Esercizi su vettori geometrici e spazi vettoriali

Q U I Z

Quiz 1

Ogni polinomio a coefficienti reali ha almeno una radice reale

• vero
• falso

Quiz 2

In ogni spazio vettoriale l'uguaglianza av = aw implica v = w, dove a è uno scalare, v e w sono vettori

• vero
• falso

Quiz 3

Il coniugato di -1 + 2i è 1 + 2i

• vero
• falso

Quiz 4

In ogni spazio vettoriale V, l'uguaglianza av = bv implica a = b, dove a e b sono scalari e v è un vettore di V

• vero
• falso

Quiz 5

Il numero complesso 0 + i è invertibile

• vero
• falso

Quiz 6

Il campo dei numeri complessi è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali

• vero
• falso

Quiz 7:

L'inverso moltiplicativo del numero complesso i è -i

• vero
• falso

Quiz 8:

Il numero complesso 3+i ha come parte reale 3 e parte immaginaria 3

• vero
• falso

Quiz 9:

Ogni spazio vettoriale contiene un vettore nullo

• vero
• falso

Quiz 10:

Ogni campo è uno spazio vettoriale su se stesso

• vero
• falso

Quiz 11:

Ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice complessa

• vero
• falso

Quiz 12:

Uno spazio vettoriale può contenere più di un vettore nullo

• vero
• falso

esistenza dell'elemento neutro:

1 R ( x1 x2 ) = ( x1 x2 )

In particolare R² soddisfa tutte le proprieta' eccetto la proprieta' quindi non e' uno spazio vettoriale.

ESERCIZIO 6:

Sia K un campo con le operazioni: + e ∗; S:

dimostri che valgono le seguenti affermazioni dove a, b, c ∈ K

1. a. a + b = c + b se e solo se a = c

Sottraiamo ad entrambi i membri dell'equazione la stessa quantita' b ottenendo

a + b - b = c + b - b => a = c

che conferma la tesi del problema.

2. b. supponiamo che b ≠ 0 Allora a ∗ b = c ∗ b se e solo se a = c

Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per la stessa quantita' b ≠ 0 ottenendo

^{a ∗ b}⁄_b = ^{c ∗ b}⁄_b => a = c

che conferma la tesi del problema.

3. c. (- a) ∗ b = a ∗ (- b) = - (a ∗ b)

Moltiplichiamo tutti e tre i membri dell'equazione per la stessa quantita' - 1 ottenendo

(- 1) ∗ (a ∗ b) = (- 1) ∗ a ∗ (- b) = (- 1) ∗ [a ∗ b] =>

a ∗ b = a ∗ b = a ∗ b

che conferma la tesi del problema.

d   w = i,   n = 6

[cos(^{3 π}/₄ + 2kπ) + i sin(^{3 π}/₄ + 2kπ)] = cos(^{3 π}/₄ + 2kπ)

+ i sin (^{3 π}/₄ + 2kπ)

Esercizio 9

Determinare le radici e le rispettive molteplicità algebriche dei seguenti polinomi in C[z]:

1. z² + (2 - i)z = 2i

z = - (2 - i) ± √[(2 - i)² - 4( - 2i)] / 2 =

= - (2 - i) ± √[4 - 4i + i² + 8i] / 2

= - (2 - i) ± √[ - 1 + 4i + 4i + 4] / 2

= - i - 2 ± √[(i + 2)²] / 2 =

= - i - 2 ± (i + 2) / 2

= - i - 2 + (i + 2) / 2 = 0   |   - i - 2 - (i + 2) / 2 = - i - 2 - i - 2 / 2 = - 2

Il polinomio ha molteplicità 1 con z = i e ha molteplicità 1 con z = - 2

2. z² + (4, 2i)z = 3 + 4i

z = - (4, 2i) ± √[(4, 2i)² - 4(3 + 4i)] / 2 =

= - 4, 2i ± √[16 - 16i + 4i² + 12 - 16i] / 2 =

= - 2; z = 4 ± √[ - 12 + 4] / 2 = - 2; z = √( - 2) ± 1 = - 2 ± o i - 2

Il polinomio ha molteplicità 2