Esercizi Probabilità

Esempio (introduttivo al calcolo combinatorio)

In un ristorante il menu prevede 4 antipasti e 2 primi...

In quanti modi posso ordinare il pranzo? 4.2=8

E se il menu prevede anche 3 piatti per secondo? 2.9.3=24

Principio fondamentale del calcolo combinatorio

Si effettua una sequenza ordinata di n scelte (ad esempio antipasto, primo, secondo) con m₁ possibilità per la 1^a scelta, m₂ per la 2^a scelta,… m_n per l’^a scelta. Allora vi sono m₁. m₂… m_n di sequenze possibili...

Disposizioni

Esempio: Quanti pin del cellulare se…? Sto facendo delle scelte...

10 10 10 10 = 10⁴

Ho m elementi (m=10)

Ho da fare n scelte (n=4)

Regola: Ho mⁿ... o meglio mⁿ disposizioni

Disposizioni semplici

Quanti pin del cellulare esistono, senza poter ripetere la stessa cifra…?

10 9 8 7 = 10.9.8.7

= 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 / 6.5.4.3.2.1

= 10! / 6! = 10! / (10-4)!

Ho m elementi (m=10) da sistemare

Ho n posti in cui essi… senza ripetizioni (n=4)

Regola: Ho m! / (m-n)! disposizioni semplici

ESEMPIO (INTRODUTTIVO AL CALCOLO COMBINATORIO)

In un ristorante il menu prevede 4 antipasti e 2 primi...

In quanti modi posso ordinare il pranzo? 4 . 2 = 8

E se il menu prevede anche 3 piatti per secondo? 2 . 9 . 3 = 24

PRINCIPIO FONDAMENTALE DEL CALCOLO COMBINATORIO

Se effettui una sequenza ORDINATA di n scelte (ad esempio antipasto, primo, secondo) con m₁ possibilità per la 1^a scelta, m₂ per la 2^a scelta, ... , m_n per la n^a scelta.

Allora avrai un n. di SEQUENZE POSSIBILI uguale a m₁ . m₂ ... . m_n

DISPOSIZIONI

ESEMPIO: Quanti pin del cellulare se... ? Sto facendo delle scelte

• 10
• 10
• 10
• 10

= 10⁴

• Ho m elementi (m = 10)
• Ho da fare n scelte (n = 4)

REGOLA: Ho mⁿ = 10⁴ possibili SEQUENZE o meglio mⁿ DISPOSIZIONI

DISPOSIZIONI SEMPLICI

Quanti pin del cellulare esistono, senza poter ripetere la stessa cifra?

• 10
• 9
• 8
• 7

= 10 . 9 . 8 . 7 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

= ^10!/_6! = ^10!/_(10-4)!

• Ho m elementi (m = 10) da riusare
• Ho n posti in cui inserire SEMPLICI ripetizioni (n = 4)

REGOLA: Ho ^m!/_(m-n)! DISPOSIZIONI SEMPLICI

PERMUTAZIONI

Ammet possibile password posso scrivere usando le 5 vocali:

5 4 3 2 1 = 5!

REGOLA: Se ho n elementi DISTINTI, posso fare n! PERMUTAZIONI

N.B. E se gli elementi NON sono DISTINTI?

Quante anagrammi posso fare usando le lettere AAAAA BBCD?

Se fossero state lettere distinte avrei avuto 9! risposte. Però gli scambi delle lettere A tra loro o delle lettere B tra loro lasciano la parola UGUALE. Quindi avrei MENO di 9! risposte, ovvero

9! / 5! 2!

ESERCIZIO 1

Ammet possibili password di 5 lettere posso scrivere usando le 21 lettere dell'alfabeto italiano:

21 21 21 21 21 --> CON RIPETIZIONE

21 20 19 18 17 --> SENZA RIPETIZIONE

ESERCIZIO 2

Ammet possibili password di 5 lettere posso scrivere, sapendo che la 2^a e la 3^a lettera sono UGUALI e la 5^a non consonante:

21 21 21 21 16 --> = 21 21 21 21 16

la posizione la 3^a è obbligata ad essere uguale alla 2^a

Esercizio 3

In quanti modi posso regalare 4 giocattoli a 7 bambini(ciascun bambino può ricevere più di un giocattolo)

Sono 4 le scelte da fare

Esercizio 4

Ho 6 libri (italiano, latino, greco, mate, fisica, chimica)

In quanti posso disporre questi libri in uno scaffale?

6! permutazioni

In quanti modi posso disporli mettendo a destra quelliumanistici e a sinistra quelli scientifici?

= 3! . 3!

In quanti modi posso disporli mettendo quelli scientifici,vicini tra di loro e quelli umanistici vicini tra loro?

3! . 3! . 2

Devo cambiare quando si scambiano tra di loro

Esercizio 5

Un bambino gioca con i lego. Egli ha 10 pezzi rossi, 5 gialli, 5 neri.In quanti modi può metterli in fila?

20! totale

10! 5! 5! quelli che si ripetono

N.B. Formula di Stirling

Se _n è grande, allora _n!≈√_2πn.√_nⁿ.e^-n

Ovvero lim⁡_{n→∞ n}! / √_2πn._nⁿ.e^-n = 1

Nuovo Problema

Se ho un insieme di n elementi distinti, quanti sono i possibili sottoinsiemi