Formulario Analisi Matematica 2

Funzioni di più variabili

• Continuità

  lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x,y) = f(x₀,y₀) ⇒ f continua

• Coordinate polari
  • X = x₀ + ρcosθ
  • Y = y₀ + ρsenθ

  f̅(ρ,θ) = f(x₀ + ρcosθ, y₁ + ρsenθ)

  • X = ρcosθ
  • Y = ρsenθ

  ρ = √x² + y² θ ∈ [0;2π]

  • cosθ = x/p
  • senθ = y/p

  Uniformità in θ f̅(ρ,θ) = ε | ∃ ρ(ρ) > 0 per ρ→0

  Ricorda: |cosθ| ≤ 1 |senθ| ≤ 1

• Derivabilità
  • f_x(x₀,y₀) = lim_h→0
    • f(x₀ + h, y₀) - f(x₀,y₀)
    • h
  • f_y(x₀,y₀) = lim_k→0
    • f(x₀,y₀ + k) - f(x₀,y₀)
    • k

  Derivate parziali

• Derivata differenziale

  f(p₀ + tv) = f(p₀) + df_xderivata direzionale di

• Differenziabilità

  lim_{(h,k)→(0,₀)}

  • (f(x₀ + h, y₀ + k) - f(x₀,y₀) - f_x(x₀,y₀)·h - f_y(x₀,y₀)k)
  • √h² + k²
  = 0

  f diff. in (x₀,y₀) = avere derivate direzionale in p₀ lungo qualunque direzione v

  formula del gradiente

  Gradiente

  ∇grad f(x₀,y₀) = (f_x(x₀,y₀), f_y(x₀,y₀))

  Piano tangente

  z = f(x₀,y₀) + f_x(x₀,y₀)(x-x₀) + f_y(x₀,y₀)(y-y₀)

  Derivata direzionale IR²

  lim_t→0

  • f(x₀ + th, y₀ + tk) - f(x₀,y₀)
  • t

  essendo p₀ = (x₀,y₀) e v = (h,k) h² + k² = 1 (versor)

Funzioni di pi^u variabili

Continuit^a

• lim f(x,y) = f(x_o,y_o) => f continua

Coordinate polari

• x = x_o + ρcosθ y = y_o + ρsenθ

• x = ρcosθ y = ρsenθ      ρ = √(x²+y²)    θ ∈ [0; 2π] cosθ = x/ρ senθ = y/ρ

Uniforme in θ

lim f(ρ,θ) = l ⇔ ρf(ρ) → 0 per ρ → 0 Ricorda: |cosθ| ₁, |senθ| ₁

Derivabilit^a

f_x(x_o,y_o) = lim_h→0 (f(x_o+h,y_o) - f(x_o,y_o)) / h f_y(x_o,y_o) = lim_k→0 (f(x_o,y_o+k) - f(x_o,y_o)) / k

Derivata differenziale

lim_t→0 (f(p_o+tv) - f(p_o)) / t = ⟨df(P_o), v⟩

Differenziabilit^a

lim_{(h,k)→(0,0)} (f(x_o+h,y_o+k) - f_x(x_o,y_o)h - f_y(x_o,y_o)k) / √(h²+k²) = 0

f diff. in (x_o,y_o) ammette derivata direzione in P_o lungo ogni direzione v

⟨df/jV⟩ (P_o) = ⟨∇grad f(P_o), v⟩

Gradiente

∇grad f(x_o,y_o) = (f_x(x_o,y_o), f_y(x_o,y_o))

Piano tangente

z = f(x_o,y_o) + f_x(x_o,y_o)(x-x_o) + f_y(x_o,y_o)(y-y_o)

Derivata Direzionale ℝ²

lim_t→0 (f(x_o+th,y_o+tk) - f(x_o)) / t con P_o = (x_o,y_o) e v = (h,k) h²+k² = 1 (v‍versor)

v = (α,β), α² + β² = 2 lim_t→0 (f((k,t)P^l - f(x_o)/t)

Massimi e Minimi

Con Matrice Hessiana

Hf(x,y) = | f_xx f_xy || f_yx f_yy |

• Se detHf(P₀) >