Fondamenti di Automatica - Temi d'esame svolti

Fondamenti di automatica

Alberto Leva

Anno accademico 2020/2021

Appello del giorno 21 giugno 2021

Cognome

Nome

Matricola

Firma

• Il fascicolo è composto in totale da 10 pagine, inclusa questa copertina e l’ultima pagina contenente il regolo delle fasi da staccare. Controlla che sia integro e segnala immediatamente se non è così.
• Compila subito e a penna lo spazio qui sopra con dati personali e firma. Per il resto dell’esame puoi usare la matita.
• Rispondi alle domande mantenendoti negli spazi indicati, seguendo con precisione le istruzioni e scrivendo in modo leggibile; ordine e chiarezza sono elementi di valutazione.
• Durante l’esame non ti è consentito consultare libri, appunti o altro materiale.
• Consegna soltanto questo fascicolo: nessun altro materiale sarà accettato.
• Nelle sezioni della prova sono riportati dei punteggi indicativi per dare un’idea dei pesi relativi delle varie parti dell’esame. Tieni conto che si tratta appunto d’indicazioni, ovviamente attendibili ma non da prendersi come vincoli totalmente rigidi. L’effettiva valutazione viene fatta considerando la prova nel suo complesso.

Domande a scelta multipla

Il valore totale di questa sezione è 9 punti:

• Ogni risposta corretta aggiunge 0.3 punti,
• Ogni risposta errata toglie 0.15 punti,
• Le risposte non date non hanno effetto sul punteggio.

Attenzione: le risposte vanno fornite contrassegnando le caselle a pagina 5, non nel testo delle domande qui di seguito.

Domande

• Si ha a che fare con un "problema di controllo" ogni volta che
  • a. si vuole imporre a un sistema un comportamento desiderato.
  • b. si deve gestire un sistema in retroazione.
  • c. vi sono disturbi non misurabili.
• Le principali strategie nell’affrontare un problema di controllo, relativamente alla scelta della struttura del regolatore, si dicono
  • a. a tempo continuo e a tempo discreto.
  • b. in anello aperto e in anello chiuso.
  • c. modulante e logica.
• Nel contesto del controllo, un importante ruolo della retroazione è quello di
  • a. far tornare l’uscita del sistema da controllare al suo ingresso dopo un tempo opportuno.
  • b. collegare tra loro l’uscita del controllore e l’ingresso del sistema da controllare.
  • c. contrastare l’effetto di possibili disturbi senza richiederne la misura.
• Un sistema a tempo continuo nella forma
  • a. è non dinamico e tempo-invariante.
  • b. può essere dinamico o no ma è certamente tempo-variante.
  • c. è non dinamico e tempo-variante.
• L’ordine di un sistema dinamico LTI a tempo continuo privo di ritardi è pari
  • a. al numero dei suoi poli.
  • b. al numero dei suoi autovalori.
  • c. al suo grado relativo.
• L’espressione del movimento dello stato di un sistema dinamico LTI a tempo continuo descritto dalla quaterna (A, b, c, d) a partire dallo stato x(0) e con ingresso u(t) è
  • a. x(t) = e^Atx(0) + ∫e^A(t−τ)bu(τ)dτ.
  • b. x(t) = x(0) + ∫e^Ate^A(t−τ)bu(τ)dτ.
  • c. x(t) = e^Atx(0) + ∫e^Atbu(τ)dτ.
• Le formule di Lagrange per stato e uscita di un sistema dinamico LTI a tempo continuo
  • a. si basano sulla convoluzione di stato iniziale e ingresso.
  • b. considerano o meno l’ingresso a seconda dello stato iniziale.
  • c. sono lineari nello stato iniziale e nell’ingresso.
• Il movimento libero dello stato di un sistema dinamico LTI a tempo continuo descritto nello spazio di stato dalla quaterna (A, b, c, d) dipende
  • a. da A.
  • b. da A e b.
  • c. da A, b e c.
• Uno stato di equilibrio per un generico sistema dinamico a tempo continuo sottoposto a ingresso costante è uno stato
  • a. tale per cui il sistema, se viene leggermente perturbato a partire da esso, tende a ritornarvi.
  • b. che preso come iniziale produce, con l’ingresso costante che gli corrisponde, movimenti costanti di stato e uscita.
  • c. in un intorno del quale il sistema tende intrinsecamente a rimanere.
• È lecito parlare di “stabilità di un sistema dinamico a tempo continuo” soltanto se tale sistema è
  • a. lineare.
  • b. strettamente proprio.
  • c. di ordine 1.
• Le caratteristiche di stabilità di un sistema dinamico LTI a tempo continuo dipendono
  • a. dalla forma dell’equazione di stato.
  • b. dalla matrice dinamica.
  • c. dal tipo d’ingresso.
• Se si trattasse invece di un sistema dinamico LTI a tempo discreto, la domanda precedente
  • a. in generale non avrebbe senso.
  • b. coinvolgerebbe sia la matrice dinamica che l’ingresso.
  • c. avrebbe la stessa risposta.
• Se la matrice dinamica di un sistema dinamico LTI a tempo continuo è singolare
  • a. il sistema è certamente instabile.
  • b. il sistema non può essere asintoticamente stabile.
  • c. sulla stabilità del sistema non si può dire nulla.
• Per la stabilità asintotica di un sistema dinamico LTI a tempo continuo, la concordanza in segno dei coefficienti del polimomio caratteristico è condizione
  • a. sempre necessaria ma mai sufficiente.
  • b. necessaria e sufficiente.
  • c. sempre necessaria e anche sufficiente se il sistema è di ordine 2.
• Il criterio di Routh si applica ai sistemi dinamici
  • a. LTI a tempo continuo.
  • b. LTI a tempo discreto.
  • c. LTI a tempo continuo di ordine superiore a 2.
• Nel contesto dei sistemi dinamici LTI, uno stato si dice raggiungibile se
  • a. esiste un ingresso che a partire da stato iniziale nullo vi porta il sistema in tempo finito.
  • b. vi si può andare a partire da qualunque stato iniziale.
  • c. non è troppo lontano dall’origine dello spazio di stato.
• Nel contesto dei sistemi dinamici LTI, uno stato si dice osservabile se
  • a. è visibile dall’origine dello spazio di stato.
  • b. produce un movimento libero dell’uscita non nullo.
  • c. produce un movimento libero dell’uscita nullo.
• Un sistema dinamico LTI SISO a tempo continuo raggiungibile e osservabile con funzione di trasferimento G(s), sottoposto all’ingresso λ^tu(t) = e^sca(t), ha uscita y(t) = G(λ)e^λtsca(t)
  • a. sotto la sola condizione che G(s) sia asintoticamente stabile.
  • b. con stato iniziale opportuno purché λ non sia un polo di G(s) e G(s) sia asintoticamente stabile.
  • c. con stato iniziale opportuno purché λ non sia un polo di G(s).
• Dal punto di vista della risposta esponenziale, gli zeri di un sistema dinamico LTI SISO a tempo continuo godono di una proprietà detta
  • a. bloccante.
  • b. convergente.
  • c. stabilizzante.
• Il percorso di Nyquist relativo a una funzione di trasferimento con poli a parte reale nulla
  • a. s’interrompe prima di essi – a distanza infinitesima – e riprende subito oltre.
  • b. li circonda con delle semicirconferenze orarie di raggio infinitesimo.
  • c. li circonda con delle semicirconferenze antiorarie di raggio infinitesimo.
• Un sistema di controllo in retroazione
  • a. può essere asintoticamene stabile anche se il processo controllato è instabile.
  • b. si può applicare anche a processi instabili ma soltanto del prim’ordine.
  • c. è sempre asintoticamente stabile perché se occorre la retroazione sposta i poli.
• Nel progetto di un regolatore in retroazione, la fase detta “progetto statico” si occupa
  • a. del comportamento a transitorio esaurito del sistema in anello aperto determinandone la risposta in frequenza.
  • b. del comportamento a transitorio esaurito del sistema in anello chiuso a fronte d’ingressi canonici.
  • c. dell’andamento a regime dell’effetto di disturbi sinusoidali.
• Nel progetto di un regolatore in retroazione, un vincolo sulla velocità di risposta si riflette
  • a. sul tipo del regolatore.
  • b. sul margine di fase.
  • c. sulla pulsazione critica.
• In un sistema di controllo in retroazione, detta L(s) la funzione di trasferimento d’anello, l’espressione della funzione di sensitività è
  • a. 1 + L(s).
  • b. 1 / (1 + L(s)).
  • c. 1 + L(s).
• Un regolatore PI a tempo continuo
  • a. è strettamente proprio.
  • b. ha due zeri e un polo, quest’ultimo nell’origine.
  • c. ha uno zero e un polo, quest’ultimo nell’origine.
• I parametri di un regolatore PID reale a un grado di libertà sono
  • a. quattro.
  • b. tre.
  • c. due.
• Il metodo di discretizzazione detto “esatto” per sistemi LTI si basa
  • a. sull’equazione di Lagrange valutata lungo un passo di campionamento.
  • b. sul calcolo della funzione di trasferimento dopo aver sostituito s con z.
  • c. sull’approssimazione della derivata temporale con il rapporto incrementale lungo un passo di campionamento.
• In un sistema di controllo in retroazione, l’effetto dinamico di campionamento e tenuta è rappresentabile in prima approssimazione come
  • a. un ritardo variabile a seconda del margine di fase.
  • b. un ritardo pari a mezzo passo di campionamento.
  • c. un ritardo pari al più a un passo di campionamento.
• Con riferimento all’esperimento di laboratorio, com’è stato deciso a priori che il modello usato per descrivere (non necessariamente a fini di controllo) l’apparato sperimentale dovesse essere del terz’ordine?
  • a. In base al numero di misure disponibili, dato che le variabili d’uscita sono spesso anche variabili di stato.
  • b. In base al numero di accumuli termici (transistor e piastrina) che si possono ragionevolmente assumere concentrati.
  • c. Semplicemente per tentativi.
• Durante le prove sull’apparato di laboratorio, le risposte a scalino ottenute hanno confermato o in qualche senso confutato l’assunzione a priori che esso fosse da descrivere con un sistema del terz’ordine?
  • a. L’hanno confermata, soprattutto osservando dei risultati delle prove di risposta in frequenza.
  • b. L’hanno confutata in toto perché a posteriori per la sintesi del regolatore un modello del prim’ordine si è rivelato sufficiente.
  • c. L’hanno confutata in parte perché i dati hanno mostrato una dinamica molto lenta non spiegata del modello, attribuibile all’accumulo di energia nell’aria entro il contenitore.

Risposte alle domande a scelta multipla

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
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• 29
• 30

Domande a risposta aperta/calcolata

Il valore totale indicativo di questa sezione è 10 punti; i valori parziali – sempre indicativi – sono mostrati domanda per domanda.

Domanda 1 (3 punti)

Considera il sistema dinamico LTI SISO a tempo continuo descritto nello spazio di stato dalla quaterna

A = ^{-1 1}

b = ^{α c} = 0.

d = ^{2 3}

1. Determina, se ve ne sono, i valori di α per cui esso non è raggiungibile.

2. Determina, se ve ne sono, i valori di α per cui esso non è osservabile.

Domanda 2 (3 punti)

Considera il sistema di controllo LTI in retroazione in cui processo e regolatore sono rispettivamente descritti nel tempo continuo dalle funzioni di trasferimento

P(s) = ^-0.2s2 / (1 + 5s)(1 + 0.1s)

R(s) = 1 / 10s

1. Determina il margine di fase ottenuto implementando R(s) con tecnologia digitale e una frequenza di campionamento pari a 25 volte la frequenza critica dell’anello; nel computo considera l’effetto di campionamento e tenuta ma trascura il ritardo di calcolo.

2. Determina, anche approssimativamente, l’attenuazione in dB introdotta dalla risposta in frequenza d’anello alla frequenza di Nyquist che corrisponde al medesimo tempo di campionamento.

Domanda 3 (4 punti)

Enuncia, sinteticamente ma con precisione, il ctiterio di Nyquist.

Esercizi

Il valore totale indicativo di questa sezione è 14 punti; i valori parziali – sempre indicativi – sono mostrati esercizio per esercizio.

Esercizio 1 (8 punti)

Considera il sistema di controllo in retroazione LTI SISO a tempo continuo

P(s) = ^-0.1s / (1 + 10s)(1 + s)

w(t) = sca(t) + 2sca(t - 5),

d_a(t) = D sin(ω _at), D < 1, ω _a < 0.04r/s,

d_r(t) = D sin(ω _rt), D < 10, ω _r > 50r/s

e determina il regolatore R(s) in modo che il sistema in anello chiuso sia asintoticamente stabile e che

• L’errore a transitorio esaurito e prodotto da w(t) sia nullo,
• La frequenza critica ω_c sia compresa tra 0.2 e 2r/s,
• Il margine di fase φ_m sia di almeno 50°
• Le ampiezze asintotiche degli effetti prodotti su y(t) dai disturbi d_a(t) e d_r(t) siano entrambe minori di 0.1.

Riporta sul foglio semilogaritmico a pagina 8 il diagramma di Bode del modulo della risposta in frequenza d’anello, indicandovi anche i calcoli relativi al grado di stabilità richiesto.

Esercizio 2 (6 punti)

Considera il sistema dinamico LTI a tempo discreto

x(k) = ^-0.4 0 1 x(k - 1) + ² u(k - 1)

y(k) = x(k)

1. Disegna uno schema a blocchi ad esso equivalente impiegando soltanto costanti e termini di ritardo unitario, ovvero blocchi del tipo z^-1.

2. Di’, motivando la risposta, se osservando lo schema così ottenuto si può trarre qualche conclusione rispetto alle caratteristiche di raggiungibilità e/o di osservabilità del sistema.

Fondamenti di automatica

Alberto Leva

Anno accademico 2020/2021

Appello del giorno 10 luglio 2021

Cognome

Nome

Matricola

Firma

• Il fascicolo è composto in totale da 10 pagine, inclusa questa copertina e l’ultima pagina contenente il regolo delle fasi da staccare. Controlla che sia integro e segnala immediatamente se non è così.
• Compila subito e a penna lo spazio qui sopra con dati personali e firma. Per il resto dell’esame puoi usare la matita.
• Rispondi alle domande mantenendoti negli spazi indicati, seguendo con precisione le istruzioni e scrivendo in modo leggibile; ordine e chiarezza sono elementi di valutazione.
• Durante l’esame non ti è consentito consultare libri, appunti o altro materiale.
• Consegna soltanto questo fascicolo: nessun altro materiale sarà accettato.
• Nelle sezioni della prova sono riportati dei punteggi indicativi per dare un’idea dei pesi relativi delle varie parti dell’esame. Tieni conto che si tratta appunto d’indicazioni, ovviamente attendibili ma non da prendersi come vincoli totalmente rigidi. L’effettiva valutazione viene fatta considerando la prova nel suo complesso.

Domande a scelta multipla

Il valore totale di questa sezione è 9 punti:

• Ogni risposta corretta aggiunge 0.3 punti,
• Ogni risposta errata toglie 0.15 punti,
• Le risposte non date non hanno effetto sul punteggio.

Attenzione: le risposte vanno fornite contrassegnando le caselle a pagina 5, non nel testo delle domande qui di seguito.

Domande

• Il carattere distintivo di un sistema dinamico è il fatto che
  • a. i suoi ingressi – e di conseguenza anche le sue uscite – variano nel tempo.
  • b. conoscere i suoi ingressi in un certo intervallo di tempo non basta per conoscere le sue uscite nel medesimo intervallo.
  • c. la rappresentazione matematica dei fenomeni governanti l’evoluzione del sistema richiede l’impiego di equazioni differenziali.
• Nel contesto del controllo un importante ruolo della compensazione di disturbi è di
  • a. impedire comportamenti oscillatori della variabile di controllo che potrebbero essere indotti dal ripetuto propagarsi di tali disturbi lungo l’anello di retroazione.
  • b. far sì che il controllo li contrasti indipendentemente dal fatto che il regolatore in retroazione ne abbia percepito gli effetti sulla variabile controllata.
  • c. annullare l’effetto della retroazione quando esso non è necessario perché il disturbo è talmente veloce da non richiedere alcuna azione da parte del regolatore.
• È possibile impiegare un controllore in anello aperto quando
  • a. non si osservano (in misura significativa) né incertezza sul comportamento del sistema da controllare né disturbi agenti su di esso.
  • b. non si ha incertezza (significativa) sul comportamento del sistema da controllare e vi sono disturbi, però soltanto tali da provocare variazioni anche rilevanti ma molto lente dell’uscita.
  • c. uno in retroazione sarebbe troppo oneroso dal punto di vista computazionale.
• Un sistema dinamico a tempo continuo nella forma
  • a. è detto lineare se f(·,·) e g(·,·) sono di primo grado.
  • b. è detto lineare se f(·,·) e g(·,·) sono lineari in x, u e t.
  • c. è detto lineare se f(·,·) e g(·,·) sono lineari in x e in u.
• Un sistema dinamico a tempo continuo nella forma
  • a. è detto lineare se f(·,·) e g(·,·) non dipendono esplicitamente da t.
  • b. g(·,·) non contiene u.
  • c. i suoi ingressi sono costanti.