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Fondamenti di Automatica
R7 L'espressione del movimento dello stato di un sistema dinamico LTI a tempo continuo descritto dalla quaterna (A, b, c, d) a partire dallo stato x(0) e l'ingresso u(t) è: a. x(t) = x(0) + ∫e^(At)bu(τ)dτ b. x(t) = e^(At)x(0) + ∫e^(At)bu(τ)dτ c. x(t) = e^(At)x(0) + ∫e^(At)bu(τ)dτ 8 Le formule di Lagrange per stato e uscita di un sistema dinamico LTI a tempo continuo: a. si basano sulla convoluzione dello stato iniziale con l'ingresso. b. sono lineari nello stato iniziale e nell'ingresso. c. considerano sempre l'ingresso e a volte lo stato iniziale. 10 Uno stato di equilibrio per un generico sistema dinamico a tempo continuo è tale per cui il sistema, se viene perturbato a partire da A.ingresso da esso, tende a ritornarvi.
costante è uno stato b. che preso come iniziale produce, con l’ingresso
costante che gli corrisponde, movimenti costanti di
stato e uscita.
c. dal quale il sistema può essere allontanato, ma non
indefinitamente.
11 Lo studio della matrice dinamica di un sistema a. sulla stabilità di quell’equilibrio.
linearizzato nell’intorno di un equilibrio può fornire b. sulla stabilità del sistema in quell’equilibrio.
informazioni c. sulla stabilità del sistema nell’intorno di
quell’equilibrio.
12 E’ lecito parlare di “stabilità di un sistema dinamico a. strettamente proprio.
a tempo continuo” soltanto se tale sistema è b. lineare.
c. tempo-invariante.
13 Un sistema dinamico LTI asintoticamente stabile, a. può avere soltanto 0, 1 o infiniti equilibri
sottoposto a ingresso costante, b. ha sempre uno e un solo equilibrio indipendente
dall’ingresso.
c. ha sempre uno e un solo equilibrio dipendente
dall’ingresso.
necessaria e sufficiente.
14 Per la stabilità asintotica di un sistema dinamico b. sempre necessaria ma mai sufficiente.
LTI a tempo continuo, la concordanza in segno dei c. sempre necessaria e anche sufficiente se il sistema ècoefficienti del polimomio caratteristico è condizione di ordine 2.
15 Il criterio di Routh si applica ai sistemi dinamici a. LTI a tempo continuo.b. LTI a tempo discreto.c. LTI a tempo continuo di ordine pari almeno a 3.
16 Nel contesto dei sistemi dinamici LTI, uno stato si a. esiste un ingresso che a partire da stato inizialedice raggiungibile se nullo vi porta il sistema in tempo finito.b. vi si può andare a partire da qualunque statoiniziale.c. non è troppo lontano dall’origine dello spazio distato.
17 Dal punto di vista della risposta esponenziale, gli a. convergente.zeri di un sistema dinamico LTI SISO a tempo b. bloccante.continuo godono di una proprietà detta c. stabilizzante.
Fondamenti di Automatica 14 gennaio 2022 Pagina 4 di 12
18 Un
sistema dinamico LTI SISO a tempo continuo. a. sotto la sola condizione che G(s) sia raggiungibile e osservabile con funzione di trasferimento G(s), sottoposto all'ingresso u(t) = e^(-sca(t)), ha uscita y(t) = G(s)e^(-sca(t)), dove sca(t) è il polo di G(s). b. con stato iniziale opportuno purché λ non sia un polo di G(s) e G(s) sia asintoticamente stabile. 19 Le condizioni di raggiungibilità e osservabilità per a. coinvolgono ambedue la sola equazione di stato dei sistemi dinamici LTI essendo le dette proprietà riferite allo stato. b. sono legate alla ricerca degli equilibri. c. sono le stesse a tempo continuo e a tempo discreto. 20 La matrice di raggiungibilità di un sistema dinamico LTI di ordine n ha espressione: [0 0 0 ... 0] [2 0 0 ... 0] [0 2 0 ... 0] [...] [0 0 0 ... 2] 21 Se il diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento passa per ilpunto -1, il corrispondente sistema in b. sı̀, a patto che il margine di fase sia positivo.anello chiuso può essere asintoticamente stabile? c. sı̀, a patto che il margine di fase e il guadagnod’anello siano ambedue positivi.22 Il criterio di Bode a. è un caso particolare del criterio di Routh.b. richiede al diagramma del modulo di tagliare l’asse0dB con pendenza -2.c. è un caso particolare del criterio di Nyquist.a. è instabile.23 In un sistema di controllo in retroazione non vi è b. ha poli con parte reale positiva.modo di rendere applicabile il criterio di Bode s il c. ha guadagno negativo.processo24 Nel progetto di un regolatore in retroazione, la fase a. su tipo e/o guadagno della funzione didetta “progetto statico” si traduce in vincoli trasferimento d’anello.b. sul numenro di poli e zeri del regolatore.c. sulla funzione di sensitività del controllo.25 Progettare regolatore in retroazione “nelle ipotesi di a. alla risposta in
frequenza d'anello.Bode" si traduce nell'imporre un andamento b. alla frequenza critica.desiderato c. al margine di fase.26 Un regolatore in retroazione - dette rispettivamente a. se ha un solo parametro.U (s)U (s)W (s), Y (s) e U (s) le trasformate di Laplace di - = 0.b. se W (s) Y (s)segnale di riferimento, variabile controllata e segnale U (s) U (s)c. se + = 0.W (s) Y (s)di controllo - si dice essere "a un grado di libertà"27 Un regolatore in retroazione - dette rispettivamente a. se ha due parametri.U (s) U (s)W (s), Y (s) e U (s) le trasformate di Laplace di b. se e non differiscono soltanto per il segno.W (s) Y (s)segnale di riferimento, variabile controllata e segnale c. se è fatto da due blocchi in cascata.di controllo - si dice essere "a due gradi di libertà"Fondamenti di Automatica 14 gennaio 2022 Pagina 5 di 1228 La trasformata Zeta consente a. di rappresentare i segnali discreti come se fosserocontinui.b. di analizzare
la stabilità dei regolatori digitali.
di dotare i sistemi dinamici LTI a tempo discreto di funzione di trasferimento.
Dato un sistema dinamico LTI SISO a tempo discreto rappresentato nello spazio di stato dalla quaterna (A, b, c, d), l’espressione della sua funzione di trasferimento G(z) è
Con riferimento all’esperimento di laboratorio, si sono osservati fenomeni di quantizzazione dei segnali?
No.
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Risposte alle domande a scelta multipla
| a | b | c |
|---|---|---|
| 1 | 11 | 21 |
| 2 | 12 | 22 |
| 3 | 13 | 23 |
| 4 | 14 | 24 |
| 5 | 15 | 25 |
| 6 | 16 | 26 |
| 7 | 17 | 27 |
| 8 | 18 | 28 |
9 19 29 10 20 30
Domande a risposta aperta/calcolata
Il valore totale indicativo di questa sezione è 10 punti; i valori parziali – sempre indicativi – sono mostrati domanda per domanda.
Domanda 1 (3 punti)
Considera il sistema dinamico LTI SISO a tempo continuo con matrice dinamica –α α
A = –α 1 α +2e determina – se ve ne sono – i valori di α per cui esso è asintoticamente stabile.
Fondamenti di Automatica 14 gennaio 2022 Pagina 7 di 12
Domanda 2 (4 punti)
Considera il sistema di controllo LTI in retroazione in cui il processo e il regolatore sono rispettivamente descritti dalle funzioni di trasferimento 1 1 + 10s
P (s) = , R(s) =1+ s s(1 + 0.1s)
1. Determina, anche approssimativamente, la pulsazione critica ω e il margine di fase ϕ . Suggerimento: cm traccia qualitativamente il diagramma di Bode del modulo della risposta in frequenza d’anello.
2. Dovendo realizzare il regolatore con
tecnologia digitale, determina il tempo di campionamento in modoche la pulsazione di campionamento ω sia pari ad almeno 20ω e che il margine di fase, tenendo contos c ◦di campionamento e tenuta ma trascurando il ritardo di calcolo, non scenda sotto i 40 .
3. Esprimi la legge di controllo a tempo discreto cosı̀ ottenuta, impiegando il metodo di Eulero esplicito.
Fondamenti di Automatica 14 gennaio 2022 Pagina 8 di 12
Domanda 3 (3 punti)
Nel contesto dei sistemi dinamici a tempo continuo, illustra la differenza tra stabilità semplice e asintotica.
Fondamenti di Automatica 14 gennaio 2022 Pagina 9 di 12
Esercizi
Il valore totale indicativo di questa sezione è 14 punti; i valori parziali – sempre indicativi – sono mostratiesercizio per esercizio.
Esercizio 1 (8 punti)
Considera il sistema di controllo in retroazione LTI SISO a tempo continuo
+++_ + +
dove 8P (s) = ,(1 + 10s)(1 + 2s)w(t) = sca(t),d (t) = D sin(ω t), D < 1, ω < 0.05r/s,a a a a ae
determina il regolatore R(s) in modo che il sistema in anello chiuso sia asintoticamente stabile e che• l’errore a transitorio esaurito e prodotto da w(t) sia nullo,∞,w• la frequenza critica ω sia compresa tra 1 e 10r/s,c ◦• il margine di fase ϕ sia di almeno 50 ,m• l’ampiezza asintotica dell’effetto prodotto su y(t) dal disturbo d (t) non superi 0.01.
aRiporta sul foglio semilogaritmico a pagina 10 il diagramma di Bode del modulo della risposta in frequenzad’anello, indicandovi anche i calcoli relativi al grado di stabilità richiesto.
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Esercizio 2 (6 punti)
Considera il sistema dinamico LTI a tempo discreto descritto nello spazio di stato dalla quaterna 0.25 0 1 0 1A = , b = , c = , d = 0.−0.51 01. Di’, motivando la risposta, se esso è asintoticamente stabile, semplicemente stabile o instabile.
2.
Calcolane la funzione di trasferimento G(z).
3. Sulla base dei risultati precedenti di’, motivando la risposta, se esso è o meno raggiungibile e osservabile.
4. Calcola i primi 3 valori della sua risposta y(k) allo scalino discreto unitario con stato iniziale nullo.
Fondamenti di Automatica 14 gennaio 2022 Pagina 12
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