Temi d'esame risolti - Automatica

8 FEBBRAIO 2010

1)

• ₁: ₁ = ₁
• ₂: ₂ = ₂
• ₃: ₃ = ₃

₁ = 1 m²/s ₂ > 0 m²/s ₃ = 3 m²/s ₁ = ₂ = ₃ = 1 m²

{₁₁ = + ₂₁ + ₁₁₂ = ₁ - ₂₂₃ = ²/_{3 22} - 3_{3 = 33}

2)

{₁ = ₂₂ = 2₁ - ₂ + < = -2₁ + 2₂

{_{1 = 2 2 = 21 - 2 +< = -21 + 22}

₂ = ²/ _{2 - 2 +( + 1 - ²/)2 = 2 = /( - ²/ + 1)}

< = -²/ + ²/ ( _{- ²/ + 1) =-2 + 2 = ((2 - 2)) / (( - ²/ + 1))}

/ = _{() = ^{2( - 1)}/(² + ) = + 2(²/ + 1))/(( + 2)( - 4))}

G(s) = ²⁄_{s + 2}

ha polo in s = -2 Re < 0 → A.S. → G(s) è AS.

Autovalori :

A = ^{[ 0 1 ]}⁄_{[ 2 -1 ]}

λ - 1

ϕ(λ) = det(λI - A) = ^{[ λ -1 ]}⁄_{[ 2 λ ]} = λ(λ + 1) - 2 = λ² + λ - 2 = 0

(λ+2)(λ-1) = 0

λ₁ = -2 Re<0

λ₂ = 1 Re>0 → NON AS.

⇒ Non è detto che stabilità del sistema e della pdt concordino

infatti G(s) è ricavata dal LTI .

2.2)

A = ^{[ 0 1 ]}⁄_{[ 2 -1 ]} B = ^{[ 0 ]}⁄_{[ 1 ]} C = [ -2 2 ] D = 0

M_r = [B AB] = ^{[ 0 0 1 ]}⁄_{[ 1 2 -1 ]} ( 1 0 ) = ^{[ 0 1 ]}⁄_{[ 1 -1 ]}

LTI

det(M_r) = 0 - 1 = -1 ≠ 0 → → ha rango max → RAGGIUNGIBILE

M_o = [C^T A^TC^T] = ^{[ -2 0 2 ]}⁄_{[ 2 1 -1 ]} ( -2 2 ) = ^{[ -2 4 ]}⁄_{[ 2 -4 ]}

det(M_o) = 8 - 8 = 0 → l_o = 1 ≠ 2 (max) → NON OSSERVABILE

Sistema raggiungibile e NON osservabile .

F(s) non è asintoticamente stabile perché il polo in -10 si sposta verso -10 e quindi può diventare a Re > 0.

Il punto in cui perde l'a.s. è s = 0: punto fisso in s = 0

|8| = ^|D(0)|/_|N(0)| = ^|10³|/_|100| = β = +100

per 0 < β < 100 F(s) è a.s.

β > 100 F(s) NON è a.s.

Verifico la scomposizione con Routh-Hurwitz:

X(s) = β N(s) + D(s)

= β(s-10) + (s+10)(s+10)²

= βs - 10β + (s+10)(s² + 10s + 100)

= βs - 10β + (s³ + 20s² + 1000s + 100s² + 1000s + 1000)

= s³ + 20s² + 190s + 1000 + βs

= s³ + 20s² + (190 + β)s + 1000

X(s) di Hurwitz ↔ 190 + β > 0 → β > -190

Tabella di Routh

• 1   1   190 + β   0
• 2   20   1000   0
• 3   r₁   0   0
• 4   1000   0   0

r₂ = ²⁰/_{810 - β20}

è di Hurwitz ←

• β > -190
• β > 40,5

y UGUO 2010

1)_{x_1}(t) = u_1 + x_2 - ^x_1/_{1+x_1³}

1. x_2 = x_1 - x_3 - 2 x_2 - k_2 x_2
2. x_3 = x_2 + x_1 + u_2
3. y = x_3 + x_1³ + u_2

2)_{x_1}(t) = -x_1 - 3x_2 + d x_3 + u

1. x_2 = x_1
2. x_3 = x_1 + 2x_2 - x_3
3. y = x_1 + 2x_2

2.1) Sistema A.S. per quali d?

A = [ -1 -3 2 ] [ 1 0 0 ] [ 1 2 -1 ]

det (sI - A) = [ s + 1 +3 2] [ -1 s 0] [ 1 -2 s + d ]

= (-1)⁴ [ -_d 5 ][-1 -2 ]+(-1)⁶[ s + 1 3 ] [ -1 s ]

= -d [ 2 + s ] + (s + 1) [ s(s+1)+3 ]= -2d - ds + (s+1) (s² + s + 3)

CN: ( { 4 - d > 0 } -> \(\alpha < 4\) ) ( { 3 - 2d > 0 } -> \(\alpha < 3/2\) )

y [ s (s + ⁹/₄ ²/₃) + 1 + 2 (s + ⁹/₄ ²/₃) ] = U

y [ s² + ⁹/₄ ²/₃ s + 1 + 2 s + ⁹/₂ ²/₃ ] = U

y [ s² + ⁹/₄ ²/₃ s + 3 ] = U

y [ ^{s2 + 9 (2/₃)]/_{(s + 3)} ] = U}

y [ 4s² + 17 ²/₃ s + 12 ] = U

^y/_U = G(s) = ⁴/_{4s² + 17 ²/3 s + 12}

DEN : (4s² + 17 ²/₃ s + 12) ¹/₁₂

(s² + ¹⁷/₃ + ¹/₁₂) s + 1

W_n² = 3 -> W_n = ^√3

2ζ = ¹⁷/_12√2 -> ζ = ¹⁷/₁₂ ^√2/₂ > 1 -> no pol.c.c.

4s² + 17 ²/₃ s + 12 = 0

Δ =  (¹⁷/₃)² - 4 (48²) = 289 ²/₃ - 192 = 0

^{4 ⋅ 17}/₈  (s₁ = s₂ = - ¹⁷/₈)  Re < 0

G(s) A.S. -> BIBO stable

G₂:

s²/₃ + ¹/_12√3 s + 1 = 0

W_n = √3

2ζ = ¹/₁₂ ⋅ √2  ζ = ¹/₁₂ √2  < 1  pol.c.c.

4s² + √²/₃ s + 12 = 0

PROGETTO

R(s) = R₁(s) · R₂(s)

R₂(0) = 1

R₁(s) = μR

^s⁄_5T+1

STATICO

q_L = q_R + q_G = 0

fdt _d → ^e'⁄_e → e'

q_L = 0

1 ≤ 0.1

¹⁰⁄_1+μL ≤ 0.1

μ_L = μR · μ_G = 10^μR

¹⁰⁄_1+10μR ≤ 0.1

10 ≤ 0.1(1 + 10μR)

10 ≤ 0.1 + μR → μR ≥ 9.9

Scelgo μR = 10

q_R = 0

R₁(s) = 10

DINAMICO

L(s) = R(s) · G(s)

I^o tentativo: R₂(s) = 1

R₁(s) = 10

^-s⁄₇₀ + 1

L(s) = L₁(s) = R₁(s) · G(s) = 100 ·

^{(s⁄7 + 1)}₂

2)

ẋ₁ = -3x₁ + 2x₂

ẋ₂ = -x₂ + u

ẋ₃ = 2x₁ + x₃ + u

y = -4x₁ + 2x₂

2.1)

A = (-3 2 00 -1 02 0 1)

det(λI-A) = |λ+3 -2 0| = (λ+1) |λ+3 0| =| -2 λ+1 0| _______ |-2 λ-1|| 2 0 λ-1| _______ | 2 0 λ-1|

= (λ+1)(λ+3)(λ-1)

Autovalori di A :

λ = -1λ = -3

λ = 1 → Re > 0 → INSTABILE

Il sistema è INSTABILE, perchè possiede 1 autovalore a Re > 0

2.2)

sX₁ = -3X₁ + 2X₂sX₂ = -X₂ + UsX₃ = 2X₁ + X₃ + Uy = -4X₁ + 2X₂

(s+1)X₂ = U → X₂ = U/(s+1)

(s+3)X₁ = 2X₂(s+3) X₁ = 2 U/(s+1) → X₁ = 2U/((s+3)(s+1))

y = -4 * 2/(s+3)(s+1) * U + 2 * 1/(s+1) * U

y = [ -8/((s+1)(s+3)) + 2/(s+1) ] U

y/U = G(s) = (-8 + 2(s+3))/((s+1)(s+3)) = (2s+6-8)/((s+1)(s+3)) = (2s-2)/((s+1)(s+3))