Esercizi Probabilità

Esempio

In un ristorante il menu prevede 4 primi e 2 primi...

In quanti modi posso ordinare il pranzo? 4 · 2 = 8

E se il menu prevede anche 3 piatti per secondo? 2 · 9 · 3 = 24

Principio Fondamentale del Calcolo Combinatorio

Se effettui una sequenza ordinata di n scelte (ad esempio antipasto, primo, secondo) con m1 possibilità per la 1^a scelta, m2 per la 2^a scelta, ... mn per l’n^a scelta.

Allora il numero di sequenze possibili uguali a m1 · m2 · ... · mn.

Disposizioni

Esempio: Quanti pin del cellulare esistono? 9. Sto facendo delle scelte.

1. 10
2. 10
3. 10
4. 10

= 10⁴

Ho m elementi (m = 10)

Ho da fare n scelte (n = 4)

Regola: Ho mⁿ= 10⁴ possibili sequenze o meglio mⁿ disposizioni

Disposizioni Semplici

Quanti pin del cellulare esistono, nessuna cifra può ripetersi?

1. 10
2. 9
3. 8
4. 7

= 10 · 9 · 8 · 7

= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 9 · 3 · 2 · 1

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= ^10!⁄_6! = ^10!⁄_{(10 - 4)!}

Ho m elementi = (m = 10) da sistemare

Ho n posti in cui vanno sistemati senza ripetizioni (n = 4)

Regola: Ho ^m!⁄_{(m - n)!} disposizioni semplici

PERMUTAZIONI

(caso della disposizione semplice quando m = n)

ⁿP_n

Quante possibili password posso creare usando le 5 vocali:

• 5
• 4
• 3
• 2
• 1 = 5·4·3·2·1 = 5!

REGOLA:

Se ho n elementi DISTINTI, posso fare n! PERMUTAZIONI!

N.B.

E, se gli elementi NON sono DISTINTI?

Quante anagrammi posso fare usando le lettere AAAA BBBCD?

Se fossero tutte lettere distinte avremo 9!, ragione. Però gli scambi delle lettere A tra loro - delle lettere B tra loro lasciano la parola INALE. Avremo uno MENOS di 9! ragione, avremo

⁹P_4!·3!

Permutazioni delle lettere A

Permutazioni delle lettere B

Esercizio 1

Quante possibili password di 5 lettere posso scrivere usando le 21 lettere dell’alfabeto italiano:

• 21
• 21
• 21
• 21
• 21 — CON RIPETIZIONE 21⁵ disposizioni
• 21
• 20
• 19
• 18
• 17 — SENZA RIPETIZIONE 21! / 16! disposizioni

Esercizio 2

Quante possibili password di 5 lettere posso scrivere, sapendo che la 2^a e la 3^a lettera sono uguali e la 5^a è una consonante:

• 21
• 21
• 21
• 21
• 16 = 21 · 21 · 21 · 1 · 16

La password che produce la 3^a e quella grado est anceh alla 2^a est

Cosa rappresenta?

1. Numero di sottoinsiemi con k elementi che m possono formare da n elementi distinti

2. E' il numero di modi nei quali posso suddividere n elementi in due sottoinsiemi:

• Uno con k elementi
• L'altro con gli m-k restanti elementi

Poniamo, allora, il seguente problema generale:

In quanti modi posso suddividere m elementi in k sottoinsiemi

aventi rispettivamente k₁, k₂, ... k_a elementi (dove k₁ + k₂ + ... + k_a = n) ?

Soluzione

Devo fare una sequenza di sotto-esperimenti

• Scelgo k₁ elementi da m
• Scelgo k₂ elementi dei restanti m-k₁ e così via
• Scelgo k_n elementi dei restanti m-k₁-k₂-k₃

Quindi:

• _principio
• _coordinato
• _combinato

Def

(coefficiente multinomiale)

generalizzazione del coeff. binomiale

_{combinatoi dei sottoinsiemi che si formano}

Esercizio 3 (Foglio A)

Viene composta una parola digitando 5 lettere a caso nella tastiera del PC (con ripetizione)

a)

P(....) = [...] → [5 lettere formato anagramma delle lettere A,B,M,L,P]

|Ω| = 21⁵ → [21 lettere alfabetiche sulla tastiera]

E = [evento di tutte permutazioni lettere A,B,M,L,P]

|E| = 5! = permutazioni

P(E) = |E| / |Ω| = 5! / 21⁵

Oppure regola catena:

P([....]):

P(E₁ ∩ E₂ ∩ E₃ ∩ E₄ ∩ E₅)

= 5/21 ∣ 4/21 ∣ 3/21 ∣ 2/21 ∣ 1/21

b)

Calcolare la probabilità che la parola contenga almeno una vocale

P(almeno 1 vocale) = 1 - P(tutte consonanti)

complemento = 1 - (16/21)⁵

Oppure

1 - P(la 1^a è consonante ∩ la 2^a è consonante ∩ ....)

= 1 - (16/21 × 16/21 × 16/21 × 16/21 × 16/21) = 1 - (16/21)⁵

b)

P(U₃|E) = P(E|U₃) . P(U₃) / Σ_i=1³ P(E|U_i) . P(U_i)

=Bayes (3/9) . 1/10 / Σ_i=1³ (i+2)*. 1/10

=Σ_i=1⁵ P(U_i|E)

c)P(U₅|U_i|E)

Bayes

(Esercizio 3 [Foglio b])

Esercizio 3

Si hanno a disposizione due urne, dette A e B. Nell’urna A il 20 per cento dellepalline sono rosse, le restanti nere, mentre l’urna B contiene 4 palline rosse e 4palline nere.

a) Si estrae casualmente una pallina da ciascuna urna. Si considerino gli eventiE₁ = “almeno una pallina estratta è rossa” e E₂ = “le due palline estratte hannodiverso colore”. Calcolare P(E₁), P(E₂), P(E₁|E₂) e P(E₂|E₁).

b) Si lancia una moneta sbilanciata, che esce con probabilità 1/3. Se escetesta, si estrae una pallina CON reimmissione dall’urna A,altrimenti si estraggono tre palline SENZA reimmissione dall’urna B. Calcolare la probabilitàche tutte le palline estratte, se estratte sono rossa e le altre nere.

c) Varie le urne e tre coloro non cambia. Calcolare la probabilitàche tutte le palline sono una, se esce 4 nel caso p .

.4 e QUATT

.

Calcolare la probabilità che escono tutte le palline rosse.Una di nuova provenienza. Calcolare la probabilità che escono tutte palline rosse.

q) Estaggio una pallina da ogni urna. Non c'è la legge delle alternanze.E_1,2:[R_AR_B], N_AR_B, N_AR_B]E_2,3:R_AN_B, N_AR_B]

Esercizio 2

Un giocatore lancia una moneta ripetutamente finché ottiene croce per la prima volta. Se ciònon si verifica all'ⁿ-esino il giocatore vince 2ⁿ euro. Calcolare il valore atteso del guadagno del giocatore.

Definizione: T: Tempo d'attesa del primo successo X: guadagno

Quindi: ^E(2^T) = ^∑_k2^kP(T=k)

= ^∑_k=1^∞ 2^k(¹/₂)^k

= ^∑_k=1^∞ 1. ∞

Esercizio 3

Una moneta viene lanciata 4 volte. Vinco 2 euro if testo due. Perdo un euro if croce da secca. Calcolare il valore atteso della vincita.

1^o Modo

Definisco X: vincita, che valori assume X? ln X:-4,-1,2,5,8

• 4 T → X: 8
• 3T 1C → X: 5
• 2T 2C → X: 2
• 1T 3C → X: -1
• 4 C → X: -4

Calcolo le p.d.d. di ciascuno di questi valori

P(X=5) = ^{B(3 testa 1 croce)}/_{IN TUTTO}(¹/₂)¹(¹/₂)³

P(X=-1) = (¹/₂)³ · ¹/₁

P(X=-4) = (1₂)⁴

P(X=8) = (1₄)