Formulario Analisi Matematica 2

FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

• CONTINUITÀ

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = f(x₀,y₀) ⇒ f continua

• COORDINATE POLARI

x = x₀ + ρ cosθy = y₀ + ρ senθf(ρ, θ) = f(x₀ + ρ cosθ, y₀ + ρ senθ)

x = ρ cosθy = ρ senθ

ρ = √(x²+y²)θ ∈ [0; 2π]

cosθ = x/ρsenθ = y/ρ

UNIFORMITÀ IN θ … [f(ρ, θ) e|≤ρ(p)|>0 per ρ>0

Ricorda: |cosθ|≤1 |senθ|≤1

• DERIVABILITÀ

f_x(x₀,y₀) = lim_h→0 (f(x₀+h, y₀) - f(x₀, y₀)) / h

f_y(x₀,y₀) = lim_k→0 (f(x₀, y₀+k) - f(x₀, y₀)) / k

DERIVATA DIFFERENZIALE

f(p₀+tv) = f(p₀) + tJ_F --------- derivata direzionale di f lim_t→0 (f(p₀+tv) - f(p₀)) / t = (p₀) lungo la direzione v

lim_h→0 (f(x₀+hv, y₀+h) - f(x,y)) / h

• DIFFERENZIABILITÀ

lim_{(h,k)→(0,0)} (f(x₀+h, y₀+k) - f(x₀, y₀) - f_x(x₀, y₀)h - f_y(x₀, y₀)k) / √(h²+k²) = 0

f diff. in (x₀, y₀) ⇔ esiste derivata direzionale in P₀ lungo ogni direzione v

formule col gradient J_V(p₀) = < grad f(p₀), v>

GRADIENTE

grad f(x₀, y₀) = (f_x(x₀, y₀), f_y(x₀, y₀))

PIANO TANGENTE

z = f(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)(x-x₀) + f_y(x₀, y₀)(y-y₀)

• DERIVATA DIREZIONALE IR²

f(x₀+tv₁, y₀+tv_k) - f(x₀)/t

lim_t→0 (f(x₀+tv₁, y₀+tv_k) - f(x₀))/t = 0

con p₀ = (x₀, y₀) e v = (h,k) h²+k² ≠ 1 (versore)

fino v <(a,b)> a²+b² = e lim_t→0 (f(x₀+tv₁, y₀+tv_k) - f(x₀))/t

Massimi e minimi

Con matrice Hessiana

Hf(x,y) = | f_xx f_xy |

| f_yx f_yy |

• Se det Hf(P_o) > 0 e + Hf(P_o) > 0 → Minimo relativo
• Se det Hf(P_o) < 0 → Sella
• Se det Hf(P_o) > 0 e + Hf(P_o) < 0 → Massimo relativo

Punto dove trovare punti critici:

Grad f (x,y) = (0,0) →

• f_x = 0
• f_y = 0

Ricerca di massimi e minimi

• Studio dei punti critici interni ad U
• Fermat { f_x = 0
• f_y = 0
• Studio sulla frontiera (quando D_i è euristico e chiuso)
• Studio dei punti dove f non è derivabile (ma ulova)
• Sostituisco i punti trovati nella funzione - confronto i valori trovati

APPLICAZIONI AL CALCOLO INTEGRALE

MASSA DI UN SOLIDO

δ(x, y, z) densità areolare

M = ∭_A δ(x, y, z) dxdydz

δ = cost. => M = δ vol(A)

BARICENTRO DI UN SOLIDO

B(x̄, ȳ, z̄)

x̄ = 1/M ∭_A x δ(x, y, z) dxdydz

ȳ = 1/M ∭_A y δ(x, y, z) dxdydz

z̄ = 1/M ∭_A z δ(x, y, z) dxdydz

MOMENTO DI INERZIA

Rispetto a un asse di rotazione r

I_r = ∭_A d²(x, y, z) δ(x, y, z) dxdydz

Con d(x, y, z) distanza dall'asse r

COORDINATE SFERICHE

• Serve quando nel dominio c’è un numero di rho fisso, come quarto campione angolato cartesiano xⁿ, 1ⁿ, zⁿ

COORDINATE CILINDRICHE

• A volte quando nel dominio campione tentiamo in punto xⁿ, yⁿ, zⁿ

Residuo

∫ f(z)dz = 2πi Σ Res (f, z_k) Teorema dei residui

• z₀ eliminabile Res (f, z₀) = 0
• z₀ polo Res (f, z₀) = ¹⁄_(n-1)! lim_{z ->z0} D^(n-1) [(z-z₀)ⁿf(z)]
• n = 1 Res (f, z₀) = lim_{z ->z0} (z-z₀) f(z) polo semplice
• n = 2 Res (f, z₀) = lim_{z ->z0} D [(z-z₀) f(z)] polo doppio.

polo semplice se f(z) = ^f(1)(z)⁄_f'(1) dove f'(z₀) = 0 ma f⁽¹⁾(z₀) ≠ 0

• ⇒ Res (f, z₀) = ^f(1)(z₀)⁄_f'(z0)

Fisso R>0 γ = [-R,R] ∪ γ_R regolare e non chiusa suppon che

• esiste la maggior parte ∫f(z)_γdz = ∫_-R^Rf(x)dx + ∫_γRf(z)dz (p: lim R->∞)              f(z) = polin ciclo

Lemma del grande cerchio

• Se lim_{z ->∞} z∴f(z) = 0 allora lim_R→∞ ∫_γRf(z)dz = 0.

Integrale tipo Fourier

• ∫_-∞^∞ cosx dx ⇒ Re ∫_-∞^∞e^ix dx ⇒         e^iγ