Formulario Analisi 1 Matematica

Operazioni sui grafici

f(x+a) → traslazione asse x [a>0 (verso sinistra), a<0 (verso destra)]

f(x)+a → traslazione asse y

-f(x) → riflessione rispetto asse x

f(-x) → riflessione rispetto asse y

-f(-x) → riflessione rispetto origine

f(-x) = f(x) → funzione pari (simmetrico asse y)

f(-x) = -f(x) → funzione dispari (simmetrico origine)

|f(x)| → riflessione parte negativa rispetto asse x

f(|x|) → riflessione parte a destra + eliminazione parte a sinistra (asse y)

a∙f(x) → dilatazione verticale (a>1)

a∙f(x) → compressione verticale (0<a<1)

f(ax) → compressione orizzontale (a>1)

f(ax) → dilatazione orizzontale (0<a<1)

Teorema di Pitagora

1 = cos²d + sen²d

Angoli significativi in trigonometria

Formule trigonometriche

sen d = ± √1 - cos²d

cos d = ± √1 - sen²d

tan d = ^{sen d}/_{cos d}

sen (d + β) = sen d · cos β + sen β cos d

cos (d + β) = cos d · cos β - sen d · sen β

Formule di conversione

x = r cos d

y = r sen d

r = √x² + y²

d = arctan (^y/_x) se x > 0

π/2 se x = 0, y > 0

3π/2 se x = 0, y < 0

Tipologie di funzioni

Funzione iniettiva → x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

f(x) = y al più una soluzione ∀ x del parametro y

Funzione suriettiva → f(x) = y almeno una soluzione ∀ y

Funzione inversa → ƒ: X → Y ⟷ g: Y → X

• g(ƒ(x)) = x
• ƒ(g(y)) = y

Esiste se la f è biiettiva (simmetrica a bisettrice)

Funzione biiettiva → sia iniettiva e suriettiva

Limiti indeterminati

• (±∞)+(∓∞)
• (±∞)·0
• ±∞ ±∞
• 0/0
• ∞/∞
• 1^∞
• 0⁰

Legge oraria

ρ̅ = (x(t), y(t))

v̅ = (ẋ(t), ẏ(t)) → |v̅| = √(ẋ(t)² + ẏ(t)²)

a̅ = (ẍ(t), ÿ(t))

Derivate elementari

Regole di derivazione

• (f+g)' = f' + g'
• (f·g)' = f'·g + g'·f
• [f(g(x))] = f'(g(x))·g(x)
• (_g/^f) = (f'·g - f·g')/_g²

Sviluppi di Taylor e parti principali

e^x = 1 + x + ^x2/₂ + ^x3/₆ + ... + ^xm/_m! + O(xⁿ⁺¹)

sin x = x - ^x3/₆ + ^x5/_5! + ... + (-1)^{n x2m+1}/_(2m+1)! + O(xⁿ⁺²)

cos x = 1 - ^x2/₂ + ^x4/₂₄ + ... + (-1)^{n x2m}/_(2m)! + O(xⁿ⁺²)

log_e(1+x) = x - ^x2/₂ + ^x3/₃ + ... + (-1)^{m+1 xm}/_m + O(x^m+1)

(1+x)^d = 1 + ax + ^a(a-1)/₂ x² + ^a(a-1)(a-2)/₆ x³ + ... + ^{d xm}/_m! + O(x^m+1)

Teorema di de L'Hopital

&lim;_{x→x_0} ^f(x)/_g(x) = ⁰/₀ o ^∞/_∞ → &lim;_{x→x_0} ^f'(x)/_g'(x)

Trascurabilità e o piccolo

&lim;_{x→x_0} ^f(x)/_g(x) = 0 → f(x) ≪ g(x) → f(x) = o(g(x))

Asintoticità equivalente

&lim;_{x→x_0} ^f(x)/_g(x) = 1 → f(x) ∼ g(x)

O grande

&lim;_{x→x_0} |^f(x)/_g(x)| = L (>finito) → f(x) = O(g(x))

Polinomio e resto di Taylor (in 0)

P_d(x) = f(0) + f'(0)x + _f''(0)/^2! x² + ... + _f^(d)(0)/^d! x^d ||| ^d∑_{m=0 f^(m)(0)}/^m! x^m

R_d(x) = f(x) - P_e(x) O(x^d) ⟶ _f^(d+1)(x)/^(d+1)! x^d+1 (Lagrange)

Teorema fondamentale degli integrali

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Formula cambio di variabile

a) ∫_a^b f(g(x)) · g'(x) dx = ∫_g(a)^g(b) f(y) dy = F(y) + c = F(g(x)) + c

  y = g(x)

  dy = g'(x) dx

b) ∫_a^b f(g(x)) · g'(x) dx = ∫_g(a)^g(b) f(y) dy

Distanza di un punto in un tempo

d = ∫_t0^t₁ |V (t)| dt

Formule volumi di rotazione

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx → rotazione attorno a x

V = 2π ∫_a^b x f(x) dx → rotazione attorno asse y

Primitive elementari

• ∫ a dx = ax + c
• ∫ ¹/_x dx = log |x| + c
• ∫ a^x dx = ^ax/_{log a} + c
• ∫ x^a dx = ^xa+1/_a+1 + c
• ∫ e^x dx = e^x + c
• ∫ log(x) dx = x log(x) - x + c
• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + c
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + c
• ∫ tan(x) dx = log |cos(x)| + c
• ∫ ¹/_cos²(x) dx = tan(x) + c
• ∫ ¹/_{1 + x²} dx = arctan(x) + c
• ∫ ¹/_{√1 - x²} dx = arcsin(x) + c

Somma e prodotto di integrali

• ∫ (f+g)(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
• ∫_a^b (f+g)(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx
• ∫_a^b k f(x) dx = k ∫_a^b f(x) dx

Formula integrazione per parti

• ∫ f(x)·g'(x) dx = F(x) g(x) - ∫ F(x)·g'(x) dx
• ∫_a^b f(x)·g'(x) dx = F(b)·g(b) - F(a)·g(a) - ∫_a^b F(x)·g'(x) dx

Proprietà dell'integrale

∫_a^b f(x) dx = - ∫_b^a f(x) dx

∫_a^c f(x) = ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx

Integrali impropri fondamentali

• ∫_a^{+ ∞ 1}/_x^a dx = { +∞ se a≤1 1/_a-1 se a>1 }
• ∫₀^{1 1}/_x^a dx = { +∞ se a≥1 1/_1-a se a<1 }

Criteri di convergenza

Criterio del radice

lim_m→∞ ^m√a_m = l : l < 1 → la serie converge → l > 1 → la serie diverge (+∞)

Criterio del rapporto

lim_n→∞ a_n+1 / a_n = L : L < 1 → la serie converge

L ≥ 1 → la serie diverge

Equazioni differenziali

Equazioni differenziali a variabili separabili

ẏ = f(x) · g(ẏ)

1. Separare x e y
2. Integrare ciascun membro alla variabile giusta
3. Ricavare y(x)

Equazioni differenziali lineari primo ordine

ẏ(t) + a(t) x(t) = f(t)

• b(t) = 0 → omogenea
• a ≠ 0 → eterogenea

1. Trovare primitiva di a(t) → A(t)
2. Moltiplico entrambi i membri per e^A(t)
3. Integro entrambi i membri
4. Ricavo y(t)