Formulario Analisi 1 Matematica

Operazioni sui grafici

• f(x + a) → traslazione asse x [a > 0 (verso sinistra), a < 0 (verso destra)]
• f(x) + a → traslazione asse y
• -f(x) → riflessione rispetto asse x
• f(-x) → riflessione rispetto asse y
• -f(-x) → riflessione rispetto origine
• f(|x|) = f(x) → funzione pari (simmetrico asse y)
• f(-x) = -f(x) → funzione dispari (simmetrico origine)
• |f(x)| → riflessione parte negativa rispetto asse x
• f(|x|) → riflessione parte a destra + eliminazione parte a sinistra (asse y)
• a · f(x) → dilatazione verticale (a > 1)
• a · f(x) → compressione verticale (0 < a < 1)
• f(ax) → compressione orizzontale (a > 1)
• f(ax) → dilatazione orizzontale (0 < a < 1)

Teorema di Pitagora

1 = cos²a + sen²a

Angoli significativi trigonometria

Formule trigonometria

sen d = ±√1 - cos² d

cos d = ±√1 - sen² d

tan d = sen d/cos d

sen (d + ß) = sen d ⋅ cos ß + sen ß ⋅ cos d

cos (d + ß) = cos d ⋅ cos ß - sen d ⋅ sen ß

Formule di conversione

• x = r ⋅ cos d
• y = r ⋅ sen d

↔

• r = √x² + y²
• d =

• arctan ^(y/x) x > 0
• π/2 x = 0, y > 0
• 3π/2 x = 0, y < 0
• arctan ^(y/x) + π x < 0

Tipologie di funzioni

funzione iniettiva → x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂)

f(x) = y al più una soluzione   ∀ x del parametro y

funzione suriettiva → f(x) = y almeno una soluzione   ∀ y

funzione inversa →

f: x → y

g: y → x

{

f(g(x)) = x

g(f(y)) = y

}

Esiste se la f‍ è biunivoca

(simmetrica a bisettrice)

funzione biunivoca → sia iniettiva e suriettiva

Formule volumi di rotazione

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx → rotazione attorno asse x

V = 2π ∫_a^b x f(x) dx → rotazione attorno asse y

Primitive elementari

∫ a dx = ax + c

∫ 1/x dx = log|x| + c

∫ a^x dx = a^x / log a + c

∫ x^a dx = x^a+1 / (a+1) + c

∫ e^x dx = e^x + c

∫ log(x) dx = x log(x) - x + c

∫ sin(x) dx = - cos(x) + c

∫ cos(x) dx = sin(x) + c

∫ tan(x) dx = -log|cos(x)| + c

∫ 1/cos²(x) dx = tan(x) + c

∫ 1/(1+x²) dx = arctan(x) + c

∫ 1/√(1-x²) dx = arcsin(x) + c

Somma e prodotto di integrali

∫ (f+g)(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

∫_a^b (f+g)(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx

∫ λ f(x) dx = λ ∫ f(x) dx

∫_a^b λ f(x) dx = λ ∫_a^b f(x) dx

Equazioni differenziali lineari 2 ordine omogenee

aẍ(x) + bẋ(x) + c(x) = 0 ⟶ soluzioni = spazio vettoriale di dim = 2

(x) = C_{1 1}(x) + C_{2 2}(x)

a² + b + c = 0

• 2 sol. reali distinte (Δ > 0), ₁, ₂ ⟶ (x) = c₁ e^₁x + c₂ e^₂x
• 2 sol. reali coincidenti (Δ = 0), ⟶ (x) = c₁ e^x + x c₂ e^x
• 2 sol. complesse (Δ < 0), ₁,₂ = α ± iβ ⟶ (x) = c₁ e^αx cos(βx) + c₂ e^αx sin(βx)

Equazioni differenziali lineari 2 ordine non omogenee

ẍ(x) + bẋ(x) + c(x) = g(x)

1. Determinare la soluzione generale omogenea associata

₀(x) = C_{1 1}(x) + C_{2 2}(x)

2. Trovare soluzione particolare

_pc(x) = C_{3 1}(x) ₃(x) + C₂(x) ₂(x)

• C₁(x) ₁(x) + C₂(x) ₂(x) = 0
• C₃(x) ẏ₁(x) + C₂(x) ẏ₂(x) = g(x)

3. Calcolare la soluzione generale

(x) = ₀(x) + _pc(x)