Algebra lineare - Esercizi

SPAZI VETTORIALI

Uno spazio vettoriale (o complesso) V è un insieme nel quale sono definite due operazioni:

1. (V,V) → V (u,v) → u+v
2. (C,V) → V (α,v) → α*v

tale che:

Sia (V,+) un gruppo vettoriale commutativo:

1. Elemento neutro ∃ 0 ∈ V tale che:
2. Per ogni v ∈ V si ha v+0 = v
3. Per ogni v ∈ V ∃ (-v) ∈ V tale che v+(-v) = 0

1. α(u+v) = αu+αv ∀α ∈ C, u,v ∈ V
2. (α+β)u = αu+βu ∀u ∈ V
3. α (βu) = (αβ)u ∀α, β ∈ C, u ∈ V
4. 1u = u ∀u ∈ V {ove 1 è l'unità di C}

Sia V uno spazio vettoriale,

1. con l'operazione α*v + (1-α)u, (dove α ∈ [0,1]) V è convesso

2) Se _νi per I che appartiene a I sono elementi di V

1. e α_i per I che appartiene a I che appartengono a C allora ∑_i=1ⁿ α_i*v_i è una combinazione lineare dei v_i
2. e se V = L{v_i con i che appartiene a I} V è generato da {v_i} con i che appartiene a I
3. con l'operazione α*v + βu (α, β ∈ C) è una combinazione affine dei v_i
4. Per α=1/n ∑_i=1ⁿv_i appartiene a V α*v + β*u

Inoltre con # una legge elementare si in modo ovvio uno spazio vettoriale rispetta la chiusura rispetto a una con combinazioni possibili con lo 0 elemento neutro moltiplicazione per scalari, cioè:

1. 0*v = 0 (per 0 ∈ C), l'unico paio dello spazio vettoriale nullo

Consideriamo una matrice A che appartiene a M_m,n(C), e poniamo N(A) = {v che appartiene a Cⁿ, C ∈ {0_}} e quindi che 0 pertence a N(A) Se prendiamo due elementi v1, v2 che appartengono a N(A) con la nmomiamo, definiamo ancora un elemento v(t) che appartiene a{v(t). Infatti A(v+αv₁+βv₂ = αA(v2 + βAv1 - 0+α 0, analogamente.

Un sottinsieme U dello spazio vettoriale V si dice sottospazio vettoriale (o semplicemente sottospazio) se:

1. 0_V ∈ U
2. per ogni v₁, v₂ ∈ U si ha v₁ + v₂ ∈ U
3. per ogni v ∈ U e α ∈ C, αv ∈ U

(dove α β ∈ C, β ∈ B; U, β₁, α2 ...

(U (uno spazio vettoriale e sia u un sott of un sottospazio di V Allora U è un sottospazio di V se e solo se:

1. per ogni (genere) v1, v₂ ∈ U e ∀α β=β ∃ C; β₁, β₂. ∈ U

Sia (v) uno spazio vettoriale c ... sia U e un sottounione di ... fondo di V: (p(x,u) in (p.x

(...)+β₁ +( α Ex β₂& β.₂)

Un insieme finito di vettori dello spazio vettoriale V è una ζ€isto finito di elementi de V denotamento coma lettera como A (3) eccetera. Scriveruemo per :esempio}:

Dato un insieme di vettori A={v₁,v₂,...,v_m} siano α1, α2, ..., αm che appartengano a C

Possiamo ancora considerare l'elemento α1v₁+α2v₂ + ... + α4v_m e che chiamiamo combinazione lineare dei vettori dell'insieme A, α1v_vi + α2. α(n) + b} (.slide)

semplicemente combinazione lineare di α1 v1 con coes {

Dato L insieme di vettori A={v_l, v_i,..., v_m} dello spazio vettoriale di V, il sottospazio generato da A è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori delli' linsieme, che sarà indicato con {A} oppure con