Successione di funzioni

N

cioè esiste N ∈ tale che per ogni n ≥ N si ha ≤ x. Ne segue che per ogni

n

n ≥ N si ha f (x) = 1. Quindi se x ∈ ]0, 1] si ha che

n lim f (x) = 1.

n

n

Per simmetria si ha che se x ∈ [−1, 0[

lim f (x) = −1.

n

n

Quindi la successione (f ) tende puntualmente su [−1, 1] alla funzione

n  −1 se −1 ≤ x < 0,







f (x) = 0 se x = 0,





 1 se 0 < x ≤ 1.

Poichè le funzioni f sono continue mentre f non è continua su [−1, 1], si ha che

n

la successione (f ) non converge uniformemente a f su [−1, 1].

n

d) Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione (f ), dove

n

 √ 1



 n se 0 < x < ,

 n

f (x) =

n  1



 1 se ≤ x ≤ 1.

√

x n

Successioni di funzioni: esercizi svolti 5

1.5

1.0

0.5

0.0

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Fig. b: Grafico di f per n = 2.

n

1 1

Sia x ∈ ]0, 1]. Poichè → 0 per n → +∞, si ha che definitivamente ≤ x, cioè

n n

1

N ≤ x. Ne segue che per ogni n ≥ N

esiste N ∈ tale che per ogni n ≥ N si ha n

1

si ha f (x) = . Quindi se x ∈ ]0, 1] si ha che

√

n x 1

√

lim f (x) = .

n x

n

Quindi la successione (f ) tende puntualmente su ]0, 1] alla funzione

n 1

√

f (x) = .

x

Poichè la funzione f non è limitata su ]0, 1], si ha che la successione (f ) non

n

converge uniformemente a f su ]0, 1].

e) Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione (f ), dove

n

 1



 1 se 0 < x < ,

 n

f (x) =

n  1



 0 se ≤ x ≤ 1.

n

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Fig. c: Grafico di f per n = 2.

n

6 Successioni di funzioni: esercizi svolti

1 1

Sia x ∈ ]0, 1]. Poichè → 0 per n → +∞, si ha che definitivamente ≤ x, cioè

n n

1

N

esiste N ∈ tale che per ogni n ≥ N si ha ≤ x. Ne segue che per ogni n ≥ N

n

si ha f (x) = 0. Quindi se x ∈ ]0, 1] si ha che

n lim f (x) = 0.

n

n

Quindi la successione (f ) tende puntualmente su ]0, 1] alla funzione f (x) = 0.

n

Studiamo ora la convergenza uniforme della successione (f ) a f su ]0, 1]. Calco-

n

liamo il limite à ! " #

lim kf − f k = lim sup |f (x) − f (x)| = lim sup f (x) .

n ∞ n n

n n n

x∈ ]0,1] x∈ ]0,1]

N

Si ha che per ogni n ∈ sup f (x) = 1.

n

x∈ ]0,1]

Pertanto si ha che " #

lim kf − f k = lim sup f (x) = 1 6 = 0.

n ∞ n

n n x∈ [0,1]

Ne segue che la successione (f ) non converge uniformemente a f su ]0, 1].

n

Osservazione

a) La funzione limite f è continua, mentre le funzioni f sono discontinue su

n

]0, 1]. Nonostante ciò non è possibile concludere che la convergenza non è

uniforme. Infatti, si può concludere che la convergenza non è uniforme solo

quando le funzioni f sono continue e la funzione limite f non lo è.

n

b) Se definiamo f anche in x = 0 con il valore f (0) = 1, allora la funzione

n n

limite f è definita in x = 0 con il valore f (0) = 1. In tal caso sia le f che

n

f sono discontinue su [0, 1]. Nonostante ciò non è possibile concludere che

la convergenza non è uniforme. Infatti, si può concludere che la convergenza

non è uniforme solo quando le funzioni f sono continue e la funzione limite

n

f non lo è. Per studiare la convergenza uniforme bisogna procedere come nel

caso precedente. Si ha che à !

lim kf − f k = lim sup |f (x) − f (x)| = 1 6 = 0.

n ∞ n

n n x∈ ]0,1]

Ne segue che anche in questo caso la successione (f ) non converge uniforme-

n

mente a f su [0, 1].

Successioni di funzioni: esercizi svolti 7

f ) Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione (f ), dove f (x) =

n n

n

(1 − x)x per ogni x ∈ [0, 1]. Si ha che per ogni x ∈ [0, 1]

n

lim f (x) = lim

(1 − x)x = 0.

n

n n

) tende puntualmente su [0, 1] alla funzione (x) = 0.

Quindi la successione (f f

n

Studiamo ora la convergenza uniforme della successione (f ) a f su [0, 1]. Calco-

n

liamo il limite !

Ã

à ! h i

n

(1 − x)x .

sup

lim kf − f k = lim sup |f (x) − f (x)| = lim

n ∞ n

n n n

x∈ [0,1] x∈ [0,1]

h i

n N

Calcoliamo il sup (1 − x)x . Poichè per ogni n ∈ la funzione f (x) = (1 −

n

x∈ [0,1]

n

x)x è continua su [0, 1], per il Teorema di Weierstrass ammette massimo. Ne

segue che h i h i

n n

sup (1 − x)x = max (1 − x)x .

x∈ [0,1]

x∈ [0,1]

Osserviamo che f è anche derivabile su [0, 1] con

n 0 n−1

f (x) = [n − (n + 1)x]x .

n n

0 0

Quindi per ogni n ≥ 1 si ha che f (x) = 0 per x = 0, ∈ [0, 1] e f (x) > 0 per

n n

n+1

n n

0 <x< . Ne segue che x = è il punto di massimo di f su [0, 1] e

n

n+1 n+1 ¶ µ ¶

µ

h i n

1 n

n

n = .

max (1 − x)x = f n +1 n +1 n +1

x∈ [0,1]

Pertanto si ha che à ! µ ¶

h i n

1 n

n

lim kf − f k = lim sup (1 − x)x = lim = 0.

n ∞ n +1 n +1

n

n n x∈ [0,1]

Ne segue che la successione (f ) converge uniformemente a f su [0, 1].

n

g) Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione (f ), dove f (x) =

n n

n

x per ogni x ∈ [0, 1]. Si ha che per ogni x ∈ [0, 1]

( 0 se 0 ≤ x < 1,

n

lim f (x) = lim x =

n

n n 1 se x = 1.

Quindi la successione (f ) tende puntualmente su [0, 1] alla funzione

n ( 0 se 0 ≤ x < 1,

f (x) = 1 se x = 1.

Poichè le funzioni f sono continue mentre f non è continua su [0, 1], si ha che la

n

successione (f ) non converge uniformemente a f su [0, 1].

n

8 Successioni di funzioni: esercizi svolti

h) Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione (f ), dove f (x) =

n n

nx per ogni x ∈ [−1, 1]. Si ha che per ogni x ∈ [−1, 1]

2 2

1+n x nx = 0.

lim f (x) = lim

n 2 2

1 + n x

n n

Quindi la successione (f ) tende puntualmente su [−1, 1] alla funzione f (x) = 0.

n

Studiamo ora la convergenza uniforme della successione (f ) a f su [−1, 1]. Cal-

n

coliamo il limite #

à ! " ¯ ¯

¯ ¯¯

nx

¯

lim kf − f k = lim sup |f (x) − f (x)| = lim sup .

¯ ¯

n ∞ n 2 2

1 + n x

n n n

x∈ [−1,1] x∈ [−1,1]

¯ ¯

¯ ¯¯

nx

¯

Calcoliamo il sup . Essendo f dispari, si ha che

¯ ¯ n

2 2

1 + n x

x∈ [−1,1] ¯ ¯ ¶

µ

¯ ¯¯

nx nx

¯¯

sup .

= sup

¯

2 2 2 2

1 + n x 1 + n x

x∈ [−1,1] x∈ [0,1] nx

N è continua su [0, 1], per il

Poichè per ogni n ∈ la funzione f (x) =

n 2 2

1+n x

Teorema di Weierstrass ammette massimo. Ne segue che

µ µ

¶ ¶

nx nx

sup = max .

2 2 2 2

1 + n x 1 + n x

x∈ [0,1]

x∈ [0,1]

Osserviamo che f è anche derivabile su [0, 1] con

n 2 2

n(1 − n x )

0

f (x) = .

n 2 2 2

(1 + n x ) 1

0 0

Quindi per ogni n ≥ 1 si ha che f (x) = 0 per x = ∈ [0, 1] e f (x) > 0 per

n n

n

1 1

0 ≤ x < . Ne segue che x = è il punto di massimo di f su [0, 1] e

n

n n

µ ¶ µ ¶

nx 1 1

max = f = .

2 2

1 + n x n 2

x∈ [0,1]

Pertanto si ha che " #

¯ ¯

¯ ¯

nx 1

¯¯ ¯

lim kf − f k = lim sup = .

¯

n ∞ 2 2

1 + n x 2

n n x∈ [−1,1]

Ne segue che la successione (f ) non converge uniformemente a f su [−1, 1].

n

k) Determiniamo inizialmente il limite puntuale della successione (f ), dove

n

 1 1



 se 0 < x < ,

 n n

f (x) =

n  1



 0 se ≤ x ≤ 1.

n

Successioni di funzioni: esercizi svolti 9

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Fig. d: Grafico di f per n = 2.

n

1 1

Sia x ∈ ]0, 1]. Poichè → 0 per n → +∞, si ha che definitivamente ≤ x, cioè

n n

1

N

esiste N ∈ tale che per ogni n ≥ N si ha ≤ x. Ne segue che per ogni n ≥ N

n

si ha f (x) = 0. Quindi se x ∈ ]0, 1] si ha che

n lim f (x) = 0.

n

n

Quindi la successione (f ) tende puntualmente su ]0, 1] alla funzione f (x) = 0.

n

Studiamo ora la convergenza uniforme della successione (f ) a f su ]0, 1]. Calco-

n

liamo il limite à ! " #

lim kf − f k = lim sup |f (x) − f (x)| = lim sup f (x) .

n ∞ n n

n n n

x∈ ]0,1] x∈ ]0,1]

N

Si ha che per ogni n ∈ 1

sup f (x) = .

n n

x∈ ]0,1]

Pertanto si ha che " # 1

lim kf − f k = lim sup f (x) = lim = 0.

n ∞ n n

n n n

x∈ [0,1]

Ne segue che la successione (f ) converge uniformemente a f su ]0, 1].

n

Osservazione

La funzione limite f è continua, mentre le funzioni f sono discontinue su ]0, 1].

n

Nonostante ciò la convergenza è uniforme. Infatti, si può concludere che la conver-

genza non è uniforme solo quando le funzioni f sono continue e la funzione limite

n

f non lo è.

10 Successioni di funzioni: esercizi svolti

k

N N

* Esercizio 2. Per ogni n ∈ , n ≥ 1 siano k = max{k ∈ : 2 − 1 ≤ n},

n

" #

k k

n + 2 − 2

n + 1 − 2 n

n ,

I =

n k k

2 2

n n

R

e f : [0, 1] → la funzione definita da

n ( 1 se x ∈ I ,

n

f (x) =

n 0 se x ∈ [0, 1] \ I .

n

Verificare che la successione (f ) non converge puntualmente in alcun punto di [0, 1].

n

Svolgimento

Per provare che la successione (f ) non converge puntualmente in alcun punto di

n

[0, 1] è necessario capire come sono fatti gli intervalli I , per ogni n ≥ 1.

n

La successione di intervalli I è costruita nel seguente modo: si considera l’intervallo

n 12

[0, 1] e al passo h = 1