BR = 打 0 | 1 | D_r = [c|d]

1. OSSERVABI LATO AD = A_2^T = [ ]

C_R = [b₀ b₁ … b_n ] D_a = [c] [d]

Test di Kalman

• Raggiungi e LT
• A(n)

Raggiungi LT

• K_r = [A B AB A^m-1 B]

Osservabilità

• K_o = [C^t A^t (A²)^t ... (A^n-1)^t C^t]

Risposte allo scalino

• P_ol

1^o ordine

• G(s) = μ
• y(t) = μ(1 - e^-t/T)

T = 1/(α = 5)

S_% = 100e^-T/T_r

α = 5/(1/R_eq)

Effetto sul valore iniziale:

• Zeri reali
• Zero reale
• Zeri complessi coniugati

PROGETTO REGOLATORE

• PRESTAZIONI DINAMICHE
• CONIZIONE DI NESHROLD

V_L ≥ V_G

• INTERO
• OPTENERE METTENDO
• POLI IN ORBE FASA

REGOLATORE PID

R(s) = K_P T_I T_D s² + T_I s + 1

R(s) = K_P T_I s + 1

SCHEMI AVANZATI DI CONTROLLO

• COMPENSOERE DEL DISTURBO

C_c(s) = ¹/_H(s) G*^-1(s)

• COMPENSOERE DEL RIFERIMENTO

C_c(s) = G*^-1(s)

COMPENSOERE IN ANELBO APERTO → DEVE ESSERE A. S.

• P.D. È L'RFLESSO DE RIFERIMENTO

C_c(s) = F*^-1(s)